1. 计算$(\frac{1}{2023} -1) × (\frac{1}{2022} -1) × (\frac{1}{2021} -1) × \dots × (\frac{1}{3} -1) × (\frac{1}{2} -1)$的结果为
$\frac{1}{2023}$
。答案：1. $\frac{1}{2023}$
点拨: 原式 $=(-\frac{2022}{2023}) × (-\frac{2021}{2022}) × (-\frac{2020}{2021}) × … × (-\frac{2}{3}) × (-\frac{1}{2}) = \frac{2022}{2023} × \frac{2021}{2022} × \frac{2020}{2021} × … × \frac{2}{3} × \frac{1}{2} = \frac{1}{2023}$.
点拨: 原式 $=(-\frac{2022}{2023}) × (-\frac{2021}{2022}) × (-\frac{2020}{2021}) × … × (-\frac{2}{3}) × (-\frac{1}{2}) = \frac{2022}{2023} × \frac{2021}{2022} × \frac{2020}{2021} × … × \frac{2}{3} × \frac{1}{2} = \frac{1}{2023}$.
解析：
【分析】
解题时先计算每个括号内的减法运算，将每个括号的结果化简为分数形式，可发现化简后的分数存在前后交叉约分的规律；同时先统计负因数的总个数，根据有理数乘法的符号规则确定最终结果的符号，最后通过约分即可快速算出结果，无需逐个相乘。
首先每个括号$\frac{1}{n}-1$化简后为$-\frac{n-1}{n}$；其次数得负因数共有2022个（从n=2到n=2023共2022项），偶数个负因数相乘结果为正；最后相邻分数的分子分母可相互抵消，约分后即可得最终结果。
【解析】
第一步：计算每个括号内的减法：
原式$=(-\frac{2022}{2023}) × (-\frac{2021}{2022}) × (-\frac{2020}{2021}) × … × (-\frac{2}{3}) × (-\frac{1}{2})$
第二步：判断符号：共有2022个负因数，2022是偶数，因此乘积为正，去掉负号得：
原式$=\frac{2022}{2023} × \frac{2021}{2022} × \frac{2020}{2021} × … × \frac{2}{3} × \frac{1}{2}$
第三步：交叉约分，中间项的分子分母全部抵消，仅剩第一个分数的分母2023和最后一个分数的分子1：
原式$=\frac{1}{2023}$
【答案】
$\frac{1}{2023}$
【知识点】
有理数乘除法；符号法则；分数约分
【点评】
本题属于有理数乘除简便运算的典型题型，解题关键是先化简每个因式，观察得到相邻项的约分规律，同时要注意准确统计负因数的个数确定最终符号，掌握规律后可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时先计算每个括号内的减法运算，将每个括号的结果化简为分数形式，可发现化简后的分数存在前后交叉约分的规律；同时先统计负因数的总个数，根据有理数乘法的符号规则确定最终结果的符号，最后通过约分即可快速算出结果，无需逐个相乘。
首先每个括号$\frac{1}{n}-1$化简后为$-\frac{n-1}{n}$；其次数得负因数共有2022个（从n=2到n=2023共2022项），偶数个负因数相乘结果为正；最后相邻分数的分子分母可相互抵消，约分后即可得最终结果。
【解析】
第一步：计算每个括号内的减法：
原式$=(-\frac{2022}{2023}) × (-\frac{2021}{2022}) × (-\frac{2020}{2021}) × … × (-\frac{2}{3}) × (-\frac{1}{2})$
第二步：判断符号：共有2022个负因数，2022是偶数，因此乘积为正，去掉负号得：
原式$=\frac{2022}{2023} × \frac{2021}{2022} × \frac{2020}{2021} × … × \frac{2}{3} × \frac{1}{2}$
第三步：交叉约分，中间项的分子分母全部抵消，仅剩第一个分数的分母2023和最后一个分数的分子1：
原式$=\frac{1}{2023}$
【答案】
$\frac{1}{2023}$
【知识点】
有理数乘除法；符号法则；分数约分
【点评】
本题属于有理数乘除简便运算的典型题型，解题关键是先化简每个因式，观察得到相邻项的约分规律，同时要注意准确统计负因数的个数确定最终符号，掌握规律后可快速求解。
【难度系数】
0.7
2. 计算：$(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots+\frac{1}{2023})×(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots+\frac{1}{2022})-(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots+\frac{1}{2022})×(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots+\frac{1}{2023}).$
答案：2. 解:设 $a=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{2023}$,
则原式$=a(1+a-\frac{1}{2023})-(a-\frac{1}{2023})(1+a)$
$=a+a^2-\frac{a}{2023}-(a+a^2-\frac{1}{2023}-\frac{a}{2023})$
$=a+a^2-\frac{a}{2023}-a-a^2+\frac{1}{2023}+\frac{a}{2023}$
$=\frac{1}{2023}$.
则原式$=a(1+a-\frac{1}{2023})-(a-\frac{1}{2023})(1+a)$
$=a+a^2-\frac{a}{2023}-(a+a^2-\frac{1}{2023}-\frac{a}{2023})$
$=a+a^2-\frac{a}{2023}-a-a^2+\frac{1}{2023}+\frac{a}{2023}$
$=\frac{1}{2023}$.
解析：
【分析】
观察算式可以发现，式中多次重复出现$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots+\frac{1}{2022}$、$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots+\frac{1}{2023}$这两个较长的相同整体，直接通分计算所有分数的和运算量极大，因此可以采用换元法，将重复出现的整体用字母代替，简化算式结构，再利用乘法分配律展开，通过抵消同类项快速得到结果，避免繁琐的分数计算。
【解析】
解：设 $a=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{2023}$，
则$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{2022}=a-\frac{1}{2023}$，$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{2023}=1+a$，$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{2022}=1+(a-\frac{1}{2023})$，
将上述式子代入原式可得：
$\begin{aligned}原式&=a(1+a-\frac{1}{2023})-(a-\frac{1}{2023})(1+a)\\&=a+a^2-\frac{a}{2023}-(a+a^2-\frac{1}{2023}-\frac{a}{2023})\\&=a+a^2-\frac{a}{2023}-a-a^2+\frac{1}{2023}+\frac{a}{2023}\\&=\frac{1}{2023}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{1}{2023}$
【知识点】
1.整体换元法 2.乘法分配律 3.整式化简
【点评】
本题是有理数简便运算的典型题型，解题核心是观察出式子中重复出现的整体结构，通过换元将复杂的长式子转化为简洁的整式运算，展开后大部分项可相互抵消，大幅降低计算量，避免了大量分数通分的繁琐步骤。
【难度系数】
0.6
观察算式可以发现，式中多次重复出现$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots+\frac{1}{2022}$、$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots+\frac{1}{2023}$这两个较长的相同整体，直接通分计算所有分数的和运算量极大，因此可以采用换元法，将重复出现的整体用字母代替，简化算式结构，再利用乘法分配律展开，通过抵消同类项快速得到结果，避免繁琐的分数计算。
【解析】
解：设 $a=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{2023}$，
则$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{2022}=a-\frac{1}{2023}$，$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{2023}=1+a$，$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{2022}=1+(a-\frac{1}{2023})$，
将上述式子代入原式可得：
$\begin{aligned}原式&=a(1+a-\frac{1}{2023})-(a-\frac{1}{2023})(1+a)\\&=a+a^2-\frac{a}{2023}-(a+a^2-\frac{1}{2023}-\frac{a}{2023})\\&=a+a^2-\frac{a}{2023}-a-a^2+\frac{1}{2023}+\frac{a}{2023}\\&=\frac{1}{2023}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{1}{2023}$
【知识点】
1.整体换元法 2.乘法分配律 3.整式化简
【点评】
本题是有理数简便运算的典型题型，解题核心是观察出式子中重复出现的整体结构，通过换元将复杂的长式子转化为简洁的整式运算，展开后大部分项可相互抵消，大幅降低计算量，避免了大量分数通分的繁琐步骤。
【难度系数】
0.6
3.计算：$\frac{1}{1×2×3}+\frac{1}{2×3×4}$
$…+\frac{1}{2023×2024×2025}$
$…+\frac{1}{2023×2024×2025}$答案：3. 解:原式$=\frac{1}{2}×[(\frac{1}{1×2}-\frac{1}{2×3})+(\frac{1}{2×3}-\frac{1}{3×4})+…+(\frac{1}{2023×2024}-\frac{1}{2024×2025}) ] = \frac{1}{2} × (\frac{1}{1×2}-\frac{1}{2024×2025}) =\frac{1}{2} × (\frac{1}{2}-\frac{1}{4098600}) =\frac{1}{2} × \frac{2049299}{4098600} = \frac{2049299}{8197200}$.
解析：
【分析】观察算式中每一项的分母均为三个连续正整数的乘积，若直接通分计算量极大，因此考虑用裂项相消法简化运算：对于通项$\frac{1}{n(n+1)(n+2)}$，可变形为$\frac{1}{2}×[\frac{1}{n(n+1)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}]$，将每一项按此拆分后，中间的项会相互抵消，仅剩首尾两项，再进行计算即可。
【解析】
解：原式$=\frac{1}{2}×[ ( \frac{1}{1×2}-\frac{1}{2×3} ) + ( \frac{1}{2×3}-\frac{1}{3×4} ) + \dots + ( \frac{1}{2023×2024}-\frac{1}{2024×2025} ) ]$
$= \frac{1}{2} × ( \frac{1}{1×2}-\frac{1}{2024×2025} )$
$=\frac{1}{2} × ( \frac{1}{2}-\frac{1}{4098600} )$
$=\frac{1}{2} × \frac{2049299}{4098600}$
$= \frac{2049299}{8197200}$
【答案】$\frac{2049299}{8197200}$
【知识点】分数裂项；裂项相消法；有理数简便运算
【点评】本题是分数简便运算的典型题型，核心是掌握三个连续整数乘积为分母的分数的裂项规则，拆分时注意不要遗漏系数$\frac{1}{2}$，抵消中间项后仅需计算首尾两项的差，可大幅降低计算量，计算最终结果时需注意通分化简的准确性。
【难度系数】0.4
【解析】
解：原式$=\frac{1}{2}×[ ( \frac{1}{1×2}-\frac{1}{2×3} ) + ( \frac{1}{2×3}-\frac{1}{3×4} ) + \dots + ( \frac{1}{2023×2024}-\frac{1}{2024×2025} ) ]$
$= \frac{1}{2} × ( \frac{1}{1×2}-\frac{1}{2024×2025} )$
$=\frac{1}{2} × ( \frac{1}{2}-\frac{1}{4098600} )$
$=\frac{1}{2} × \frac{2049299}{4098600}$
$= \frac{2049299}{8197200}$
【答案】$\frac{2049299}{8197200}$
【知识点】分数裂项；裂项相消法；有理数简便运算
【点评】本题是分数简便运算的典型题型，核心是掌握三个连续整数乘积为分母的分数的裂项规则，拆分时注意不要遗漏系数$\frac{1}{2}$，抵消中间项后仅需计算首尾两项的差，可大幅降低计算量，计算最终结果时需注意通分化简的准确性。
【难度系数】0.4
4. 阅读理解.
小华在课外书中看到这样一道题：
计算：$\frac{1}{36} ÷ ( \frac{1}{4} + \frac{1}{12} - \frac{7}{18} - \frac{1}{36} ) + ( \frac{1}{4} + \frac{1}{12} - \frac{7}{18} - \frac{1}{36} ) ÷ \frac{1}{36}$.
她发现，这个算式反映的是前后两部分的和，而这两部分之间存在着某种关系，利用这种关系，她顺利地解答了这道题.
(1)前后两部分之间存在着什么关系？
(2)先计算哪部分比较简便？并计算比较简便的那部分；
(3)利用(1)中的关系，直接写出另一部分的值；
(4)根据以上分析，求出原式的结果.
小华在课外书中看到这样一道题：
计算：$\frac{1}{36} ÷ ( \frac{1}{4} + \frac{1}{12} - \frac{7}{18} - \frac{1}{36} ) + ( \frac{1}{4} + \frac{1}{12} - \frac{7}{18} - \frac{1}{36} ) ÷ \frac{1}{36}$.
她发现，这个算式反映的是前后两部分的和，而这两部分之间存在着某种关系，利用这种关系，她顺利地解答了这道题.
(1)前后两部分之间存在着什么关系？
(2)先计算哪部分比较简便？并计算比较简便的那部分；
(3)利用(1)中的关系，直接写出另一部分的值；
(4)根据以上分析，求出原式的结果.
答案：4. 解:(1)前后两部分互为倒数.
(2)先计算后一部分比较简便：
$(\frac{1}{4}+\frac{1}{12}-\frac{7}{18}-\frac{1}{36}) ÷ \frac{1}{36} = (\frac{1}{4}+\frac{1}{12}-\frac{7}{18}-\frac{1}{36}) × 36 =9+3-14-1=-3$.
(3)因为前后两部分互为倒数,所以$\frac{1}{36} ÷ (\frac{1}{4}+\frac{1}{12}-\frac{7}{18}-\frac{1}{36}) =-\frac{1}{3}$.
(4)根据以上分析,可知原式$=-\frac{1}{3}+(-3)=-3\frac{1}{3}$.
(2)先计算后一部分比较简便：
$(\frac{1}{4}+\frac{1}{12}-\frac{7}{18}-\frac{1}{36}) ÷ \frac{1}{36} = (\frac{1}{4}+\frac{1}{12}-\frac{7}{18}-\frac{1}{36}) × 36 =9+3-14-1=-3$.
(3)因为前后两部分互为倒数,所以$\frac{1}{36} ÷ (\frac{1}{4}+\frac{1}{12}-\frac{7}{18}-\frac{1}{36}) =-\frac{1}{3}$.
(4)根据以上分析,可知原式$=-\frac{1}{3}+(-3)=-3\frac{1}{3}$.
解析：
【分析】
解题时先观察算式结构特征：算式由前后两部分相加组成，两部分的被除数和除数恰好互换位置。
(1) 根据倒数的定义（乘积为1的两个数互为倒数），即可判断两部分的关系；
(2) 对比两部分运算难度：后一部分的除数是$\frac{1}{36}$，根据“除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数”，可转化为括号内各分数乘36，利用乘法分配律计算为整数运算，远简便于前一部分（除数是多个分数的和，需先通分计算除数），因此优先计算后一部分；
(3) 利用(1)中的倒数关系，前一部分的值就是后一部分结果的倒数；
(4) 将两部分的结果相加，即可得到原式的最终结果。
【解析】
令$A=\frac{1}{4} + \frac{1}{12} - \frac{7}{18} - \frac{1}{36}$，则原式为$\frac{1}{36}÷A + A÷\frac{1}{36}$。
(1) 因为$\frac{1}{36}÷A$和$A÷\frac{1}{36}$的被除数、除数恰好互换，两数乘积为1，所以前后两部分互为倒数。
(2) 先计算后一部分$A÷\frac{1}{36}$更简便：
$\begin{aligned}(\frac{1}{4}+\frac{1}{12}-\frac{7}{18}-\frac{1}{36}) ÷ \frac{1}{36} &= (\frac{1}{4}+\frac{1}{12}-\frac{7}{18}-\frac{1}{36}) × 36 \\&= \frac{1}{4}×36 + \frac{1}{12}×36 - \frac{7}{18}×36 - \frac{1}{36}×36 \\&=9+3-14-1\\&=-3\end{aligned}$
(3) 因为互为倒数的两个数乘积为1，所以前一部分的值为$1÷(-3)=-\frac{1}{3}$，即$\frac{1}{36} ÷ (\frac{1}{4}+\frac{1}{12}-\frac{7}{18}-\frac{1}{36}) =-\frac{1}{3}$。
(4) 原式为两部分的和，代入得：
原式$=-\frac{1}{3}+(-3)=-3\frac{1}{3}$
【答案】
(1) 前后两部分互为倒数；
(2) 先计算后一部分比较简便，结果为$\boldsymbol{-3}$；
(3) 另一部分的值为$\boldsymbol{-\frac{1}{3}}$；
(4) 原式的结果为$\boldsymbol{-3\frac{1}{3}}$（或$-\frac{10}{3}$）。
【知识点】
倒数的定义、有理数乘除法运算、乘法分配律
【点评】
本题侧重考察运算技巧的应用，通过观察算式结构发现倒数关系，选择更简便的部分优先计算，可大幅降低计算量，避免通分等复杂运算，有助于提升学生的观察能力和简便运算意识。
【难度系数】
0.7
解题时先观察算式结构特征：算式由前后两部分相加组成，两部分的被除数和除数恰好互换位置。
(1) 根据倒数的定义（乘积为1的两个数互为倒数），即可判断两部分的关系；
(2) 对比两部分运算难度：后一部分的除数是$\frac{1}{36}$，根据“除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数”，可转化为括号内各分数乘36，利用乘法分配律计算为整数运算，远简便于前一部分（除数是多个分数的和，需先通分计算除数），因此优先计算后一部分；
(3) 利用(1)中的倒数关系，前一部分的值就是后一部分结果的倒数；
(4) 将两部分的结果相加，即可得到原式的最终结果。
【解析】
令$A=\frac{1}{4} + \frac{1}{12} - \frac{7}{18} - \frac{1}{36}$，则原式为$\frac{1}{36}÷A + A÷\frac{1}{36}$。
(1) 因为$\frac{1}{36}÷A$和$A÷\frac{1}{36}$的被除数、除数恰好互换，两数乘积为1，所以前后两部分互为倒数。
(2) 先计算后一部分$A÷\frac{1}{36}$更简便：
$\begin{aligned}(\frac{1}{4}+\frac{1}{12}-\frac{7}{18}-\frac{1}{36}) ÷ \frac{1}{36} &= (\frac{1}{4}+\frac{1}{12}-\frac{7}{18}-\frac{1}{36}) × 36 \\&= \frac{1}{4}×36 + \frac{1}{12}×36 - \frac{7}{18}×36 - \frac{1}{36}×36 \\&=9+3-14-1\\&=-3\end{aligned}$
(3) 因为互为倒数的两个数乘积为1，所以前一部分的值为$1÷(-3)=-\frac{1}{3}$，即$\frac{1}{36} ÷ (\frac{1}{4}+\frac{1}{12}-\frac{7}{18}-\frac{1}{36}) =-\frac{1}{3}$。
(4) 原式为两部分的和，代入得：
原式$=-\frac{1}{3}+(-3)=-3\frac{1}{3}$
【答案】
(1) 前后两部分互为倒数；
(2) 先计算后一部分比较简便，结果为$\boldsymbol{-3}$；
(3) 另一部分的值为$\boldsymbol{-\frac{1}{3}}$；
(4) 原式的结果为$\boldsymbol{-3\frac{1}{3}}$（或$-\frac{10}{3}$）。
【知识点】
倒数的定义、有理数乘除法运算、乘法分配律
【点评】
本题侧重考察运算技巧的应用，通过观察算式结构发现倒数关系，选择更简便的部分优先计算，可大幅降低计算量，避免通分等复杂运算，有助于提升学生的观察能力和简便运算意识。
【难度系数】
0.7