1. 如图，在平面直角坐标系中，AD是$\mathrm{Rt}△ OAB$的角平分线，已知点D的坐标是$(0,-4)$，AB的长是14，则$△ ABD$的面积为
28
。答案：
1. 28 点拨:如答图,过点D作$DE ⊥ AB$于点E.
$\because D(0,-4),\therefore OD=4.$
$\because AD$平分$∠ OAB,DE ⊥ AB,DO ⊥ AO,$
$\therefore DE=DO=4.$ 又$\because AB$的长是14,
$\therefore S_{△ ABD}=\frac{1}{2}AB · DE=\frac{1}{2} × 14 × 4=28.$
第1题答图
1. 28 点拨:如答图,过点D作$DE ⊥ AB$于点E.
$\because D(0,-4),\therefore OD=4.$
$\because AD$平分$∠ OAB,DE ⊥ AB,DO ⊥ AO,$
$\therefore DE=DO=4.$ 又$\because AB$的长是14,
$\therefore S_{△ ABD}=\frac{1}{2}AB · DE=\frac{1}{2} × 14 × 4=28.$
第1题答图2. 如图,在平面直角坐标系中,A(a,0),B(b,0),其中a,b满足|a+1|+(b−3)²=0.
(1)填空:a=
(2)如果在第三象限内有一点M(−2,m),请用含m的式子表示△ABM的面积;
(3)在(2)的条件下,当m=−$\frac{3}{2}$时,在y轴上有一点P,使得△BMP的面积与△ABM的面积相等,请求出点P的坐标.
(1)填空:a=
−1
,b=3
;(2)如果在第三象限内有一点M(−2,m),请用含m的式子表示△ABM的面积;
(3)在(2)的条件下,当m=−$\frac{3}{2}$时,在y轴上有一点P,使得△BMP的面积与△ABM的面积相等,请求出点P的坐标.
答案：
2.(1)−1 3
(2)解:如答图①,过点M作$MN ⊥ x$轴于点N.
第2题答图①
$\because A(-1,0),B(3,0),\therefore AB=3-(-1)=4.$
$\because M(-2,m)$且点M在第三象限,$\therefore MN=|m|=-m,$
$\therefore S_{△ ABM}=\frac{1}{2}AB · MN=\frac{1}{2} × 4 × (-m)=-2m.$
(3)解:当$m=-\frac{3}{2}$时,$M(-2,-\frac{3}{2})$,
$\therefore S_{△ ABM}=\frac{1}{2} × 4 × \left|-\frac{3}{2}\right|=3.$
分以下两种情况:
若点P在y轴正半轴上,设点$P(0,k)$,如答图②,
$S_{△ BMP}=5 × (\frac{3}{2}+k)-\frac{1}{2} × 2 × (\frac{3}{2}+k)-\frac{1}{2} × 5 × \frac{3}{2}-\frac{1}{2} × 3 × k=\frac{5}{2}k+\frac{9}{4}.$
$\because △ BMP$的面积与$△ ABM$的面积相等,
$\therefore \frac{5}{2}k+\frac{9}{4}=3$,解得$k=0.3,\therefore P(0,0.3).$
第2题答图
若点P在y轴负半轴上且在MB的下方时,如答图③,设点$P(0,n)$,
$S_{△ BMP}=-5n-\frac{1}{2} × 2 × (-n-\frac{3}{2})-\frac{1}{2} × 5 × \frac{3}{2}-\frac{1}{2} × 3 × (-n)=-\frac{5}{2}n-\frac{9}{4}.$
$\because △ BMP$的面积与$△ ABM$的面积相等,
$\therefore -\frac{5}{2}n-\frac{9}{4}=3$,解得$n=-2.1,\therefore P(0,-2.1).$
综上,点P的坐标为$(0,0.3)$或$(0,-2.1).$
2.(1)−1 3
(2)解:如答图①,过点M作$MN ⊥ x$轴于点N.
第2题答图①$\because A(-1,0),B(3,0),\therefore AB=3-(-1)=4.$
$\because M(-2,m)$且点M在第三象限,$\therefore MN=|m|=-m,$
$\therefore S_{△ ABM}=\frac{1}{2}AB · MN=\frac{1}{2} × 4 × (-m)=-2m.$
(3)解:当$m=-\frac{3}{2}$时,$M(-2,-\frac{3}{2})$,
$\therefore S_{△ ABM}=\frac{1}{2} × 4 × \left|-\frac{3}{2}\right|=3.$
分以下两种情况:
若点P在y轴正半轴上,设点$P(0,k)$,如答图②,
$S_{△ BMP}=5 × (\frac{3}{2}+k)-\frac{1}{2} × 2 × (\frac{3}{2}+k)-\frac{1}{2} × 5 × \frac{3}{2}-\frac{1}{2} × 3 × k=\frac{5}{2}k+\frac{9}{4}.$
$\because △ BMP$的面积与$△ ABM$的面积相等,
$\therefore \frac{5}{2}k+\frac{9}{4}=3$,解得$k=0.3,\therefore P(0,0.3).$
第2题答图若点P在y轴负半轴上且在MB的下方时,如答图③,设点$P(0,n)$,
$S_{△ BMP}=-5n-\frac{1}{2} × 2 × (-n-\frac{3}{2})-\frac{1}{2} × 5 × \frac{3}{2}-\frac{1}{2} × 3 × (-n)=-\frac{5}{2}n-\frac{9}{4}.$
$\because △ BMP$的面积与$△ ABM$的面积相等,
$\therefore -\frac{5}{2}n-\frac{9}{4}=3$,解得$n=-2.1,\therefore P(0,-2.1).$
综上,点P的坐标为$(0,0.3)$或$(0,-2.1).$
3. 如图①,在平面直角坐标系中,$A(a,0),B(0,4),C(c,c)$,且$(a+2)^2+\sqrt{c-4}=0$.
(1)直接写出$a,c$的值和$△ ABC$的面积;
(2)设$AC$与$y$轴交于点$D$,求$△ BCD$的面积;
(3)如图②,连接$OC$,点$M(0,m)$在$y$轴上,使$△ AOM$与$△ BCM$的面积相等,求$m$的值;
(4)如图③,点$N$在四边形$OABC$内部,使$△ BCN$的面积是$△ AON$的面积的$2$倍,且$△ OCN$的面积是$△ ABN$的面积的$2$倍,直接写出点$N$的坐标.
(1)直接写出$a,c$的值和$△ ABC$的面积;
(2)设$AC$与$y$轴交于点$D$,求$△ BCD$的面积;
(3)如图②,连接$OC$,点$M(0,m)$在$y$轴上,使$△ AOM$与$△ BCM$的面积相等,求$m$的值;
(4)如图③,点$N$在四边形$OABC$内部,使$△ BCN$的面积是$△ AON$的面积的$2$倍,且$△ OCN$的面积是$△ ABN$的面积的$2$倍,直接写出点$N$的坐标.
答案：
3.解:(1)$\because A(a,0),B(0,4),C(c,c)$,且$(a+2)^2+\sqrt{c-4}=0$,
$\therefore a+2=0,c-4=0,\therefore a=-2,c=4,$
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × 4 × 4=8.$
(2)$\because A(-2,0),B(0,4),C(4,4),S_{△ ABC}=8$,
$\therefore S_{△ ABC}=S_{△ ABD}+S_{△ BCD}=\frac{1}{2}BD × (2+4)=3BD=8,$
$\therefore BD=\frac{8}{3},\therefore S_{△ BCD}=\frac{1}{2} × 4 × \frac{8}{3}=\frac{16}{3}.$
(3)当点M在线段OB上时,
$\because S_{△ BCM}=S_{△ AOM},$
$\therefore \frac{1}{2}BC · BM=\frac{1}{2}AO · OM,$
即$\frac{1}{2} × 4(4-m)=\frac{1}{2} × 2m$,解得$m=\frac{8}{3}$;
同理,当点M在点B上方时,$\frac{1}{2} × 4(m-4)=\frac{1}{2} × 2m$,解得$m=8$;
当点M在点O下方时,$\frac{1}{2} × 4(4-m)=\frac{1}{2} × 2(-m)$,解得$m=8$(不合题意,舍去).综上,$m$的值为$\frac{8}{3}$或8.
(4)如答图,过点N作直线$l // x$轴,交AB于点E,交y轴于点F,交OC于点G,
第3题答图
$\because S_{△ BCN}=2S_{△ AON},\therefore \frac{1}{2}BC · BF=2 × \frac{1}{2}AO · OF,$
即$\frac{1}{2} × 4(4-OF)=2 × \frac{1}{2} × 2OF$,
解得$OF=2$,$\therefore$点N的纵坐标为2,
$\therefore$点E的纵坐标为2,
$\therefore S_{△ ABO}=S_{△ AOE}+S_{△ BOE}=\frac{1}{2} × 2 × 2+\frac{1}{2} × 4EF=\frac{1}{2} × 2 × 4$,解得$EF=1$,
$\therefore E(-1,2)$,
同理$G(2,2),\therefore EG=3.$
$\because S_{△ OCN}=2S_{△ ABN},$
$\therefore \frac{1}{2} × NG × 2+\frac{1}{2} × NG × 2=2 × [\frac{1}{2}(3-NG) × 2+\frac{1}{2} × (3-NG) × 2]$,解得$NG=2$,
$\therefore N(0,2).$
3.解:(1)$\because A(a,0),B(0,4),C(c,c)$,且$(a+2)^2+\sqrt{c-4}=0$,
$\therefore a+2=0,c-4=0,\therefore a=-2,c=4,$
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × 4 × 4=8.$
(2)$\because A(-2,0),B(0,4),C(4,4),S_{△ ABC}=8$,
$\therefore S_{△ ABC}=S_{△ ABD}+S_{△ BCD}=\frac{1}{2}BD × (2+4)=3BD=8,$
$\therefore BD=\frac{8}{3},\therefore S_{△ BCD}=\frac{1}{2} × 4 × \frac{8}{3}=\frac{16}{3}.$
(3)当点M在线段OB上时,
$\because S_{△ BCM}=S_{△ AOM},$
$\therefore \frac{1}{2}BC · BM=\frac{1}{2}AO · OM,$
即$\frac{1}{2} × 4(4-m)=\frac{1}{2} × 2m$,解得$m=\frac{8}{3}$;
同理,当点M在点B上方时,$\frac{1}{2} × 4(m-4)=\frac{1}{2} × 2m$,解得$m=8$;
当点M在点O下方时,$\frac{1}{2} × 4(4-m)=\frac{1}{2} × 2(-m)$,解得$m=8$(不合题意,舍去).综上,$m$的值为$\frac{8}{3}$或8.
(4)如答图,过点N作直线$l // x$轴,交AB于点E,交y轴于点F,交OC于点G,
第3题答图$\because S_{△ BCN}=2S_{△ AON},\therefore \frac{1}{2}BC · BF=2 × \frac{1}{2}AO · OF,$
即$\frac{1}{2} × 4(4-OF)=2 × \frac{1}{2} × 2OF$,
解得$OF=2$,$\therefore$点N的纵坐标为2,
$\therefore$点E的纵坐标为2,
$\therefore S_{△ ABO}=S_{△ AOE}+S_{△ BOE}=\frac{1}{2} × 2 × 2+\frac{1}{2} × 4EF=\frac{1}{2} × 2 × 4$,解得$EF=1$,
$\therefore E(-1,2)$,
同理$G(2,2),\therefore EG=3.$
$\because S_{△ OCN}=2S_{△ ABN},$
$\therefore \frac{1}{2} × NG × 2+\frac{1}{2} × NG × 2=2 × [\frac{1}{2}(3-NG) × 2+\frac{1}{2} × (3-NG) × 2]$,解得$NG=2$,
$\therefore N(0,2).$