18.(6分)(2025·福建)如图,点E,F分别在AB,AD的延长线上,$∠ CBE=∠ CDF$,$∠ ACB=∠ ACD$.求证:$AB=AD$.
答案：18.证明:
∵∠CBE=∠CDF,
∴180°−∠CBE=180°−∠CDF.
∵∠ABC=180°−∠CBE,∠ADC=180°−∠CDF,
∴∠ABC=∠ADC.
在△ABC和△ADC中,$\begin{cases} ∠ABC=∠ADC,\\ ∠ACB=∠ACD,\\ AC=AC, \end{cases}$
∴△ABC≌△ADC(AAS),
∴AB=AD.
∵∠CBE=∠CDF,
∴180°−∠CBE=180°−∠CDF.
∵∠ABC=180°−∠CBE,∠ADC=180°−∠CDF,
∴∠ABC=∠ADC.
在△ABC和△ADC中,$\begin{cases} ∠ABC=∠ADC,\\ ∠ACB=∠ACD,\\ AC=AC, \end{cases}$
∴△ABC≌△ADC(AAS),
∴AB=AD.
19.(6分)如图,在△ABC中,∠B=∠C,FD⊥BC,DE⊥AB,∠AFD=152°,求∠EDF的度数. 
答案：19.解:
∵FD⊥BC,DE⊥AB,
∴∠FDC=∠AED=90°.
∵∠AFD=∠C+∠FDC=152°,
∴∠C=152°−∠FDC=152°−90°=62°.
∵∠B=∠C,∠A+∠B+∠C=180°,
∴∠A=180°−2×62°=180°−2∠B=56°.
∵∠A+∠AED+∠EDF+∠AFD=360°,
∴∠EDF=360°−∠A−∠AED−∠AFD=360°−56°−90°−152°=62°.
∵FD⊥BC,DE⊥AB,
∴∠FDC=∠AED=90°.
∵∠AFD=∠C+∠FDC=152°,
∴∠C=152°−∠FDC=152°−90°=62°.
∵∠B=∠C,∠A+∠B+∠C=180°,
∴∠A=180°−2×62°=180°−2∠B=56°.
∵∠A+∠AED+∠EDF+∠AFD=360°,
∴∠EDF=360°−∠A−∠AED−∠AFD=360°−56°−90°−152°=62°.
20.(6分)如图，MP和NQ分别垂直平分AB和AC.
(1)若△APQ的周长为12，求BC的长；
(2)若∠BAC=105°，求∠PAQ的度数.
(1)若△APQ的周长为12，求BC的长；
(2)若∠BAC=105°，求∠PAQ的度数.
答案：20.解:(1)
∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC,
∴AP=BP,AQ=CQ,
∴△APQ的周长为AP+PQ+AQ=BP+PQ+CQ=BC.
∵△APQ的周长为12,
∴BC=12.
(2)
∵AP=BP,AQ=CQ,
∴∠B=∠BAP,∠C=∠CAQ.
∵∠BAC=105°,
∴∠BAP+∠CAQ=∠B+∠C=180°−∠BAC=180°−105°=75°,
∴∠PAQ=∠BAC−(∠BAP+∠CAQ)=105°−75°=30°.
∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC,
∴AP=BP,AQ=CQ,
∴△APQ的周长为AP+PQ+AQ=BP+PQ+CQ=BC.
∵△APQ的周长为12,
∴BC=12.
(2)
∵AP=BP,AQ=CQ,
∴∠B=∠BAP,∠C=∠CAQ.
∵∠BAC=105°,
∴∠BAP+∠CAQ=∠B+∠C=180°−∠BAC=180°−105°=75°,
∴∠PAQ=∠BAC−(∠BAP+∠CAQ)=105°−75°=30°.
21.(6分)(2025·福建)如图，$△ ABC$是等边三角形，D是AB的中点，$CE⊥ BC$，垂足为C，EF是由CD沿CE方向平移得到的.已知EF过点A，BE交CD于点G.
(1)求$∠ DCE$的大小；
(2)求证：$△ CEG$是等边三角形.
(1)求$∠ DCE$的大小；
(2)求证：$△ CEG$是等边三角形.
答案：21.(1)解:
∵△ABC是等边三角形,
∴∠ACB=60°.
∵D是AB的中点,
∴∠DCB=∠DCA=$\frac{1}{2}$∠ACB=$\frac{1}{2}$×60°=30°.
∵CE⊥BC,
∴∠BCE=90°,
∴∠DCE=∠BCE−∠DCB=90°−30°=60°.
(2)证明:由平移可知,CD//EF,
∴∠EAC=∠DCA=30°.
又
∵∠ECA=∠BCE−∠ACB=30°,
∴∠EAC=∠ECA,
∴AE=CE,∠AEC=120°.
又
∵AB=CB,
∴BE垂直平分AC,
∴∠GEC=$\frac{1}{2}$∠AEC=$\frac{1}{2}$×120°=60°,由(1)知,∠GCE=60°,
∴∠EGC=60°,
∴∠GEC=∠GCE=∠EGC,
∴△CEG是等边三角形.
∵△ABC是等边三角形,
∴∠ACB=60°.
∵D是AB的中点,
∴∠DCB=∠DCA=$\frac{1}{2}$∠ACB=$\frac{1}{2}$×60°=30°.
∵CE⊥BC,
∴∠BCE=90°,
∴∠DCE=∠BCE−∠DCB=90°−30°=60°.
(2)证明:由平移可知,CD//EF,
∴∠EAC=∠DCA=30°.
又
∵∠ECA=∠BCE−∠ACB=30°,
∴∠EAC=∠ECA,
∴AE=CE,∠AEC=120°.
又
∵AB=CB,
∴BE垂直平分AC,
∴∠GEC=$\frac{1}{2}$∠AEC=$\frac{1}{2}$×120°=60°,由(1)知,∠GCE=60°,
∴∠EGC=60°,
∴∠GEC=∠GCE=∠EGC,
∴△CEG是等边三角形.