7. 已知$∠ AOB=30°$，自$∠ AOB$的顶点$O$引射线$OC$.若$∠ AOC:∠ AOB=4:3$，则$∠ BOC$的度数是（
A.$10°$
B.$40°$或$30°$
C.$70°$
D.$10°$或$70°$
D
）A.$10°$
B.$40°$或$30°$
C.$70°$
D.$10°$或$70°$
答案：7. D 解析:因为$∠AOB=30°$,$∠AOC:∠AOB=4:3$,所以$∠AOC=40°$.分类讨论如下:① 当$OB$在$∠AOC$内时,$∠BOC=∠AOC-∠AOB=10°$;② 当$OB$在$∠AOC$外时,$∠BOC=∠AOC+∠AOB=70°$.综上所述,$∠BOC$的度数是$10°$或$70°$.
8. 如图，A，O，B 三点在同一条直线上.若∠1是锐角，则∠1的余角可表示为 （
A.$\frac{1}{2}∠2 - ∠1$
B.$\frac{1}{2}(∠2 - 3∠1)$
C.$\frac{1}{2}(∠2 - ∠1)$
D.$\frac{1}{3}(∠1 + ∠2)$
C
）A.$\frac{1}{2}∠2 - ∠1$
B.$\frac{1}{2}(∠2 - 3∠1)$
C.$\frac{1}{2}(∠2 - ∠1)$
D.$\frac{1}{3}(∠1 + ∠2)$
答案：8. C 解析:因为$∠1+∠2=180°$,所以$\frac{1}{2}(∠1+∠2)=90°$,所以$∠1$的余角可表示为$90°-∠1=\frac{1}{2}(∠1+∠2)-∠1=\frac{1}{2}(∠2-∠1)$.
9. (2026·江苏南京期末)已知 D 为线段 AC 的中点,B 为直线 AC 上的一点,且 $BC=\frac{1}{2}AB$.若 $BD=1$,则线段 AC 的长为 （
A.$\frac{2}{3}$
B.$\frac{3}{2}$
C.6 或 $\frac{2}{3}$
D.6 或 $\frac{3}{2}$
C
）A.$\frac{2}{3}$
B.$\frac{3}{2}$
C.6 或 $\frac{2}{3}$
D.6 或 $\frac{3}{2}$
答案：
9. C 解析:设$BC=x$.因为$BC=\frac{1}{2}AB$,所以$AB=2BC=2x$.因为$BD=1$,所以分类讨论如下:① 如图①,当点$B$在线段$AC$上时,$AC=AB+BC=3x$.因为$D$为线段$AC$的中点,所以$AD=\frac{1}{2}AC=1.5x$,所以$BD=AB-AD=0.5x$,所以$0.5x=1$,解得$x=2$,所以$AC=6$;② 如图②,当点$B$在线段$AC$的延长线上时,$AC=AB-BC=x$.因为$D$为线段$AC$的中点,所以$CD=\frac{1}{2}AC=0.5x$,所以$BD=BC+CD=1.5x$,所以$1.5x=1$,解得$x=\frac{2}{3}$,所以$AC=\frac{2}{3}$.综上所述,线段$AC$的长为6或$\frac{2}{3}$.
9. C 解析:设$BC=x$.因为$BC=\frac{1}{2}AB$,所以$AB=2BC=2x$.因为$BD=1$,所以分类讨论如下:① 如图①,当点$B$在线段$AC$上时,$AC=AB+BC=3x$.因为$D$为线段$AC$的中点,所以$AD=\frac{1}{2}AC=1.5x$,所以$BD=AB-AD=0.5x$,所以$0.5x=1$,解得$x=2$,所以$AC=6$;② 如图②,当点$B$在线段$AC$的延长线上时,$AC=AB-BC=x$.因为$D$为线段$AC$的中点,所以$CD=\frac{1}{2}AC=0.5x$,所以$BD=BC+CD=1.5x$,所以$1.5x=1$,解得$x=\frac{2}{3}$,所以$AC=\frac{2}{3}$.综上所述,线段$AC$的长为6或$\frac{2}{3}$.
10. 新素养 推理能力 如图,在长方形$ABCD$中,$AB:BC=2:1$,$AB=12\ \mathrm{cm}$,点$P$从点$A$出发,沿边$AB$以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度向点$B$运动,点$Q$从点$D$出发,沿边$DA$以$1\ \mathrm{cm/s}$的速度向点$A$运动.假设$P,Q$两点同时出发,运动时间为$t\ \mathrm{s}(0＜t＜6)$.在整个运动过程中,给出下列结论:① 图中共有11条线段;② 图中共有19个小于平角的角;③ 当$t=2$时,$PB:BC=4:3$;④ 四边形$QAPC$的面积为$36\ \mathrm{cm}^2$.其中正确的有（
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
D
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案：10. D 解析:题图中线段有$AP,AB,PB,BC,CD,DQ,DA,AQ,PC,CQ,PQ$,共11条,故①正确;图中小于平角的角有$∠A,∠B,∠BCD,∠D,∠APQ,∠BPC,∠CPQ,∠APC,∠BPQ,∠BCP,∠PCQ,∠QCD,∠BCQ,∠PCD,∠CQD,∠PQC,∠AQP,∠AQC,∠PQD$,共19个,故②正确;当$t=2$时,$AP=2×2=4(\mathrm{cm})$.因为$AB=12\ \mathrm{cm}$,所以$PB=AB-AP=8\ \mathrm{cm}$.因为$AB:BC=2:1$,所以$BC=\frac{1}{2}AB=6\ \mathrm{cm}$,所以$PB:BC=4:3$,故③正确;因为$PB=AB-AP=(12-2t)\mathrm{cm}$,$DQ=t\ \mathrm{cm}$,所以四边形$QAPC$的面积为$12×6-\frac{1}{2}(12-2t)×6-\frac{1}{2}×12×t=72-36+6t-6t=36(\mathrm{cm}^2)$,故④正确.综上所述,其中正确的结论有4个.
11. (2025·黑龙江绥化改编)如图，AD是∠EAC的平分线，AD//BC.若∠B＝38°,B,A,E三点共线，则∠C的度数是
38°
.答案：11. 38°
12. 如图，$OA⊥ OB$，$∠ AOD=\frac{1}{2}∠ COD$，$∠ BOC=3∠ AOD$，则$∠ COD=$
30°
。答案：12. 30°
13. (2026·黑龙江绥化改编)如图，$AD// BC$，$∠ C=30°$.若$∠ ADB:∠ BDC=1:2$，则$∠ DBC$的度数是
50°
.答案：13. 50°
14. 若一个角的补角是这个角余角的4倍，则这个角的度数是
60°
.答案：14. 60°