6.(2025·宿迁宿城区期中)如图,在长方形ABCD中,AB=4,E是BC上一点,且CE=3,将△ECD沿直线ED翻折,点C的对应点为G,延长EG交AD于点F.
(1)求证:DF=EF;
(2)求DF的长.
(1)求证:DF=EF;
(2)求DF的长.
答案：
6.(1)证明:
∵四边形ABCD是长方形，
∴AD//BC,
∴∠ADE=∠DEC.
由翻折的性质可知∠DEF=∠DEC，
∴∠ADE=∠DEF,
∴DF=EF.
(2)解:如答图,过点E作EH⊥AD于点H.
∵四边形ABCD是长方形,
∴∠C=∠CDH=90°.
∵∠DHE=90°,
∴四边形CDHE是长方形，
∴DH=CE=3,EH=CD=AB=4.
设DF=EF=x,在Rt△EFH中,由勾股定理,得EF²=EH²+FH²,即x²=4²+(x-3)²，
∴x=25/6,
∴DF=25/6.
6.(1)证明:
∵四边形ABCD是长方形，
∴AD//BC,
∴∠ADE=∠DEC.
由翻折的性质可知∠DEF=∠DEC，
∴∠ADE=∠DEF,
∴DF=EF.
(2)解:如答图,过点E作EH⊥AD于点H.
∵四边形ABCD是长方形,
∴∠C=∠CDH=90°.
∵∠DHE=90°,
∴四边形CDHE是长方形，
∴DH=CE=3,EH=CD=AB=4.
设DF=EF=x,在Rt△EFH中,由勾股定理,得EF²=EH²+FH²,即x²=4²+(x-3)²，
∴x=25/6,
∴DF=25/6.
7. 在四边形 $ABCD$ 中，$∠ A=∠ B=∠ C=∠ D=90°$，$AB=CD=10$，$BC=AD=8$。
(1) $P$ 为 $BC$ 边上一点，将$△ ABP$沿直线$AP$翻折至$△ AEP$的位置.(点$B$落在点$E$处)
①当点$E$落在边$CD$上时，利用尺规作图，在图①中作出满足的图形(即$△ AEP$的位置，不写作法，保留作图痕迹)，并写出此时$DE=$
②如图②，$PE$与$CD$相交于点$F$，$AE$与$CD$相交于点$G$，且$FC=FE$，求$BP$的长.
(2)如图③，已知$Q$为射线$BA$上的一个动点，将$△ BCQ$沿直线$CQ$翻折，使点$B$恰好落在直线$DQ$上的点$B'$处，求$BQ$的长.
(1) $P$ 为 $BC$ 边上一点，将$△ ABP$沿直线$AP$翻折至$△ AEP$的位置.(点$B$落在点$E$处)
①当点$E$落在边$CD$上时，利用尺规作图，在图①中作出满足的图形(即$△ AEP$的位置，不写作法，保留作图痕迹)，并写出此时$DE=$
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；②如图②，$PE$与$CD$相交于点$F$，$AE$与$CD$相交于点$G$，且$FC=FE$，求$BP$的长.
(2)如图③，已知$Q$为射线$BA$上的一个动点，将$△ BCQ$沿直线$CQ$翻折，使点$B$恰好落在直线$DQ$上的点$B'$处，求$BQ$的长.
答案：
7.解:(1)①6 如答图①.
②设$BP=x$,由翻折可知$PE=BP=x$.
∵∠C=∠E=90°,EF=CF,∠GFE=∠PFC,
∴△EFG≌△CFP(ASA),
∴GF=PF,GE=CP=8−x,
∴CG=PE=BP=x,
∴DG=10−x,AG=AE−GE=10−(8−x)=x+2.
在Rt△AGD中,由勾股定理,得AD²+DG²=AG²,
即8²+(10−x)²=(x+2)²,解得x=20/3,
∴BP的长为20/3.
(2)设BQ=y.如答图②,当点Q在线段AB上时.
∵B′C=BC=8,CD=10,∠CB′Q=∠B=90°,
∴∠DB′C=90°.
在Rt△CB′D中,由勾股定理,得DB′²=CD²−B′C²=10²−8²=36,
∴DB′=6,
∴DQ=DB′+QB′=6+y.
∵AQ=10−y,
∴在Rt△ADQ中,由勾股定理,得AD²+AQ²=DQ²,即8²+(10−y)²=(y+6)²,解得y=4.
如答图③,当点Q在线段BA的延长线上时.
∵B′C=BC=8,CD=10,∠B′=∠B=90°,
∴在Rt△CB′D中,由勾股定理,得DB′²=10²−8²=36,
∴DB′=6,
∴DQ=QB′−DB′=y−6,AQ=y−10.
在Rt△ADQ中,由勾股定理,得AD²+AQ²=DQ²,
即8²+(y−10)²=(y−6)²,解得y=16.
综上所述,BQ的长为4或16.
7.解:(1)①6 如答图①.
②设$BP=x$,由翻折可知$PE=BP=x$.
∵∠C=∠E=90°,EF=CF,∠GFE=∠PFC,
∴△EFG≌△CFP(ASA),
∴GF=PF,GE=CP=8−x,
∴CG=PE=BP=x,
∴DG=10−x,AG=AE−GE=10−(8−x)=x+2.
在Rt△AGD中,由勾股定理,得AD²+DG²=AG²,
即8²+(10−x)²=(x+2)²,解得x=20/3,
∴BP的长为20/3.
(2)设BQ=y.如答图②,当点Q在线段AB上时.
∵B′C=BC=8,CD=10,∠CB′Q=∠B=90°,
∴∠DB′C=90°.
在Rt△CB′D中,由勾股定理,得DB′²=CD²−B′C²=10²−8²=36,
∴DB′=6,
∴DQ=DB′+QB′=6+y.
∵AQ=10−y,
∴在Rt△ADQ中,由勾股定理,得AD²+AQ²=DQ²,即8²+(10−y)²=(y+6)²,解得y=4.
如答图③,当点Q在线段BA的延长线上时.
∵B′C=BC=8,CD=10,∠B′=∠B=90°,
∴在Rt△CB′D中,由勾股定理,得DB′²=10²−8²=36,
∴DB′=6,
∴DQ=QB′−DB′=y−6,AQ=y−10.
在Rt△ADQ中,由勾股定理,得AD²+AQ²=DQ²,
即8²+(y−10)²=(y−6)²,解得y=16.
综上所述,BQ的长为4或16.