10.如图，动点P在平面直角坐标系中，沿曲线的方向从左往右运动，第1秒从原点运动到点(1,1)，第2秒运动到点(2,0)，第3秒运动到点(3,-1)，第4秒运动到点(4,0)，……，照这样的规律，第2026秒运动到点
(2026,0)
。答案：10.$(2026,0)$
11.(2025·商丘柘城县期中)在平面直角坐标系中,给出如下定义:点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”,点Q到x轴、y轴的距离相等时,称点Q为“角平分线点”.
(1)点A(-4,6)的“长距”为
(2)若点B(5−2a,−3)是“角平分线点”,求a的值；
(3)若点C(−3,2b−1)的长距为7,且点C在第三象限内,点D的坐标为(9+2b,−3),请判断点D是否为“角平分线点”,并说明理由.
(1)点A(-4,6)的“长距”为
6
；(2)若点B(5−2a,−3)是“角平分线点”,求a的值；
(3)若点C(−3,2b−1)的长距为7,且点C在第三象限内,点D的坐标为(9+2b,−3),请判断点D是否为“角平分线点”,并说明理由.
答案：11.(1)6
(2)解:
∵点$ B(5-2a,-3) $是“角平分线点”,
∴$ |5-2a|=|-3| ,\therefore 5-2a=3 $或$ 5-2a=-3 $,
解得$ a=1 $或$ a=4 $.
(3)解:点D是“角平分线点”,
理由:
∵点$ C(-3,2b-1) $的长距为7,且点C在第三象限内,$ \therefore 2b-1=-7 $,解得$ b=-3 $,$ \therefore 9+2b=3 $,
∴点D的坐标为$(3,-3)$,
∴点D到x轴、y轴的距离都是3,
∴点D是“角平分线点”.
(2)解:
∵点$ B(5-2a,-3) $是“角平分线点”,
∴$ |5-2a|=|-3| ,\therefore 5-2a=3 $或$ 5-2a=-3 $,
解得$ a=1 $或$ a=4 $.
(3)解:点D是“角平分线点”,
理由:
∵点$ C(-3,2b-1) $的长距为7,且点C在第三象限内,$ \therefore 2b-1=-7 $,解得$ b=-3 $,$ \therefore 9+2b=3 $,
∴点D的坐标为$(3,-3)$,
∴点D到x轴、y轴的距离都是3,
∴点D是“角平分线点”.
12.【阅读理解】画一条水平数轴,记为x轴,以原点O为圆心,过x轴上的每一刻度点画同心圆,过原点O按逆时针方向画与x轴正半轴的角度分别为$30°,60°,90°,120°,150°,\dots,330°$的射线,这样就建立了“圆”坐标系.如图,在建立的“圆”坐标系内,我们可以将点A,B,D的坐标分别表示为$(6,0°),(3,30°),(4,210°)$.
【问题探究】(1)点C,E的坐标分别为
(2)在“圆”坐标系内描出点$F(6,120°),G(3,150°)$,连接AB,FG,试说明$△ AOB≌△ FOG$;
(3)若$△ OAP$是等边三角形,则点P的坐标为
(4)若在“圆”坐标系中,不在x轴上的点$M(x_1,y_1)$与点$N(x_2,y_2)$关于x轴对称,则$x_1$与$x_2$,$y_1$与$y_2$分别满足的数量关系是
【问题探究】(1)点C,E的坐标分别为
(6,90°)
,(7,240°)
;(2)在“圆”坐标系内描出点$F(6,120°),G(3,150°)$,连接AB,FG,试说明$△ AOB≌△ FOG$;
(3)若$△ OAP$是等边三角形,则点P的坐标为
(6,60°)或(6,300°)
;(4)若在“圆”坐标系中,不在x轴上的点$M(x_1,y_1)$与点$N(x_2,y_2)$关于x轴对称,则$x_1$与$x_2$,$y_1$与$y_2$分别满足的数量关系是
$x_1=x_2,y_1+y_2=360°$
.答案：
12.(1)$(6,90°)$ $(7,240°)$
(2)解:如
所示,点F和点G即为所求.
∵$OB=OG=3$,$∠AOB=∠FOG=30°$,$OA=OF$,
∴$△AOB≌△FOG(SAS)$.
(3)$(6,60°)$或$(6,300°)$
(4)$x_1=x_2$,$y_1+y_2=360°$
12.(1)$(6,90°)$ $(7,240°)$
(2)解:如
所示,点F和点G即为所求.∵$OB=OG=3$,$∠AOB=∠FOG=30°$,$OA=OF$,
∴$△AOB≌△FOG(SAS)$.
(3)$(6,60°)$或$(6,300°)$
(4)$x_1=x_2$,$y_1+y_2=360°$