1.如图，在$△ ABC$中，$D$是$BC$边上的一点，$DC=5BD=5$，且$△ ADC$的面积为10，则$△ ABC$周长的最小值是（
A.10
B.12
C.14
D.16
D
）A.10
B.12
C.14
D.16
答案：
1.D 点拨:如答图①,过点A作AE//BC,作点C关于直线AE的对称点C',交AE于点E,连接BC',交EA的延长线于点A',
∴∠BCC'=90°.
∵DC=5BD=5,
∴BD=1,CD=5,
∴BC=6.
∵S△ADC=10,即$\frac{1}{2}CD·CE=10$,
∴5×CE=20,
解得CE=4,
∴C'E=4,
∴CC'=8.
要使△ABC的周长最小,则需点A与点A'重合,即点B,A',C'共线,如答图②,由勾股定理,得BC'²=6²+8²=100,
从而BC'=10,
∴△ABC的周长的最小值是A'B+A'C+BC=A'B+A'C'+BC=BC'+BC=10+6=16.
1.D 点拨:如答图①,过点A作AE//BC,作点C关于直线AE的对称点C',交AE于点E,连接BC',交EA的延长线于点A',
∴∠BCC'=90°.
∵DC=5BD=5,
∴BD=1,CD=5,
∴BC=6.
∵S△ADC=10,即$\frac{1}{2}CD·CE=10$,
∴5×CE=20,
解得CE=4,
∴C'E=4,
∴CC'=8.
要使△ABC的周长最小,则需点A与点A'重合,即点B,A',C'共线,如答图②,由勾股定理,得BC'²=6²+8²=100,
从而BC'=10,
∴△ABC的周长的最小值是A'B+A'C+BC=A'B+A'C'+BC=BC'+BC=10+6=16.
2.如图,等腰三角形ABC的底边BC长为2,腰AC的垂直平分线分别交AB,AC边于点M,N.已知D为BC边的中点,P为直线MN上一动点,若△PCD周长的最小值为5,则△ABC的面积为
4
.答案：
2.4 点拨:如答图,连接AP,AD.
∵MN是腰AC的垂直平分线,
∴AP=CP,
∴△PCD的周长为PC+PD+CD=AP+PD+CD.
当A,P,D三点共线时,AP+PD有最小值,为AD的长,
∴AD+CD=5.
∵D为BC边的中点,
∴CD=BD=$\frac{1}{2}$BC=1,
∴AD=4.
∵AB=AC,D为BC边的中点,
∴AD⊥BC,
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$BC·AD=$\frac{1}{2}$×2×4=4.
2.4 点拨:如答图,连接AP,AD.
∵MN是腰AC的垂直平分线,
∴AP=CP,
∴△PCD的周长为PC+PD+CD=AP+PD+CD.
当A,P,D三点共线时,AP+PD有最小值,为AD的长,
∴AD+CD=5.
∵D为BC边的中点,
∴CD=BD=$\frac{1}{2}$BC=1,
∴AD=4.
∵AB=AC,D为BC边的中点,
∴AD⊥BC,
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$BC·AD=$\frac{1}{2}$×2×4=4.
3. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，$AB=BC=8$，点$M$在$BC$边上，且$BM=2$，$N$是$AC$边上一动点，求$BN+MN$的最小值.
答案：
3.解:如答图,过点B作BO⊥AC于点O,延长BO到点B',使OB'=OB,连接MB',交AC于点N,连接CB',
∴BN+MN=NB'+MN=MB',此时BN+MN的值最小.
∵BO⊥AC,AB=BC,∠ABC=90°,
∴∠CBO=$\frac{1}{2}$×90°=45°.
∵BO=OB',BB'⊥AC,
∴CB'=CB=8,
∴∠CB'B=∠OBC=45°,
∴∠B'CB=90°,
∴CB'⊥BC.
又
∵MC=BC-BM=8-2=6,
∴在Rt△MCB'中,根据勾股定理,得MB'=$\sqrt{6^2+8^2}$=10,
∴BN+MN的最小值为10.
3.解:如答图,过点B作BO⊥AC于点O,延长BO到点B',使OB'=OB,连接MB',交AC于点N,连接CB',
∴BN+MN=NB'+MN=MB',此时BN+MN的值最小.
∵BO⊥AC,AB=BC,∠ABC=90°,
∴∠CBO=$\frac{1}{2}$×90°=45°.
∵BO=OB',BB'⊥AC,
∴CB'=CB=8,
∴∠CB'B=∠OBC=45°,
∴∠B'CB=90°,
∴CB'⊥BC.
又
∵MC=BC-BM=8-2=6,
∴在Rt△MCB'中,根据勾股定理,得MB'=$\sqrt{6^2+8^2}$=10,
∴BN+MN的最小值为10.