24.（6分）（2026·江苏淮安期末）某服装店计划从批发市场购进甲、乙两种不同款式的服装共80件进行销售.已知甲种款式的服装每件的进价比乙种款式的服装每件的进价贵10元，购进30件甲种款式服装的费用比购进35件乙种款式服装的费用少100元.
（1）甲、乙两种款式的服装每件的进价分别是多少元？
（2）该服装店购进乙种款式服装的件数是甲种款式服装件数的3倍，并都以每件120元的价格进行销售.经过一段时间，甲种款式服装全部售完，乙种款式服装还剩20件未售完，该服装店决定对剩下的服装打八折销售.求该服装店把这批服装全部销售完获得的利润.
（1）甲、乙两种款式的服装每件的进价分别是多少元？
（2）该服装店购进乙种款式服装的件数是甲种款式服装件数的3倍，并都以每件120元的价格进行销售.经过一段时间，甲种款式服装全部售完，乙种款式服装还剩20件未售完，该服装店决定对剩下的服装打八折销售.求该服装店把这批服装全部销售完获得的利润.
答案：24. (1) 设乙种款式的服装每件的进价是$x$元,则甲种款式的服装每件的进价是$(x+10)$元.由题意,得$30(x+10)=35x-100$,解得$x=80$,则$x+10=90$.故甲种款式的服装每件的进价是90元,乙种款式的服装每件的进价是80元.
(2) 设该服装店购进甲种款式服装$y$件,则购进乙种款式服装$3y$件.由题意,得$y+3y=80$,解得$y=20$,则$3y=60$,所以该服装店购进甲种款式服装20件,购进乙种款式服装60件,则$120×(80-20)+120×0.8×20-(90×20+80×60)=2\ 520$(元).故该服装店把这批服装全部销售完获得的利润是2 520元.
(2) 设该服装店购进甲种款式服装$y$件,则购进乙种款式服装$3y$件.由题意,得$y+3y=80$,解得$y=20$,则$3y=60$,所以该服装店购进甲种款式服装20件,购进乙种款式服装60件,则$120×(80-20)+120×0.8×20-(90×20+80×60)=2\ 520$(元).故该服装店把这批服装全部销售完获得的利润是2 520元.
25. (7分)新趋势 推导探究 如图，线段$AB=10$，动点$P$从点$A$出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段$AB$向终点$B$运动，同时，另一个动点$Q$从点$B$出发，以每秒3个单位长度的速度在线段$AB$上来回运动(从点$B$向点$A$运动，到达点$A$后，立即原速返回，回到点$B$后立即调头向点$A$运动)。当点$P$到达点$B$时，$P$，$Q$两点都停止运动。设运动的时间为$x$ s.(点$Q$调头的时间忽略不计)
(1) 当$x=3$时，线段$PQ$的长为
(2) 当$P$，$Q$两点第一次相遇时，求线段$BQ$的长；
(3) 是否存在某一时刻，使点$Q$恰好落在线段$AP$的中点处？若存在，请求出所有满足条件的$x$的值；若不存在，请说明理由。
(1) 当$x=3$时，线段$PQ$的长为
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；(2) 当$P$，$Q$两点第一次相遇时，求线段$BQ$的长；
(3) 是否存在某一时刻，使点$Q$恰好落在线段$AP$的中点处？若存在，请求出所有满足条件的$x$的值；若不存在，请说明理由。
答案：
25. (1) 2 解析:当$x=3$时,P,Q两点的位置如图所示：
此时$AP=1×3=3,BQ=3×3=9$.因为$AB=10$,所以$AQ=AB-BQ=1$,所以$PQ=AP-AQ=2$.
(2) 当P,Q两点第一次相遇时,$x+3x=10$,解得$x=2.5$,则$3x=7.5$.故当P,Q两点第一次相遇时,线段$BQ$的长为7.5.
(3) 由题意,得当点$P$到达点$B$时,$x=10÷1=10$,所以$0≤ x≤10$.当点$Q$恰好落在线段$AP$的中点处时,分类讨论如下:① 当点$Q$从点$B$出发未到点$A$时,有$x=2(10-3x)$,解得$x=\frac{20}{7}$;② 当点$Q$到达点$A$后,从点$A$返回点$B$时,有$x=2(3x-10)$,解得$x=4$;③ 当点$Q$第一次返回到点$B$后,从点$B$向点$A$运动时,有$x=2(10×3-3x)$,解得$x=\frac{60}{7}$.综上所述,存在满足条件的$x$,且所有$x$的值为$\frac{20}{7}$,$4$,$\frac{60}{7}$.
25. (1) 2 解析:当$x=3$时,P,Q两点的位置如图所示：
此时$AP=1×3=3,BQ=3×3=9$.因为$AB=10$,所以$AQ=AB-BQ=1$,所以$PQ=AP-AQ=2$.
(2) 当P,Q两点第一次相遇时,$x+3x=10$,解得$x=2.5$,则$3x=7.5$.故当P,Q两点第一次相遇时,线段$BQ$的长为7.5.
(3) 由题意,得当点$P$到达点$B$时,$x=10÷1=10$,所以$0≤ x≤10$.当点$Q$恰好落在线段$AP$的中点处时,分类讨论如下:① 当点$Q$从点$B$出发未到点$A$时,有$x=2(10-3x)$,解得$x=\frac{20}{7}$;② 当点$Q$到达点$A$后,从点$A$返回点$B$时,有$x=2(3x-10)$,解得$x=4$;③ 当点$Q$第一次返回到点$B$后,从点$B$向点$A$运动时,有$x=2(10×3-3x)$,解得$x=\frac{60}{7}$.综上所述,存在满足条件的$x$,且所有$x$的值为$\frac{20}{7}$,$4$,$\frac{60}{7}$.