1.如图，在△ABC中，∠C=90°,AB=5 cm,BC=3 cm,若动点P从点C开始,按C→A→B→C的路径运动,且速度为1 cm/s,设运动的时间为t s.当t满足什么条件时,△BCP为直角三角形?
答案：
1. 解:
∵∠C=90°,AB=5 cm,BC=3 cm,
∴由勾股定理,得AC=4 cm,
当点P在AC边上运动时,△BCP为直角三角形,此时0＜t≤4.
当点P在AB边上,且CP⊥AB时,△BCP为直角三角形,如答图.
∵$\frac{1}{2}AB· CP=\frac{1}{2}AC· CB$,即$\frac{1}{2}×5CP=\frac{1}{2}×4×3$,
解得$CP=\frac{12}{5}$.在Rt△APC中,由勾股定理,得$AC^2=AP^2+CP^2$,即$4^2=AP^2+(\frac{12}{5})^2$,解得$AP=\frac{16}{5}$,
∴$AC+AP=4+\frac{16}{5}=\frac{36}{5}$(cm),
∴$t=\frac{36}{5}÷1=\frac{36}{5}$(s).
综上,当$0＜t≤4$或$t=\frac{36}{5}$时,△BCP为直角三角形.
1. 解:
∵∠C=90°,AB=5 cm,BC=3 cm,
∴由勾股定理,得AC=4 cm,
当点P在AC边上运动时,△BCP为直角三角形,此时0＜t≤4.
当点P在AB边上,且CP⊥AB时,△BCP为直角三角形,如答图.
∵$\frac{1}{2}AB· CP=\frac{1}{2}AC· CB$,即$\frac{1}{2}×5CP=\frac{1}{2}×4×3$,
解得$CP=\frac{12}{5}$.在Rt△APC中,由勾股定理,得$AC^2=AP^2+CP^2$,即$4^2=AP^2+(\frac{12}{5})^2$,解得$AP=\frac{16}{5}$,
∴$AC+AP=4+\frac{16}{5}=\frac{36}{5}$(cm),
∴$t=\frac{36}{5}÷1=\frac{36}{5}$(s).
综上,当$0＜t≤4$或$t=\frac{36}{5}$时,△BCP为直角三角形.
2. 如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AC=8\ \mathrm{cm}$,$BC=6\ \mathrm{cm}$,点$M$从点$A$出发沿$A\rightarrow C$方向运动,速度为$1\ \mathrm{cm/s}$,同时,点$N$从点$C$出发沿$C\rightarrow B\rightarrow A$方向运动,速度为$2\ \mathrm{cm/s}$,设运动的时间为$t\ \mathrm{s}$.
(1)当$△ MCN$第一次形成等腰三角形时,$t=$
(2)当点$N$运动到$BA$上时,$△ BCN$是等腰三角形,且$BC$是其中的一条腰长,求出此时点$N$的运动时间.
(1)当$△ MCN$第一次形成等腰三角形时,$t=$
$\frac{8}{3}$
;(2)当点$N$运动到$BA$上时,$△ BCN$是等腰三角形,且$BC$是其中的一条腰长,求出此时点$N$的运动时间.
答案：
2.(1)$\frac{8}{3}$
(2)解:如答图①,当$BC=BN$时,
点N运动的路程是$BC+BN=6+6=12$(cm),
∴点N运动的时间$t=12÷2=6$(s);
如答图②,当$BC=CN$时,
过点C作$CH⊥BN$于点H,
∴$NB=2BH$.
∵∠C=90°,AC=8 cm,BC=6 cm,
∴$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=10$ cm.
∵△ABC的面积为$\frac{1}{2}AB· CH=\frac{1}{2}AC· BC$,
∴$10CH=6×8$,解得$CH=4.8$,
∴$BH=\sqrt{BC^2-CH^2}=3.6$ cm,
∴$BN=2×3.6=7.2$(cm),
∴点N运动的路程是$BC+BN=6+7.2=13.2$(cm),
∴点N运动的时间$t=13.2÷2=6.6$(s).
综上,点N的运动时间是6 s或6.6 s.
2.(1)$\frac{8}{3}$
(2)解:如答图①,当$BC=BN$时,
点N运动的路程是$BC+BN=6+6=12$(cm),
∴点N运动的时间$t=12÷2=6$(s);
如答图②,当$BC=CN$时,
过点C作$CH⊥BN$于点H,
∴$NB=2BH$.
∵∠C=90°,AC=8 cm,BC=6 cm,
∴$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=10$ cm.
∵△ABC的面积为$\frac{1}{2}AB· CH=\frac{1}{2}AC· BC$,
∴$10CH=6×8$,解得$CH=4.8$,
∴$BH=\sqrt{BC^2-CH^2}=3.6$ cm,
∴$BN=2×3.6=7.2$(cm),
∴点N运动的路程是$BC+BN=6+7.2=13.2$(cm),
∴点N运动的时间$t=13.2÷2=6.6$(s).
综上,点N的运动时间是6 s或6.6 s.