1. 如图，$AB=BE$，$∠ DBC=\frac{1}{2}∠ ABE$，$BD⊥ AC$，则下列结论：①$CB$平分$∠ DCE$；②$∠ ABE+∠ DCE=180°$；③$AC=2BE+CE$；④$AC=2CD-CE$。其中正确的结论为（
A.①②③
B.①②④
C.②③④
D.①③④
B
）A.①②③
B.①②④
C.②③④
D.①③④
答案：1.B
2.如图，在$△ ABC$中，$CD$平分$∠ ACB$，过点$B$作$BD ⊥ CD$，垂足为$D$，连接$AD$。若$BC=8$，$AC=10$，$△ ABC$的面积为28，则$△ ADB$的面积为
$\frac{14}{5}$
。答案：
2.$\frac{14}{5}$ 点拨:延长 $BD$ 交 $AC$ 于点 $E$,如答图,$\because CD$ 平分$∠ ACB,\therefore ∠ BCD=∠ ECD.$
$\because BD ⊥ CD, \therefore ∠ CDB = ∠ CDE = 90°, \therefore ∠ CBD =∠ CED,\therefore CE=CB=8,$
$\therefore △ BCE$ 为等腰三角形,$\therefore BD=ED.$
$\because AE=AC-CE=10-8=2,$
$\therefore \frac{S_{△ ABE}}{S_{△ ABC}}=\frac{AE}{AC}=\frac{2}{10}=\frac{1}{5},$
$\therefore S_{△ ABE}=\frac{1}{5} × 28=\frac{28}{5}.$
$\because BD=\frac{1}{2} BE,\therefore S_{△ ABD}=\frac{1}{2} S_{△ ABE}=\frac{1}{2} × \frac{28}{5}=\frac{14}{5}.$
2.$\frac{14}{5}$ 点拨:延长 $BD$ 交 $AC$ 于点 $E$,如答图,$\because CD$ 平分$∠ ACB,\therefore ∠ BCD=∠ ECD.$
$\because BD ⊥ CD, \therefore ∠ CDB = ∠ CDE = 90°, \therefore ∠ CBD =∠ CED,\therefore CE=CB=8,$
$\therefore △ BCE$ 为等腰三角形,$\therefore BD=ED.$
$\because AE=AC-CE=10-8=2,$
$\therefore \frac{S_{△ ABE}}{S_{△ ABC}}=\frac{AE}{AC}=\frac{2}{10}=\frac{1}{5},$
$\therefore S_{△ ABE}=\frac{1}{5} × 28=\frac{28}{5}.$
$\because BD=\frac{1}{2} BE,\therefore S_{△ ABD}=\frac{1}{2} S_{△ ABE}=\frac{1}{2} × \frac{28}{5}=\frac{14}{5}.$
3. 如图，OA，OC分别是△ABC的外角∠DAC和∠ACE的平分线，连接OB.
(1)求证:BO平分∠ABC；
(2)若AC=6，且△AOC与△ABC的面积分别是12和18，求△ABC的周长.
(1)求证:BO平分∠ABC；
(2)若AC=6，且△AOC与△ABC的面积分别是12和18，求△ABC的周长.
答案：
3.(1)证明:如答图,过点 $O$ 分别作 $OF ⊥ BD,OG ⊥ AC$,$OH ⊥ BE$,垂足分别为 $F,G,H$,
$\because AO$ 平分$∠ CAD$,$CO$ 平分$∠ ACE$,
$\therefore OF=OG,OH=OG,\therefore OF=OH.$
$\because OF ⊥ BD,OH ⊥ BE,\therefore$ 点 $O$ 在$∠ ABC$ 的平分线上,即$BO$ 平分$∠ ABC.$
(2)解:$\because △ AOC$ 的面积为 $12,\therefore \frac{1}{2} AC · OG=12.$
$\because AC=6,\therefore \frac{1}{2} × 6 × OG=12,$
$\therefore OG=4,\therefore OF=OH=OG=4.$
$\because S_{△ ABO}+S_{△ BCO}=S_{△ ABC}+S_{△ AOC}=12+18=30,$
$\therefore \frac{1}{2} AB · OF + \frac{1}{2} BC · OH = 30$,即 $\frac{1}{2} AB × 4 +\frac{1}{2} BC × 4=30$,整理,得 $AB+BC=15$,
$\therefore AB+BC+AC=15+6=21$,故$△ ABC$ 的周长为 $21.$
3.(1)证明:如答图,过点 $O$ 分别作 $OF ⊥ BD,OG ⊥ AC$,$OH ⊥ BE$,垂足分别为 $F,G,H$,
$\because AO$ 平分$∠ CAD$,$CO$ 平分$∠ ACE$,
$\therefore OF=OG,OH=OG,\therefore OF=OH.$
$\because OF ⊥ BD,OH ⊥ BE,\therefore$ 点 $O$ 在$∠ ABC$ 的平分线上,即$BO$ 平分$∠ ABC.$
(2)解:$\because △ AOC$ 的面积为 $12,\therefore \frac{1}{2} AC · OG=12.$
$\because AC=6,\therefore \frac{1}{2} × 6 × OG=12,$
$\therefore OG=4,\therefore OF=OH=OG=4.$
$\because S_{△ ABO}+S_{△ BCO}=S_{△ ABC}+S_{△ AOC}=12+18=30,$
$\therefore \frac{1}{2} AB · OF + \frac{1}{2} BC · OH = 30$,即 $\frac{1}{2} AB × 4 +\frac{1}{2} BC × 4=30$,整理,得 $AB+BC=15$,
$\therefore AB+BC+AC=15+6=21$,故$△ ABC$ 的周长为 $21.$