6. 图①是北京国际数学家大会的会徽，它取材于“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成.若图①中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图②，则图②中大正方形的面积为 （
A.24
B.36
C.40
D.44
D
）A.24
B.36
C.40
D.44
答案：6.D
7.(2025·无锡期中)如图,将两直角边边长之差为3的四个全等直角三角形分别拼成一个长方形和一个正方形,中间空白部分面积分别记作$S_1,S_2$,则$S_2 - S_1=$
9
.答案：7.9
8.如图，火柴盒的侧面为长方形ABCD，其中$CD=a$，$AD=b$，$AC=c$.把直立的火柴盒放倒，侧面ABCD旋转至长方形$AB'C'D'$处.
(1)$S_{△ ADC}=$
(2)由(1)的结论证明勾股定理：$a^2+b^2=c^2$；
(3)若$a+b=7$，$c=5$，求$S_{△ ADC}$的值.
(1)$S_{△ ADC}=$
$\frac{1}{2}ab$
，$S_{△ AB'C'}=$$\frac{1}{2}ab$
，$S_{△ ACC'}=$$\frac{1}{2}c^2$ 或 $\frac{1}{2}(a^2+b^2)$
，$S_{四边形CDB'C'}=$$ab+\frac{1}{2}c^2$ 或 $\frac{1}{2}(a^2+b^2)+ab$
；(用与$a$，$b$，$c$有关的代数式表示)(2)由(1)的结论证明勾股定理：$a^2+b^2=c^2$；
(3)若$a+b=7$，$c=5$，求$S_{△ ADC}$的值.
答案：8.(1)$\frac{1}{2}ab$ $\frac{1}{2}ab$ $\frac{1}{2}c^2$ 或 $\frac{1}{2}(a^2+b^2)$
$ab+\frac{1}{2}c^2$ 或 $\frac{1}{2}(a^2+b^2)+ab$
(2)证明:$\because S_{四边形CDB'C'}=ab+\frac{1}{2}c^2$,
又$\because S_{四边形CDB'C'}=\frac{1}{2}(a+b)(a+b)$,
$\therefore ab+\frac{1}{2}c^2=\frac{1}{2}(a+b)(a+b)$,
$\therefore a^2+b^2=c^2$.
(3)解:$\because a+b=7$,$\therefore (a+b)^2=49$,即 $a^2+b^2+2ab=49$.
$\because c=5$,且 $a^2+b^2=c^2$,$\therefore a^2+b^2=25$,
$\therefore 25+2ab=49$,$\therefore ab=12$,$\therefore S_{△ ADC}=\frac{1}{2}ab=6$.
$ab+\frac{1}{2}c^2$ 或 $\frac{1}{2}(a^2+b^2)+ab$
(2)证明:$\because S_{四边形CDB'C'}=ab+\frac{1}{2}c^2$,
又$\because S_{四边形CDB'C'}=\frac{1}{2}(a+b)(a+b)$,
$\therefore ab+\frac{1}{2}c^2=\frac{1}{2}(a+b)(a+b)$,
$\therefore a^2+b^2=c^2$.
(3)解:$\because a+b=7$,$\therefore (a+b)^2=49$,即 $a^2+b^2+2ab=49$.
$\because c=5$,且 $a^2+b^2=c^2$,$\therefore a^2+b^2=25$,
$\therefore 25+2ab=49$,$\therefore ab=12$,$\therefore S_{△ ADC}=\frac{1}{2}ab=6$.
9.(2025·宿迁宿城区期中)勾股定理神秘而美妙,它的证法多样,其巧妙各有不同,其中的“面积法”给了小聪灵感,他惊喜地发现:当两个全等的直角三角形如图摆放时,可以用“面积法”来证明勾股定理$a^2 + b^2 = c^2$,图中$∠ BAD=90°$,四边形ACFE是正方形.
(1)请把四边形ACFD的面积用含$a,b$的式子表示出来;
(2)请你用该图证明勾股定理,写出过程.
(1)请把四边形ACFD的面积用含$a,b$的式子表示出来;
(2)请你用该图证明勾股定理,写出过程.
答案：9.解:(1)四边形 ACFD 的面积为 $\frac{1}{2}(AC+DF)· CF=\frac{1}{2}(b+b+a)· b=b^2+\frac{ab}{2}$.
(2)连接 BD. 由题意,知 $BF=b-a$,
$\because S_{四边形ABED}=S_{△ ABE}+S_{△ ADE}=\frac{1}{2}b^2+\frac{1}{2}ab$,
$S_{四边形ABED}=S_{△ ADB}+S_{△ DEB}=\frac{1}{2}c^2+\frac{1}{2}a(b-a)$,
$\therefore \frac{1}{2}b^2+\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}c^2+\frac{1}{2}a(b-a)$,$\therefore a^2+b^2=c^2$.
(2)连接 BD. 由题意,知 $BF=b-a$,
$\because S_{四边形ABED}=S_{△ ABE}+S_{△ ADE}=\frac{1}{2}b^2+\frac{1}{2}ab$,
$S_{四边形ABED}=S_{△ ADB}+S_{△ DEB}=\frac{1}{2}c^2+\frac{1}{2}a(b-a)$,
$\therefore \frac{1}{2}b^2+\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}c^2+\frac{1}{2}a(b-a)$,$\therefore a^2+b^2=c^2$.