1. 近年来，中国传统服饰备受大家的青睐，走上国际时装周舞台，大放异彩. 某服装店直接从工厂购进长、短两款传统服饰进行销售，进货价和销售价如下表：
(1)该服装店第一次用4300元购进长、短两款服装共50件，求两款服装分别购进的件数；
(2)第一次购进的两款服装售完后，该服装店计划再次购进长、短两款服装共200件(进货价和销售价都不变)，且第二次进货总价不高于16800元. 该服装店这次应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润？最大销售利润是多少元？
(1)该服装店第一次用4300元购进长、短两款服装共50件，求两款服装分别购进的件数；
(2)第一次购进的两款服装售完后，该服装店计划再次购进长、短两款服装共200件(进货价和销售价都不变)，且第二次进货总价不高于16800元. 该服装店这次应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润？最大销售利润是多少元？
答案：(1)设购进短款服装x件，购进长款服装y件.
根据题意，得$\begin{cases}x+y=50,\\80x+90y=4300,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=20,\\y=30.\end{cases}$
答:购进长款服装30件，购进短款服装20件.
(2)设第二次购进m件短款服装，则购进(200-m)件长款服装，
$\therefore 80m+90(200-m)≤16800$，解得$m≥120$.
设利润为w元，则$w=(100-80)m+(120-90)(200-m)=-10m+6000$.
$\because -10＜0$，$\therefore w$随m的增大而减小.
$\therefore$当$m=120$时，w取得最大值，最大值为$-10×120+6000=4800$，$200-m=80$.
答:当购进120件短款服装，80件长款服装时能获得最大销售利润，最大销售利润是4800元.
根据题意，得$\begin{cases}x+y=50,\\80x+90y=4300,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=20,\\y=30.\end{cases}$
答:购进长款服装30件，购进短款服装20件.
(2)设第二次购进m件短款服装，则购进(200-m)件长款服装，
$\therefore 80m+90(200-m)≤16800$，解得$m≥120$.
设利润为w元，则$w=(100-80)m+(120-90)(200-m)=-10m+6000$.
$\because -10＜0$，$\therefore w$随m的增大而减小.
$\therefore$当$m=120$时，w取得最大值，最大值为$-10×120+6000=4800$，$200-m=80$.
答:当购进120件短款服装，80件长款服装时能获得最大销售利润，最大销售利润是4800元.
2.(2025·济南)随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升.某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求.据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价低300元，用50000元购买甲型健身器材的数量和用56000元购买乙型健身器材的数量相同.
(1)求甲、乙两种型号健身器材的单价各是多少元；
(2)该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共20台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的3倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？
(1)求甲、乙两种型号健身器材的单价各是多少元；
(2)该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共20台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的3倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？
答案：(1)$56000-50000=6000$(元)，$6000÷300=20$(台)，
$50000÷20=2500$(元)，$2500+300=2800$(元).
答:甲型健身器材的单价为2500元，乙型健身器材的单价为2800元.
(2)设甲型健身器材购买了a台，则乙型健身器材购买了$(20-a)$台，由题意，得$a≤3(20-a)$，解得$a≤15$，采购费用$w=2800(20-a)+2500a=-300a+56000$，
由$-300＜0$，得w随a的增大而减小，
由于$a≤15$且a为正整数，故当$a=15$时，w取得最小值，且最小值为$w=-300×15+56000=51500$(元)，
$20-a=5$，
故购买甲型健身器材15台，购买乙型健身器材5台时，采购费用最低，最低采购费用为51500元.
$50000÷20=2500$(元)，$2500+300=2800$(元).
答:甲型健身器材的单价为2500元，乙型健身器材的单价为2800元.
(2)设甲型健身器材购买了a台，则乙型健身器材购买了$(20-a)$台，由题意，得$a≤3(20-a)$，解得$a≤15$，采购费用$w=2800(20-a)+2500a=-300a+56000$，
由$-300＜0$，得w随a的增大而减小，
由于$a≤15$且a为正整数，故当$a=15$时，w取得最小值，且最小值为$w=-300×15+56000=51500$(元)，
$20-a=5$，
故购买甲型健身器材15台，购买乙型健身器材5台时，采购费用最低，最低采购费用为51500元.