1. 如图，CD为$△ ABC$的中线，M，N分别为直线CD上的点，且$BM// AN$，则$CM+CN$与CD之间的数量关系为
CM+CN=2CD
。答案：1. CM+CN=2CD 点拨:
∵BM//AN,
∴∠NAD=∠MBD,∠N=∠BMD.
又
∵CD为△ABC的中线,
∴AD=BD,
∴△ADN≌△BDM(AAS),
∴DN=DM,
∴CM+CN=CM+CD+DN=CM+CD+DM=CD+CD=2CD.
∵BM//AN,
∴∠NAD=∠MBD,∠N=∠BMD.
又
∵CD为△ABC的中线,
∴AD=BD,
∴△ADN≌△BDM(AAS),
∴DN=DM,
∴CM+CN=CM+CD+DN=CM+CD+DM=CD+CD=2CD.
2. 如图，△ABC是等边三角形，△BDC是等腰三角形，BD＝CD，∠BDC＝120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB，AC边于点M，N，连接MN.
(1)探究BM，MN，NC之间的数量关系，并说明理由.
(2)若△ABC的边长为2，求△AMN的周长.
(1)探究BM，MN，NC之间的数量关系，并说明理由.
(2)若△ABC的边长为2，求△AMN的周长.
答案：
2. 解:(1)MN=BM+NC. 理由如下：
延长 AC 至点E,使得 CE=BM,连接 DE,如答图所示
.
∵△ABC 为等边三角形,
∴∠ABC=∠ACB=60°.
∵BD=DC,∠BDC=120°,
∴∠DBC=∠DCB=30°,
∴∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠DCB=60°+30°=90°,
∴∠MBD=∠ACD=90°,
∴∠ECD=90°.
在△MBD与△ECD中,
$\begin{cases} BD=CD, \\ ∠MBD=∠ECD, \\ BM=CE, \end{cases}$
∴△MBD≌△ECD(SAS),
∴MD=DE,∠BDM=∠CDE.
又
∵∠BDC=120°,∠MDN=60°,
∴∠BDM+∠NDC=∠BDC-∠MDN=60°,
∴∠CDE+∠NDC=60°,即∠NDE=60°,
∴∠MDN=∠NDE.
在△DMN与△DEN中,
$\begin{cases} DM=DE, \\ ∠MDN=∠EDN, \\ DN=DN, \end{cases}$
∴△DMN≌△DEN(SAS),
∴MN=EN.
又
∵NE=NC+CE,BM=CE,
∴MN=BM+NC.
(2)
∵△ABC 为等边三角形,
∴AB=BC=AC=2,
由(1)知 BM=CE,MN=EN,
∴△AMN 的周长为 AM+MN+AN=AM+NE+AN=AM+AN+NC+CE=AM+AN+NC+BM=(AM+BM)+(NC+AN)=AB+AC=2+2=4.
2. 解:(1)MN=BM+NC. 理由如下：
延长 AC 至点E,使得 CE=BM,连接 DE,如答图所示
.∵△ABC 为等边三角形,
∴∠ABC=∠ACB=60°.
∵BD=DC,∠BDC=120°,
∴∠DBC=∠DCB=30°,
∴∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠DCB=60°+30°=90°,
∴∠MBD=∠ACD=90°,
∴∠ECD=90°.
在△MBD与△ECD中,
$\begin{cases} BD=CD, \\ ∠MBD=∠ECD, \\ BM=CE, \end{cases}$
∴△MBD≌△ECD(SAS),
∴MD=DE,∠BDM=∠CDE.
又
∵∠BDC=120°,∠MDN=60°,
∴∠BDM+∠NDC=∠BDC-∠MDN=60°,
∴∠CDE+∠NDC=60°,即∠NDE=60°,
∴∠MDN=∠NDE.
在△DMN与△DEN中,
$\begin{cases} DM=DE, \\ ∠MDN=∠EDN, \\ DN=DN, \end{cases}$
∴△DMN≌△DEN(SAS),
∴MN=EN.
又
∵NE=NC+CE,BM=CE,
∴MN=BM+NC.
(2)
∵△ABC 为等边三角形,
∴AB=BC=AC=2,
由(1)知 BM=CE,MN=EN,
∴△AMN 的周长为 AM+MN+AN=AM+NE+AN=AM+AN+NC+CE=AM+AN+NC+BM=(AM+BM)+(NC+AN)=AB+AC=2+2=4.
3.感知:如图①,AD平分∠BAC,∠B+∠C=180°,∠B=90°.易知:DB=DC.(不需证明)
(1)探究:如图②,AD平分∠BAC,∠ABD+∠ACD=180°,∠ABD＜90°,求证:DB=DC;
(2)应用:如图③,在四边形ABDC中,∠B=45°,∠C=135°,DB=DC,DE⊥AB于点E,求证:AB−AC=2BE.
(1)探究:如图②,AD平分∠BAC,∠ABD+∠ACD=180°,∠ABD＜90°,求证:DB=DC;
(2)应用:如图③,在四边形ABDC中,∠B=45°,∠C=135°,DB=DC,DE⊥AB于点E,求证:AB−AC=2BE.
答案：
3. 证明:(1)如答图①
,过点 D 作 DE⊥AB 于点 E,DF⊥AC,交 AC 的延长线于点 F,则∠DEB=∠DEA=∠F=90°.
∵AD 平分∠BAC,
∴∠DAF=∠DAE. 又
∵AD=AD,
∴△ADE≌△ADF(AAS),
∴DE=DF.
∵∠B+∠ACD=180°,∠DCF+∠ACD=180°,
∴∠B=∠DCF.
又
∵∠F=∠DEB,
∴△DEB≌△DFC(AAS),
∴DB=DC.
(2)如答图②
,连接 AD,作 DF⊥AC,交 AC 的延长线于点 F.
∵∠ACD=135°,
∴∠FCD=180°−∠ACD=45°.
∵∠B=45°,
∴∠FCD=∠B.
在△DFC 和△DEB 中,$\begin{cases} ∠DFC=∠DEB=90°, \\ ∠DCF=∠B, \\ DC=DB, \end{cases}$
∴△DFC≌△DEB(AAS),
∴DF=DE,CF=BE.
在Rt△ADF 和Rt△ADE 中,$\begin{cases} AD=AD, \\ DF=DE, \end{cases}$
∴Rt△ADF≌Rt△ADE(HL),
∴AF=AE,
∴AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE,
∴AB−AC=2BE.
3. 证明:(1)如答图①
,过点 D 作 DE⊥AB 于点 E,DF⊥AC,交 AC 的延长线于点 F,则∠DEB=∠DEA=∠F=90°.∵AD 平分∠BAC,
∴∠DAF=∠DAE. 又
∵AD=AD,
∴△ADE≌△ADF(AAS),
∴DE=DF.
∵∠B+∠ACD=180°,∠DCF+∠ACD=180°,
∴∠B=∠DCF.
又
∵∠F=∠DEB,
∴△DEB≌△DFC(AAS),
∴DB=DC.
(2)如答图②
,连接 AD,作 DF⊥AC,交 AC 的延长线于点 F.∵∠ACD=135°,
∴∠FCD=180°−∠ACD=45°.
∵∠B=45°,
∴∠FCD=∠B.
在△DFC 和△DEB 中,$\begin{cases} ∠DFC=∠DEB=90°, \\ ∠DCF=∠B, \\ DC=DB, \end{cases}$
∴△DFC≌△DEB(AAS),
∴DF=DE,CF=BE.
在Rt△ADF 和Rt△ADE 中,$\begin{cases} AD=AD, \\ DF=DE, \end{cases}$
∴Rt△ADF≌Rt△ADE(HL),
∴AF=AE,
∴AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE,
∴AB−AC=2BE.