1. 如图，$△ ABC$是边长为9的等边三角形，D为AC边的中点，$∠ EDF=120°$，DE交线段AB于点E，DF交BC的延长线于点F。若$AE=2BE$，则CF的长为 （
A.1
B.1.5
C.2
D.2.5
B
）A.1
B.1.5
C.2
D.2.5
答案：
1.B 点拨:如答图,过点 D 作 $DG// BC$,交 AB 于点 G.
$\because △ ABC$ 是等边三角形, $\therefore ∠ A=∠ B=∠ ACB=60°$.
$\because D$ 为 AC 边的中点, $\therefore AD=DC$.
$\because DG// BC,\therefore ∠ AGD=∠ B=60°$,
$\therefore ∠ AGD=∠ A=60°,\therefore △ AGD$ 是等边三角形,
$\therefore DG=AD=CD,∠ ADG=60°$,
$\therefore ∠ GDC=120°=∠ EDF,\therefore ∠ GDE=∠ CDF$.
又$\because ∠ DGE=∠ DCF=120°$,
$\therefore △ DGE≌ △ DCF(\mathrm{ASA}),\therefore CF=GE$.
$\because AB=9,AE=2BE,\therefore AE=6$.
又$\because AG=AD=\frac{1}{2}AB=4.5$,
$\therefore EG=AE-AG=1.5,\therefore CF=1.5$.
第1题答图
1.B 点拨:如答图,过点 D 作 $DG// BC$,交 AB 于点 G.
$\because △ ABC$ 是等边三角形, $\therefore ∠ A=∠ B=∠ ACB=60°$.
$\because D$ 为 AC 边的中点, $\therefore AD=DC$.
$\because DG// BC,\therefore ∠ AGD=∠ B=60°$,
$\therefore ∠ AGD=∠ A=60°,\therefore △ AGD$ 是等边三角形,
$\therefore DG=AD=CD,∠ ADG=60°$,
$\therefore ∠ GDC=120°=∠ EDF,\therefore ∠ GDE=∠ CDF$.
又$\because ∠ DGE=∠ DCF=120°$,
$\therefore △ DGE≌ △ DCF(\mathrm{ASA}),\therefore CF=GE$.
$\because AB=9,AE=2BE,\therefore AE=6$.
又$\because AG=AD=\frac{1}{2}AB=4.5$,
$\therefore EG=AE-AG=1.5,\therefore CF=1.5$.
第1题答图2.如图，D是等边三角形ABC外一点，连接AD，BD，CD.已知AB=4，AD=4.5，∠BDC=120°，则△BCD的周长为
8.5
.答案：
2.8.5 点拨:如答图,延长 BD 至点 E,使 $DE=CD$,连接 CE.
$\because △ ABC$ 是等边三角形,
$\therefore BC=AC=AB,∠ ACB=60°$.
$\because ∠ BDC=120°,\therefore ∠ CDE=60°$.
又$\because DE=CD,\therefore △ CDE$ 是等边三角形,
$\therefore CE=CD,∠ DCE=60°$,
$\therefore ∠ ACB+∠ BCD=∠ DCE+∠ BCD$,
即$∠ ACD=∠ BCE$.
在$△ BCE$ 和$△ ACD$ 中,$\begin{cases} BC=AC,\\ ∠ BCE=∠ ACD,\\ CE=CD, \end{cases}$
$\therefore △ BCE≌ △ ACD(\mathrm{SAS})$,
$\therefore BE=AD=4.5,\therefore BD+CD=4.5$.
$\because AB=4,\therefore BC=4$,
$\therefore △ BCD$ 的周长为 $BC+BD+CD=4+4.5=8.5$.
第2题答图
2.8.5 点拨:如答图,延长 BD 至点 E,使 $DE=CD$,连接 CE.
$\because △ ABC$ 是等边三角形,
$\therefore BC=AC=AB,∠ ACB=60°$.
$\because ∠ BDC=120°,\therefore ∠ CDE=60°$.
又$\because DE=CD,\therefore △ CDE$ 是等边三角形,
$\therefore CE=CD,∠ DCE=60°$,
$\therefore ∠ ACB+∠ BCD=∠ DCE+∠ BCD$,
即$∠ ACD=∠ BCE$.
在$△ BCE$ 和$△ ACD$ 中,$\begin{cases} BC=AC,\\ ∠ BCE=∠ ACD,\\ CE=CD, \end{cases}$
$\therefore △ BCE≌ △ ACD(\mathrm{SAS})$,
$\therefore BE=AD=4.5,\therefore BD+CD=4.5$.
$\because AB=4,\therefore BC=4$,
$\therefore △ BCD$ 的周长为 $BC+BD+CD=4+4.5=8.5$.
第2题答图3. 如图，$△ ABC$是等边三角形，$AB=6$，$P$是$AC$边上一动点，由点$A$向点$C$运动（与点$A,C$不重合），$Q$是$CB$延长线上一动点，与点$P$同时以相同的速度由点$B$向$CB$延长线方向运动（点$Q$不与点$B$重合），过点$P$作$PE⊥ AB$于点$E$，连接$PQ$交$AB$于点$D$.
(1)证明:在运动过程中，$D$是线段$PQ$的中点；
(2)当$∠ BQD=30°$时，求$AP$的长；
(3)在运动过程中线段$ED$的长是否发生变化？如果不变，求出线段$ED$的长；如果变化，请说明理由.
(1)证明:在运动过程中，$D$是线段$PQ$的中点；
(2)当$∠ BQD=30°$时，求$AP$的长；
(3)在运动过程中线段$ED$的长是否发生变化？如果不变，求出线段$ED$的长；如果变化，请说明理由.
答案：
3.(1)证明:过点 P 作 $PF// QC$ 交 AB 于点 F. 如答图,
则$△ AFP$ 是等边三角形,$∠ DQB=∠ DPF$.
$\because$ 点 P,Q 同时出发,速度相同,即 $BQ=AP$,
$\therefore BQ=PF$.
在$△ DBQ$ 和$△ DFP$ 中,$\begin{cases} ∠ DQB=∠ DPF,\\ ∠ QDB=∠ PDF,\\ BQ=FP, \end{cases}$
$\therefore △ DBQ≌ △ DFP(\mathrm{AAS}),\therefore DQ=DP$,即 D 是线段PQ 的中点.
(2)解:$\because △ DBQ≌ △ DFP,\therefore BD=DF$.
$\because ∠ DBC=∠ BQD+∠ BDQ=60°,∠ BQD=30°$,
$\therefore ∠ BQD=∠ BDQ=∠ FDP=∠ FPD=30°$,
$\therefore BD=DF=PF=FA=\frac{1}{3}AB=2,\therefore AP=2$.
(3)解:线段 ED 的长不发生变化. 由(2)知 $BD=DF$,
由(1)知$△ AFP$ 是等边三角形,$PE⊥ AB,\therefore AE=EF$,
$\therefore DE=DF+EF=\frac{1}{2}BF+\frac{1}{2}FA=\frac{1}{2}AB=3$.
第3题答图
3.(1)证明:过点 P 作 $PF// QC$ 交 AB 于点 F. 如答图,
则$△ AFP$ 是等边三角形,$∠ DQB=∠ DPF$.
$\because$ 点 P,Q 同时出发,速度相同,即 $BQ=AP$,
$\therefore BQ=PF$.
在$△ DBQ$ 和$△ DFP$ 中,$\begin{cases} ∠ DQB=∠ DPF,\\ ∠ QDB=∠ PDF,\\ BQ=FP, \end{cases}$
$\therefore △ DBQ≌ △ DFP(\mathrm{AAS}),\therefore DQ=DP$,即 D 是线段PQ 的中点.
(2)解:$\because △ DBQ≌ △ DFP,\therefore BD=DF$.
$\because ∠ DBC=∠ BQD+∠ BDQ=60°,∠ BQD=30°$,
$\therefore ∠ BQD=∠ BDQ=∠ FDP=∠ FPD=30°$,
$\therefore BD=DF=PF=FA=\frac{1}{3}AB=2,\therefore AP=2$.
(3)解:线段 ED 的长不发生变化. 由(2)知 $BD=DF$,
由(1)知$△ AFP$ 是等边三角形,$PE⊥ AB,\therefore AE=EF$,
$\therefore DE=DF+EF=\frac{1}{2}BF+\frac{1}{2}FA=\frac{1}{2}AB=3$.
第3题答图