23.(8分)如图,在平面直角坐标系$xOy$中,直线$l_1$经过原点,且与直线$l_2:y=-x+4$交于点$A(a,3)$,直线$l_2$与$x$轴交于点$B$.
(1)求直线$l_1$的函数表达式；
(2)点$P(n,0)$在$x$轴上,过点$P$作平行于$y$轴的直线,分别与直线$l_1,l_2$交于点$M,N$.若$MN=OB$,求$n$的值.
(1)求直线$l_1$的函数表达式；
(2)点$P(n,0)$在$x$轴上,过点$P$作平行于$y$轴的直线,分别与直线$l_1,l_2$交于点$M,N$.若$MN=OB$,求$n$的值.
答案：23.解:(1)$\because$直线$l_2:y=-x+4$过点$A(a,3)$,
$\therefore 3=-a+4$,解得$a=1$,$\therefore A(1,3)$.
设直线$l_1$的函数表达式为$y=kx(k≠0)$,
$\because$直线$l_1$经过原点,且与直线$l_2:y=-x+4$交于点$A(1,3)$,$\therefore k=3$,$\therefore$直线$l_1$的函数表达式为$y=3x$.
(2)在$y=-x+4$中,当$y=0$时,$-x+4=0$,
解得$x=4$,$\therefore B(4,0)$,$\therefore OB=4$.
$\because$点$P(n,0)$在$x$轴上,过点$P$作平行于$y$轴的直线,分别与直线$l_1,l_2$交于点$M,N$,$\therefore N(n,-n+4)$,$M(n,3n)$,$\therefore MN=|3n-(-n+4)|=|4n-4|$.
$\because MN=OB=4$,$\therefore|4n-4|=4$,解得$n=0$或$n=2$.
$\therefore 3=-a+4$,解得$a=1$,$\therefore A(1,3)$.
设直线$l_1$的函数表达式为$y=kx(k≠0)$,
$\because$直线$l_1$经过原点,且与直线$l_2:y=-x+4$交于点$A(1,3)$,$\therefore k=3$,$\therefore$直线$l_1$的函数表达式为$y=3x$.
(2)在$y=-x+4$中,当$y=0$时,$-x+4=0$,
解得$x=4$,$\therefore B(4,0)$,$\therefore OB=4$.
$\because$点$P(n,0)$在$x$轴上,过点$P$作平行于$y$轴的直线,分别与直线$l_1,l_2$交于点$M,N$,$\therefore N(n,-n+4)$,$M(n,3n)$,$\therefore MN=|3n-(-n+4)|=|4n-4|$.
$\because MN=OB=4$,$\therefore|4n-4|=4$,解得$n=0$或$n=2$.
24.(12分)一条公路上依次有A,B,C三地,甲车从A地出发,沿公路经B地到C地,乙车从C地出发,沿公路驶向B地.甲、乙两车同时出发,匀速行驶,乙车比甲车早$\frac{2}{7}$h到达目的地.甲、乙两车之间的路程y km与两车行驶时间x h的函数关系如图所示,请结合图象信息,解答下列问题:
(1)甲车的行驶速度是
(2)求图中线段EF所在直线的函数表达式(不要求写出自变量的取值范围);
(3)请直接写出甲、乙两车出发多少小时后,乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍.
(1)甲车的行驶速度是
70
km/h,并在图中括号内填上正确的数;(2)求图中线段EF所在直线的函数表达式(不要求写出自变量的取值范围);
(3)请直接写出甲、乙两车出发多少小时后,乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍.
答案：
24.(1)70 点拨:由题图可知,甲车$\frac{2}{7}$ h行驶的路程为$(200-180)\mathrm{km}$,$\therefore$甲车的行驶速度是$(200-180)÷\frac{2}{7}=70(\mathrm{km/h})$,$70×(4+\frac{2}{7})=300(\mathrm{km})$,如答图.
(2)解:由题图可知点$E,F$的坐标分别为$(\frac{5}{2},0)$,$(4,180)$.
设线段$EF$所在直线的函数表达式为$y=kx+b$,则
$\begin{cases}\frac{5}{2}k+b=0,\\4k+b=180,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=120,\\b=-300,\end{cases}$
$\therefore$线段$EF$所在直线的函数表达式为$y=120x-300$.
(3)解:由题意知,A,C两地间的距离为$(4+\frac{2}{7})×70=300(\mathrm{km})$,
乙车的行驶速度为$300÷\frac{5}{2}-70=50(\mathrm{km/h})$,C,B两地间的距离为$50×4=200(\mathrm{km})$,
A,B两地间的距离为$300-200=100(\mathrm{km})$.
设两车出发$x$ h,乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍.
分两种情况:当甲到达B地前,$200-50x=3(100-70x)$,解得$x=\frac{5}{8}$;
当甲到达B地后,$200-50x=3(70x-100)$,解得$x=\frac{25}{13}$.
综上可知,甲、乙两车出发$\frac{5}{8}$ h或$\frac{25}{13}$ h时,乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍.
24.(1)70 点拨:由题图可知,甲车$\frac{2}{7}$ h行驶的路程为$(200-180)\mathrm{km}$,$\therefore$甲车的行驶速度是$(200-180)÷\frac{2}{7}=70(\mathrm{km/h})$,$70×(4+\frac{2}{7})=300(\mathrm{km})$,如答图.
(2)解:由题图可知点$E,F$的坐标分别为$(\frac{5}{2},0)$,$(4,180)$.
设线段$EF$所在直线的函数表达式为$y=kx+b$,则
$\begin{cases}\frac{5}{2}k+b=0,\\4k+b=180,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=120,\\b=-300,\end{cases}$
$\therefore$线段$EF$所在直线的函数表达式为$y=120x-300$.
(3)解:由题意知,A,C两地间的距离为$(4+\frac{2}{7})×70=300(\mathrm{km})$,
乙车的行驶速度为$300÷\frac{5}{2}-70=50(\mathrm{km/h})$,C,B两地间的距离为$50×4=200(\mathrm{km})$,
A,B两地间的距离为$300-200=100(\mathrm{km})$.
设两车出发$x$ h,乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍.
分两种情况:当甲到达B地前,$200-50x=3(100-70x)$,解得$x=\frac{5}{8}$;
当甲到达B地后,$200-50x=3(70x-100)$,解得$x=\frac{25}{13}$.
综上可知,甲、乙两车出发$\frac{5}{8}$ h或$\frac{25}{13}$ h时,乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍.