三、解答题(共42分)
10.(14分)如图,点$A(-1,m)$在直线$l_1:y=-x$上,直线$l_2:y=kx+b(k≠0)$经过点A,且与y轴交于点$B(0,3)$.
(1)求$m$的值及直线$l_2$的函数表达式.
(2)过点$N(n,0)$且垂直于$x$轴的直线与$l_1,l_2$分别交于$C(n,y_1)$,$D(n,y_2)$两点.
①当$n=2$时,连接$BC$,求$△ BCD$的面积;
②若$y_1＜y_2＜6$,直接写出$n$的取值范围.
10.(14分)如图,点$A(-1,m)$在直线$l_1:y=-x$上,直线$l_2:y=kx+b(k≠0)$经过点A,且与y轴交于点$B(0,3)$.
(1)求$m$的值及直线$l_2$的函数表达式.
(2)过点$N(n,0)$且垂直于$x$轴的直线与$l_1,l_2$分别交于$C(n,y_1)$,$D(n,y_2)$两点.
①当$n=2$时,连接$BC$,求$△ BCD$的面积;
②若$y_1＜y_2＜6$,直接写出$n$的取值范围.
答案：10.解:(1)$∵$点$A(-1,m)$在直线$l_1:y=-x$上，
$∴m=-(-1)=1,∴A(-1,1).$
把$A(-1,1),B(0,3)$代入$y=kx+b,$得
$∴ \begin{cases} -k+b=1, \\ b=3, \end{cases} ∴ \begin{cases} k=2, \\ b=3, \end{cases}$
$∴$直线$l_2$的函数表达式为$y=2x+3.$
(2)①在$y=-x$中,当$x=2$时,$y=-2$,则$C(2,-2)$;
在$y=2x+3$中,当$x=2$时,$y=7$,则$D(2,7),$
$∴CD=7-(-2)=9,$
$∴△BCD$的面积为$\frac{1}{2}CD·(x_C-x_B)=\frac{1}{2}×9×2=9.$
②在$y=-x$中,当$x=n$时,$y=-n$,则$C(n,-n)$;
在$y=2x+3$中,当$x=n$时,$y=2n+3$,则$D(n,2n+3);$
$∴y_2=2n+3,y_1=-n. ∵y_1＜y_2＜6,$
$∴ \begin{cases} -n＜2n+3, \\ 2n+3＜6, \end{cases} $解得$-1＜n＜\frac{3}{2}.$
$∴m=-(-1)=1,∴A(-1,1).$
把$A(-1,1),B(0,3)$代入$y=kx+b,$得
$∴ \begin{cases} -k+b=1, \\ b=3, \end{cases} ∴ \begin{cases} k=2, \\ b=3, \end{cases}$
$∴$直线$l_2$的函数表达式为$y=2x+3.$
(2)①在$y=-x$中,当$x=2$时,$y=-2$,则$C(2,-2)$;
在$y=2x+3$中,当$x=2$时,$y=7$,则$D(2,7),$
$∴CD=7-(-2)=9,$
$∴△BCD$的面积为$\frac{1}{2}CD·(x_C-x_B)=\frac{1}{2}×9×2=9.$
②在$y=-x$中,当$x=n$时,$y=-n$,则$C(n,-n)$;
在$y=2x+3$中,当$x=n$时,$y=2n+3$,则$D(n,2n+3);$
$∴y_2=2n+3,y_1=-n. ∵y_1＜y_2＜6,$
$∴ \begin{cases} -n＜2n+3, \\ 2n+3＜6, \end{cases} $解得$-1＜n＜\frac{3}{2}.$
11.(12分)(2026·宿迁宿城区期末)【探究】
(1)把两个全等的直角三角形如图①放置,其三边长分别为$a,b,c$. $∠ A=∠ D=90°$,点$A,B,D$在一条直线上.请利用图①证明勾股定理.
【运用】
(2)如图②,铁路上$A,B$两点(看作直线上的两点)相距30千米,$C,D$为两个村庄(看作两个点),$AD⊥ AB,BC⊥ AB$,垂足分别为$A,B,AD=18$千米,$BC=12$千米,要在$AB$上建造一个供应站$P$,使得$PC=PD$,求$A,P$间的距离.
【拓展】
(3)借助上面的思考过程与几何模型,求代数式$\sqrt{x^2 +9}+\sqrt{(24-x)^2 +49}$的最小值$(0＜x＜24)$.
(1)把两个全等的直角三角形如图①放置,其三边长分别为$a,b,c$. $∠ A=∠ D=90°$,点$A,B,D$在一条直线上.请利用图①证明勾股定理.
【运用】
(2)如图②,铁路上$A,B$两点(看作直线上的两点)相距30千米,$C,D$为两个村庄(看作两个点),$AD⊥ AB,BC⊥ AB$,垂足分别为$A,B,AD=18$千米,$BC=12$千米,要在$AB$上建造一个供应站$P$,使得$PC=PD$,求$A,P$间的距离.
【拓展】
(3)借助上面的思考过程与几何模型,求代数式$\sqrt{x^2 +9}+\sqrt{(24-x)^2 +49}$的最小值$(0＜x＜24)$.
答案：
11.(1)证明:$∵S_{四边形ACED}=S_{△ABC}+S_{△CBE}+S_{△EDB},$
$∴\frac{1}{2}(a+b)(a+b)=2×\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2,∴a^2+b^2=c^2.$
(2)解:如答图①,设$AP=x$千米,则$BP=(30-x)$千米.
$∵PD=PC,∴AD^2+AP^2=CB^2+BP^2,$
即$18^2+x^2=12^2+(30-x)^2$,解得$x=12.$
$∴AP=12$千米.
(3)解:如答图②,先作出点C关于AB的对称点F,连接DF,过点F作$EF⊥AD$,交DA的延长线于点E,即DF就是代数式$\sqrt{x^2+9}+\sqrt{(24-x)^2+49}$的最小值.
代数式$\sqrt{x^2+9}+\sqrt{(24-x)^2+49}$的几何意义是线段AB上一点到点D,C的距离之和,
而点C的对称点F和点D的连线与线段AB的交点就是它取最小值时的点,
从而构造出了以AB为一条直角边,AD和BC的和为另一条直角边的直角三角形,斜边就是最小的值,
$∴$代数式$\sqrt{x^2+9}+\sqrt{(24-x)^2+49}$的最小值为$\sqrt{DE^2+EF^2}=\sqrt{(AD+BC)^2+AB^2}=\sqrt{10^2+24^2}=26.$
11.(1)证明:$∵S_{四边形ACED}=S_{△ABC}+S_{△CBE}+S_{△EDB},$
$∴\frac{1}{2}(a+b)(a+b)=2×\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2,∴a^2+b^2=c^2.$
(2)解:如答图①,设$AP=x$千米,则$BP=(30-x)$千米.
$∵PD=PC,∴AD^2+AP^2=CB^2+BP^2,$
即$18^2+x^2=12^2+(30-x)^2$,解得$x=12.$
$∴AP=12$千米.
(3)解:如答图②,先作出点C关于AB的对称点F,连接DF,过点F作$EF⊥AD$,交DA的延长线于点E,即DF就是代数式$\sqrt{x^2+9}+\sqrt{(24-x)^2+49}$的最小值.
代数式$\sqrt{x^2+9}+\sqrt{(24-x)^2+49}$的几何意义是线段AB上一点到点D,C的距离之和,
而点C的对称点F和点D的连线与线段AB的交点就是它取最小值时的点,
从而构造出了以AB为一条直角边,AD和BC的和为另一条直角边的直角三角形,斜边就是最小的值,
$∴$代数式$\sqrt{x^2+9}+\sqrt{(24-x)^2+49}$的最小值为$\sqrt{DE^2+EF^2}=\sqrt{(AD+BC)^2+AB^2}=\sqrt{10^2+24^2}=26.$
12.(16分)定义:两个顶角相等且顶角顶点重合的等腰三角形称为“同根等腰三角形”,如图①,$OD=OE$,$OA=OB$,$O$为重合的顶角顶点且$∠DOE=∠AOB$,所以$△ ODE$与$△ OAB$是“同根等腰三角形”.
(1)将图①的$△ ODE$绕点$O$旋转,使点$D$在线段$BO$的延长线上,如图②,求证:$DE// AB$;
(2)如图③,$△ ODE$与$△ OAB$是“同根等腰三角形”,且$∠DOE=∠AOB=90°$,连接$AE$,$BD$,试探究$AE$和$BD$的位置关系,并说明理由;
(3)在图③中,连接$BE$,$AD$.若$OD=3$,$OA=5$,$∠BED=135°$,求$AD^2$的值.
(1)将图①的$△ ODE$绕点$O$旋转,使点$D$在线段$BO$的延长线上,如图②,求证:$DE// AB$;
(2)如图③,$△ ODE$与$△ OAB$是“同根等腰三角形”,且$∠DOE=∠AOB=90°$,连接$AE$,$BD$,试探究$AE$和$BD$的位置关系,并说明理由;
(3)在图③中,连接$BE$,$AD$.若$OD=3$,$OA=5$,$∠BED=135°$,求$AD^2$的值.
答案：
12.(1)证明:$∵$点D在线段BO的延长线上,
$∴B,O,D$三点共线.
由“同根等腰三角形”的定义知$∠AOB=∠DOE.$
又$∵OD=OE,OA=OB,∴∠D=∠E,∠A=∠B,$
$∵180°-∠DOE=180°-∠AOB,$
$∴2∠D=2∠B,即∠D=∠B,∴DE// AB.$
(2)解:$AE⊥BD$,理由如下:
设AE交OB于点F,交BD于点G,如答图①.
$∵∠DOE=∠AOB=90°,$
$∴∠DOE+∠BOE=∠AOB+∠BOE,$
即$∠BOD=∠AOE.$
在$△BOD$和$△AOE$中,$\begin{cases} OD=OE, \\ ∠BOD=∠AOE, \\ OB=OA, \end{cases}$
$∴△BOD≌△AOE(SAS),∴∠OBD=∠OAE.$
$∵∠BFG=∠AFO,$
$∴180°-∠OBD-∠BFG=180°-∠OAE-∠AFO,$
即$∠BGF=∠AOF.$
$∵∠AOF=90°,∴AE⊥BD.$
(3)解:过点D作$DK⊥BE$,交BE的延长线于点K,如答图②.
$∵∠DOE=90°,OD=OE=3,∴∠DEO=45°,DE=3\sqrt{2}.$
$∵∠BED=135°,$
$∴∠BEO=∠BED-∠DEO=135°-45°=90°,$
$∠DEK=180°-∠BED=180°-135°=45°.$
$∵OA=OB=5,∴BE=\sqrt{OB^2-OE^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4.$
由$DK⊥BE,∠DEK=45°$,可得$△DEK$是等腰直角三角形,$∴DK=EK=3,$
$∴BK=EK+BE=3+4=7.$
在$\mathrm{Rt}△BDK$中,$BD=\sqrt{BK^2+DK^2}=\sqrt{7^2+3^2}=\sqrt{58}$,由(2)知$△BOD≌△AOE,∴AE=BD=\sqrt{58}.$
设$GB=x$,则$GD=\sqrt{58}-x.$
由(1)知$∠EGB=90°=∠DGE,$
$∴BE^2-BG^2=GE^2=DE^2-GD^2,$
$∴16-x^2=(3\sqrt{2})^2-(\sqrt{58}-x)^2,$
解得$x=\frac{14\sqrt{58}}{29},即GB=\frac{14\sqrt{58}}{29}.$
$∴GD=\sqrt{58}-x=\frac{15\sqrt{58}}{29},GE=\sqrt{BE^2-GB^2}=\sqrt{16-(\frac{14\sqrt{58}}{29})^2}=\frac{6\sqrt{58}}{29}.$
$∴GA=AE-GE=\sqrt{58}-\frac{6\sqrt{58}}{29}=\frac{23\sqrt{58}}{29}.$
在$\mathrm{Rt}△AGD$中,$AD^2=GD^2+GA^2=(\frac{15\sqrt{58}}{29})^2+(\frac{23\sqrt{58}}{29})^2=52,∴AD^2$的值是52.
12.(1)证明:$∵$点D在线段BO的延长线上,
$∴B,O,D$三点共线.
由“同根等腰三角形”的定义知$∠AOB=∠DOE.$
又$∵OD=OE,OA=OB,∴∠D=∠E,∠A=∠B,$
$∵180°-∠DOE=180°-∠AOB,$
$∴2∠D=2∠B,即∠D=∠B,∴DE// AB.$
(2)解:$AE⊥BD$,理由如下:
设AE交OB于点F,交BD于点G,如答图①.
$∵∠DOE=∠AOB=90°,$
$∴∠DOE+∠BOE=∠AOB+∠BOE,$
即$∠BOD=∠AOE.$
在$△BOD$和$△AOE$中,$\begin{cases} OD=OE, \\ ∠BOD=∠AOE, \\ OB=OA, \end{cases}$
$∴△BOD≌△AOE(SAS),∴∠OBD=∠OAE.$
$∵∠BFG=∠AFO,$
$∴180°-∠OBD-∠BFG=180°-∠OAE-∠AFO,$
即$∠BGF=∠AOF.$
$∵∠AOF=90°,∴AE⊥BD.$
(3)解:过点D作$DK⊥BE$,交BE的延长线于点K,如答图②.
$∵∠DOE=90°,OD=OE=3,∴∠DEO=45°,DE=3\sqrt{2}.$
$∵∠BED=135°,$
$∴∠BEO=∠BED-∠DEO=135°-45°=90°,$
$∠DEK=180°-∠BED=180°-135°=45°.$
$∵OA=OB=5,∴BE=\sqrt{OB^2-OE^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4.$
由$DK⊥BE,∠DEK=45°$,可得$△DEK$是等腰直角三角形,$∴DK=EK=3,$
$∴BK=EK+BE=3+4=7.$
在$\mathrm{Rt}△BDK$中,$BD=\sqrt{BK^2+DK^2}=\sqrt{7^2+3^2}=\sqrt{58}$,由(2)知$△BOD≌△AOE,∴AE=BD=\sqrt{58}.$
设$GB=x$,则$GD=\sqrt{58}-x.$
由(1)知$∠EGB=90°=∠DGE,$
$∴BE^2-BG^2=GE^2=DE^2-GD^2,$
$∴16-x^2=(3\sqrt{2})^2-(\sqrt{58}-x)^2,$
解得$x=\frac{14\sqrt{58}}{29},即GB=\frac{14\sqrt{58}}{29}.$
$∴GD=\sqrt{58}-x=\frac{15\sqrt{58}}{29},GE=\sqrt{BE^2-GB^2}=\sqrt{16-(\frac{14\sqrt{58}}{29})^2}=\frac{6\sqrt{58}}{29}.$
$∴GA=AE-GE=\sqrt{58}-\frac{6\sqrt{58}}{29}=\frac{23\sqrt{58}}{29}.$
在$\mathrm{Rt}△AGD$中,$AD^2=GD^2+GA^2=(\frac{15\sqrt{58}}{29})^2+(\frac{23\sqrt{58}}{29})^2=52,∴AD^2$的值是52.