1.如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$D$是$BC$的中点,$E$,$F$分别是$AB$,$AC$上的点,且$AE=AF$.求证:$DE=DF$.
答案：
证明:如答图,连接AD.
∵AB=AC,D是BC的中点,
∴∠DAE=∠DAF.
又
∵AE=AF,AD=AD,
∴△ADE≌△ADF(SAS),
∴DE=DF.
证明:如答图,连接AD.
∵AB=AC,D是BC的中点,
∴∠DAE=∠DAF.
又
∵AE=AF,AD=AD,
∴△ADE≌△ADF(SAS),
∴DE=DF.
2. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,D是BC的中点,P是AD上任意一点,$PE⊥ AB$于点E,$PF⊥ AC$于点F.
(1)求证:$PE=PF$;
(2)连接PB,PC,求证:$PD$平分$∠ BPC$.
(1)求证:$PE=PF$;
(2)连接PB,PC,求证:$PD$平分$∠ BPC$.
答案：(1)
∵AB=AC,D是BC的中点,
∴AD平分∠BAC.
又
∵PE⊥AB,PF⊥AC,
∴PE=PF.
(2)
∵AB=AC,D是BC的中点,
∴AD⊥BC,
∴AD垂直平分BC,
∴PB=PC,
∴PD平分∠BPC.
∵AB=AC,D是BC的中点,
∴AD平分∠BAC.
又
∵PE⊥AB,PF⊥AC,
∴PE=PF.
(2)
∵AB=AC,D是BC的中点,
∴AD⊥BC,
∴AD垂直平分BC,
∴PB=PC,
∴PD平分∠BPC.
3. 如图,在等边△ABC和等边△ADE中,AD是BC边上的中线,DE交AC于点F.
求证:(1)AC⊥DE;(2)CD=CE.
求证:(1)AC⊥DE;(2)CD=CE.
答案：(1)
∵△ABC是等边三角形,
∴∠BAC=60°,AB=AC.
∵AD是BC边上的中线,
∴AD平分∠BAC,
∴∠DAC=∠BAD=30°.
∵△ADE是等边三角形,
∴∠DAE=60°,AD=AE,
∴∠EAC=30°=∠DAC,
∴AC⊥DE.
(2)
∵AD=AE,AC⊥DE,
∴AC垂直平分DE,
∴CD=CE.
∵△ABC是等边三角形,
∴∠BAC=60°,AB=AC.
∵AD是BC边上的中线,
∴AD平分∠BAC,
∴∠DAC=∠BAD=30°.
∵△ADE是等边三角形,
∴∠DAE=60°,AD=AE,
∴∠EAC=30°=∠DAC,
∴AC⊥DE.
(2)
∵AD=AE,AC⊥DE,
∴AC垂直平分DE,
∴CD=CE.