三、解答题(共60分)
9.(15分)(2025·宿迁沭阳县期中)如图,在△ABC中,点D在边BC上,BD=AC,DE=CB,DE//AC.求证:∠BED=∠ABC.
9.(15分)(2025·宿迁沭阳县期中)如图,在△ABC中,点D在边BC上,BD=AC,DE=CB,DE//AC.求证:∠BED=∠ABC.
答案：9. 证明:$\because DE// AC,\therefore ∠ BDE=∠ ACB.$
在$△ BDE$和$△ ACB$中,$\because \begin{cases} BD=AC, \\ ∠ BDE=∠ ACB, \\ DE=CB, \end{cases}$
$\therefore △ BDE≌△ ACB(\mathrm{SAS}),\therefore ∠ BED=∠ ABC.$
在$△ BDE$和$△ ACB$中,$\because \begin{cases} BD=AC, \\ ∠ BDE=∠ ACB, \\ DE=CB, \end{cases}$
$\therefore △ BDE≌△ ACB(\mathrm{SAS}),\therefore ∠ BED=∠ ABC.$
10.(15分)如图,在△ABC和△ADE中,延长BC交DE于点F,BC=DE,AC=AE,∠ACF+∠E=180°.求证:AB=AD. 
第10题图
第10题图答案：10. 证明:$\because ∠ ACB+∠ ACF=180°,∠ ACF+∠ E=180°,$
$\therefore ∠ ACB=∠ E.$
在$△ ABC$和$△ ADE$中,$\begin{cases} BC=DE, \\ ∠ ACB=∠ E, \\ AC=AE, \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ ADE(\mathrm{SAS}),\therefore AB=AD.$
$\therefore ∠ ACB=∠ E.$
在$△ ABC$和$△ ADE$中,$\begin{cases} BC=DE, \\ ∠ ACB=∠ E, \\ AC=AE, \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ ADE(\mathrm{SAS}),\therefore AB=AD.$
11.(15分)如图,点A,C,D,B在同一条直线上,点E,F分别在直线AB的两侧,且AE=BF,∠A=∠B,CE//DF.
(1)求证:CE=DF;
(2)若AB=8,AC=2,求CD的长.
(1)求证:CE=DF;
(2)若AB=8,AC=2,求CD的长.
答案：11.(1)证明:$\because CE// DF,\therefore ∠ ECD=∠ FDC.$
$\because ∠ ECD+∠ ACE=180°,∠ FDC+∠ FDB=180°,$
$\therefore ∠ ACE=∠ BDF.$
在$△ ACE$与$△ BDF$中,$\begin{cases} ∠ ACE=∠ BDF, \\ ∠ A=∠ B, \\ AE=BF, \end{cases}$
$\therefore △ ACE≌△ BDF(\mathrm{AAS}),\therefore CE=DF.$
(2)解:$\because △ ACE≌△ BDF,\therefore BD=AC=2.$
$\because AB=8,\therefore CD=AB-AC-BD=8-2-2=4.$
$\because ∠ ECD+∠ ACE=180°,∠ FDC+∠ FDB=180°,$
$\therefore ∠ ACE=∠ BDF.$
在$△ ACE$与$△ BDF$中,$\begin{cases} ∠ ACE=∠ BDF, \\ ∠ A=∠ B, \\ AE=BF, \end{cases}$
$\therefore △ ACE≌△ BDF(\mathrm{AAS}),\therefore CE=DF.$
(2)解:$\because △ ACE≌△ BDF,\therefore BD=AC=2.$
$\because AB=8,\therefore CD=AB-AC-BD=8-2-2=4.$
12.(15分)如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ABC=90°$,点D在BC边的延长线上,且$BD=AB$.过点B作$BE⊥ AC$,与BD的垂线DE交于点E.
(1)求证:$△ ABC≌△ BDE$;
(2)请找出线段AB,CD,DE之间的数量关系,并说明理由.
(1)求证:$△ ABC≌△ BDE$;
(2)请找出线段AB,CD,DE之间的数量关系,并说明理由.
答案：12.(1)证明:$\because BE⊥ AC,\therefore ∠ A+∠ ABE=90°.$
$\because ∠ ABC=90°,\therefore ∠ DBE+∠ ABE=90°,$
$\therefore ∠ A=∠ DBE.$
在$△ ABC$和$△ BDE$中,$\begin{cases} ∠ A=∠ DBE, \\ AB=BD, \\ ∠ ABC=∠ BDE, \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ BDE(\mathrm{ASA}).$
(2)解:$AB=CD+DE$.理由如下:
由(1)知$△ ABC≌△ BDE,\therefore AB=BD,BC=DE.$
$\because BD=CD+BC,\therefore AB=CD+DE.$
$\because ∠ ABC=90°,\therefore ∠ DBE+∠ ABE=90°,$
$\therefore ∠ A=∠ DBE.$
在$△ ABC$和$△ BDE$中,$\begin{cases} ∠ A=∠ DBE, \\ AB=BD, \\ ∠ ABC=∠ BDE, \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ BDE(\mathrm{ASA}).$
(2)解:$AB=CD+DE$.理由如下:
由(1)知$△ ABC≌△ BDE,\therefore AB=BD,BC=DE.$
$\because BD=CD+BC,\therefore AB=CD+DE.$