19.(6分)已知一次函数$y=(2a-1)x+a-2$.
(1)若这个函数是正比例函数,求$a$的值;
(2)若这个函数的图象经过第一、三、四象限,求$a$的取值范围.
(1)若这个函数是正比例函数,求$a$的值;
(2)若这个函数的图象经过第一、三、四象限,求$a$的取值范围.
答案：19.解:(1)$\because y=(2a-1)x+a-2$是正比例函数,
$\therefore a-2=0$且$2a-1≠0$,解得$a=2$,$\therefore a$的值为2.
(2)$\because$一次函数$y=(2a-1)x+a-2$的图象经过第一、三、四象限,$\therefore \begin{cases}2a-1＞0,\\a-2＜0,\end{cases}$解得$\frac{1}{2}＜a＜2$,
$\therefore a$的取值范围为$\frac{1}{2}＜a＜2$.
$\therefore a-2=0$且$2a-1≠0$,解得$a=2$,$\therefore a$的值为2.
(2)$\because$一次函数$y=(2a-1)x+a-2$的图象经过第一、三、四象限,$\therefore \begin{cases}2a-1＞0,\\a-2＜0,\end{cases}$解得$\frac{1}{2}＜a＜2$,
$\therefore a$的取值范围为$\frac{1}{2}＜a＜2$.
20.(6分)已知一次函数的图象经过点A(1,1),B(-1,-3).
(1)求此一次函数的表达式；
(2)求此一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形的面积.
(1)求此一次函数的表达式；
(2)求此一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形的面积.
答案：20.解:(1)设此一次函数的表达式为$y=kx+b$,
将$(1,1),(-1,-3)$代入,得
$\begin{cases}k+b=1,\\-k+b=-3,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=2,\\b=-1.\end{cases}$
$\therefore$此一次函数的表达式为$y=2x-1$.
(2)在$y=2x-1$中,令$x=0$,得$y=-1$;令$y=0$,得$x=\frac{1}{2}$,
$\therefore$令直线$y=2x-1$交$x$轴于点$M(\frac{1}{2},0)$,交$y$轴于点$N(0,-1)$,从而$OM=\frac{1}{2},ON=1$,
$\therefore S_{△ MON}=\frac{1}{2}OM· ON=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×1=\frac{1}{4}$,即此一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为$\frac{1}{4}$.
将$(1,1),(-1,-3)$代入,得
$\begin{cases}k+b=1,\\-k+b=-3,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=2,\\b=-1.\end{cases}$
$\therefore$此一次函数的表达式为$y=2x-1$.
(2)在$y=2x-1$中,令$x=0$,得$y=-1$;令$y=0$,得$x=\frac{1}{2}$,
$\therefore$令直线$y=2x-1$交$x$轴于点$M(\frac{1}{2},0)$,交$y$轴于点$N(0,-1)$,从而$OM=\frac{1}{2},ON=1$,
$\therefore S_{△ MON}=\frac{1}{2}OM· ON=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×1=\frac{1}{4}$,即此一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为$\frac{1}{4}$.
21.(6分)如图,在平面直角坐标系$xOy$中,长方形$OABC$中$A(4,0),B(4,2),C(0,2)$,将$△ OAB$沿直线$OB$折叠,点$A$落在点$D$处,$OD$交$BC$边于点$E$,
(1)判断三角形$OEB$的形状并证明;
(2)求直线$OD$的函数表达式.
(1)判断三角形$OEB$的形状并证明;
(2)求直线$OD$的函数表达式.
答案：21.解:(1)三角形$OEB$是等腰三角形,理由如下:
由条件可知$BC// AO$,$\therefore∠ EBO=∠ AOB$,
由折叠的性质,得$∠ EOB=∠ AOB$,
$\therefore∠ EOB=∠ EBO$,$\therefore EO=EB$,
$\therefore$三角形$OEB$是等腰三角形.
(2)设点$E$的坐标为$(m,2)$,则$OE=BE=4-m$,$CE=m$.
在$\mathrm{Rt}△ OCE$中,$OC=2$,$CE=m$,$OE=4-m$,
$\therefore(4-m)^2=2^2+m^2$,解得$m=\frac{3}{2}$,
$\therefore$点$E$的坐标为$(\frac{3}{2},2)$.
设直线$OD$的函数表达式为$y=kx$,
将点$(\frac{3}{2},2)$代入$y=kx$中,得$2=\frac{3}{2}k$,解得$k=\frac{4}{3}$,
$\therefore$直线$OD$的函数表达式为$y=\frac{4}{3}x$.
由条件可知$BC// AO$,$\therefore∠ EBO=∠ AOB$,
由折叠的性质,得$∠ EOB=∠ AOB$,
$\therefore∠ EOB=∠ EBO$,$\therefore EO=EB$,
$\therefore$三角形$OEB$是等腰三角形.
(2)设点$E$的坐标为$(m,2)$,则$OE=BE=4-m$,$CE=m$.
在$\mathrm{Rt}△ OCE$中,$OC=2$,$CE=m$,$OE=4-m$,
$\therefore(4-m)^2=2^2+m^2$,解得$m=\frac{3}{2}$,
$\therefore$点$E$的坐标为$(\frac{3}{2},2)$.
设直线$OD$的函数表达式为$y=kx$,
将点$(\frac{3}{2},2)$代入$y=kx$中,得$2=\frac{3}{2}k$,解得$k=\frac{4}{3}$,
$\therefore$直线$OD$的函数表达式为$y=\frac{4}{3}x$.
22.(8分)如图,一次函数$y=kx+b$的图象过点$(-2,4)$,与正比例函数$y=2x$的图象交于点$A(1,a)$.
(1)求一次函数的表达式;
(2)若直线$y=kx+b$与$x$轴交于点$B$,求$S_{△ AOB}$.
(1)求一次函数的表达式;
(2)若直线$y=kx+b$与$x$轴交于点$B$,求$S_{△ AOB}$.
答案：22.解:(1)$\because$正比例函数$y=2x$的图象过点$A(1,a)$,
$\therefore a=2×1=2$,$\therefore A(1,2)$.
$\because$一次函数$y=kx+b$的图象过点$(-2,4),(1,2)$,
$\therefore \begin{cases}-2k+b=4,\\k+b=2,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-\frac{2}{3},\\b=\frac{8}{3}.\end{cases}$
$\therefore$一次函数的表达式为$y=-\frac{2}{3}x+\frac{8}{3}$.
(2)$\because$直线$y=-\frac{2}{3}x+\frac{8}{3}$与$x$轴交于点$B(4,0)$,
$\therefore OB=4$,$\therefore S_{△ AOB}=\frac{1}{2}OB·|y_A|=\frac{1}{2}×4×2=4$.
$\therefore a=2×1=2$,$\therefore A(1,2)$.
$\because$一次函数$y=kx+b$的图象过点$(-2,4),(1,2)$,
$\therefore \begin{cases}-2k+b=4,\\k+b=2,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-\frac{2}{3},\\b=\frac{8}{3}.\end{cases}$
$\therefore$一次函数的表达式为$y=-\frac{2}{3}x+\frac{8}{3}$.
(2)$\because$直线$y=-\frac{2}{3}x+\frac{8}{3}$与$x$轴交于点$B(4,0)$,
$\therefore OB=4$,$\therefore S_{△ AOB}=\frac{1}{2}OB·|y_A|=\frac{1}{2}×4×2=4$.