典例3 新趋势 传统文化 我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹.每人六竿多十四，每人八竿少二竿.”若设牧童有$x$人，则根据题意可列方程为
（）
A. $6x + 14 = 8x + 2$
B. $6x - 14 = 8x + 2$
C. $6x + 14 = 8x - 2$
D. $6x - 14 = 8x - 2$
【思路点拨】抓住竹竿总数不变即可列方程：$6x + 14 = 8x - 2$.
【答案】C
名师大招▶1. 审:弄清题意;2. 设:设未知数;3. 找:找等量关系;4. 列:列出方程.
（）
A. $6x + 14 = 8x + 2$
B. $6x - 14 = 8x + 2$
C. $6x + 14 = 8x - 2$
D. $6x - 14 = 8x - 2$
【思路点拨】抓住竹竿总数不变即可列方程：$6x + 14 = 8x - 2$.
【答案】C
名师大招▶1. 审:弄清题意;2. 设:设未知数;3. 找:找等量关系;4. 列:列出方程.
答案：C
解析：
【分析】
解题时首先要抓住题目中的不变量，本题中竹竿的总数量是固定不变的，这是列方程的核心依据。接下来结合已经设出的未知数$x$（牧童人数），分别用两种分配方式表示出竹竿的总数量：第一种分配方案每人分6竿，还剩余14竿，总竹竿数就是每人分得的数量乘人数，再加上多余的数量；第二种分配方案每人分8竿，还差2竿，说明实际总竹竿数比每人8竿所需的总数量少2，用8乘人数减去缺少的数量就能得到实际总竹竿数。最后因为两个表达式都表示总竹竿数，二者相等即可列出对应的方程。
【解析】
解：本题的核心等量关系为：两种分配方式下竹竿的总数量相等。
已知牧童有$x$人：
1. 若每人分6竿，多14竿，则竹竿总数量为：$6x + 14$；
2. 若每人分8竿，少2竿，则竹竿总数量为：$8x - 2$。
因为竹竿总数量不变，因此可列方程：$6x + 14 = 8x - 2$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元一次方程应用
2. 等量关系分析
3. 盈亏问题
【点评】
本题结合传统古算文化考查一元一次方程的实际应用，解题关键是抓住总量不变的核心等量关系，分别用两种分配方案表示出总量即可列得方程，注重对读题理解和信息提取能力的考查。
【难度系数】
0.8
解题时首先要抓住题目中的不变量，本题中竹竿的总数量是固定不变的，这是列方程的核心依据。接下来结合已经设出的未知数$x$（牧童人数），分别用两种分配方式表示出竹竿的总数量：第一种分配方案每人分6竿，还剩余14竿，总竹竿数就是每人分得的数量乘人数，再加上多余的数量；第二种分配方案每人分8竿，还差2竿，说明实际总竹竿数比每人8竿所需的总数量少2，用8乘人数减去缺少的数量就能得到实际总竹竿数。最后因为两个表达式都表示总竹竿数，二者相等即可列出对应的方程。
【解析】
解：本题的核心等量关系为：两种分配方式下竹竿的总数量相等。
已知牧童有$x$人：
1. 若每人分6竿，多14竿，则竹竿总数量为：$6x + 14$；
2. 若每人分8竿，少2竿，则竹竿总数量为：$8x - 2$。
因为竹竿总数量不变，因此可列方程：$6x + 14 = 8x - 2$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元一次方程应用
2. 等量关系分析
3. 盈亏问题
【点评】
本题结合传统古算文化考查一元一次方程的实际应用，解题关键是抓住总量不变的核心等量关系，分别用两种分配方案表示出总量即可列得方程，注重对读题理解和信息提取能力的考查。
【难度系数】
0.8
3. 新趋势 情境素材 一名快递员需要在规定时间内开车将快递送到某地，若快递员开车每分钟行驶1.2 km，则早到10 min；若快递员开车每分钟行驶0.8 km，则要迟到5 min. 对于这个问题，小明和小亮分别列出了各自的方程.
小明:设快递员所行驶的总路程为$x$ km,则$\frac{x}{1.2}-10=\frac{x}{0.8}+5$.
小亮:设规定时间为$y$ min,则$1.2(y-10)=0.8(y+5)$.
对于小明和小亮所列的方程,下列判断正确的是
（
A.只有小明的正确
B.只有小亮的正确
C.小明、小亮的都正确
D.小明、小亮的都不正确
小明:设快递员所行驶的总路程为$x$ km,则$\frac{x}{1.2}-10=\frac{x}{0.8}+5$.
小亮:设规定时间为$y$ min,则$1.2(y-10)=0.8(y+5)$.
对于小明和小亮所列的方程,下列判断正确的是
（
B
）A.只有小明的正确
B.只有小亮的正确
C.小明、小亮的都正确
D.小明、小亮的都不正确
答案：3. B
解析：
【分析】
这是一道一元一次方程应用的判断题，核心是抓住行程问题中的不变量列等式。首先分析小明的思路：他设总路程为x km，等量关系应为规定时间固定，速度快时行驶时间比规定时间少10分钟，速度慢时行驶时间比规定时间多5分钟，据此可判断小明的方程是否正确；再分析小亮的思路：他设规定时间为y min，等量关系应为总路程固定，早到10分钟时实际行驶时间是(y-10)min，迟到5分钟时实际行驶时间是(y+5)min，根据路程=速度×时间可判断小亮的方程是否正确。
【解析】
验证小明的方程：
设总路程为x km，规定时间为固定值。
速度为1.2km/min时，行驶时间为$\frac{x}{1.2}$min，因早到10min，故规定时间$=\frac{x}{1.2}+10$；
速度为0.8km/min时，行驶时间为$\frac{x}{0.8}$min，因迟到5min，故规定时间$=\frac{x}{0.8}-5$；
正确方程应为$\frac{x}{1.2}+10=\frac{x}{0.8}-5$，与小明所列方程不符，因此小明的方程错误。
验证小亮的方程：
设规定时间为y min，总路程为固定值。
速度为1.2km/min时，实际行驶时间为$(y-10)$min，总路程$=1.2(y-10)$；
速度为0.8km/min时，实际行驶时间为$(y+5)$min，总路程$=0.8(y+5)$；
可得方程$1.2(y-10)=0.8(y+5)$，与小亮所列方程一致，因此小亮的方程正确。
综上只有小亮的方程正确，选B。
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程的应用、行程问题等量关系
【点评】
本题的易错点是混淆早到、迟到时实际用时和规定时间的大小关系，解题时只要先明确不变量，再梳理清楚两个变量之间的数量关系，就能准确判断所列方程是否正确。
【难度系数】
0.7
这是一道一元一次方程应用的判断题，核心是抓住行程问题中的不变量列等式。首先分析小明的思路：他设总路程为x km，等量关系应为规定时间固定，速度快时行驶时间比规定时间少10分钟，速度慢时行驶时间比规定时间多5分钟，据此可判断小明的方程是否正确；再分析小亮的思路：他设规定时间为y min，等量关系应为总路程固定，早到10分钟时实际行驶时间是(y-10)min，迟到5分钟时实际行驶时间是(y+5)min，根据路程=速度×时间可判断小亮的方程是否正确。
【解析】
验证小明的方程：
设总路程为x km，规定时间为固定值。
速度为1.2km/min时，行驶时间为$\frac{x}{1.2}$min，因早到10min，故规定时间$=\frac{x}{1.2}+10$；
速度为0.8km/min时，行驶时间为$\frac{x}{0.8}$min，因迟到5min，故规定时间$=\frac{x}{0.8}-5$；
正确方程应为$\frac{x}{1.2}+10=\frac{x}{0.8}-5$，与小明所列方程不符，因此小明的方程错误。
验证小亮的方程：
设规定时间为y min，总路程为固定值。
速度为1.2km/min时，实际行驶时间为$(y-10)$min，总路程$=1.2(y-10)$；
速度为0.8km/min时，实际行驶时间为$(y+5)$min，总路程$=0.8(y+5)$；
可得方程$1.2(y-10)=0.8(y+5)$，与小亮所列方程一致，因此小亮的方程正确。
综上只有小亮的方程正确，选B。
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程的应用、行程问题等量关系
【点评】
本题的易错点是混淆早到、迟到时实际用时和规定时间的大小关系，解题时只要先明确不变量，再梳理清楚两个变量之间的数量关系，就能准确判断所列方程是否正确。
【难度系数】
0.7
典例④ 已知$(3 - m)x^{|m| - 2} - 2 = 3$是关于$x$的一元一次方程，则$m$的值为。
【思路点拨】由一元一次方程的定义，得未知数的指数必须为1且系数不为0，所以$|m| - 2 = 1$且$3 - m ≠ 0$，所以$m = -3$。
【答案】$-3$
名师大招▶关于$x$的方程$ax = b$是一元一次方程的条件是$a ≠ 0$。
【思路点拨】由一元一次方程的定义，得未知数的指数必须为1且系数不为0，所以$|m| - 2 = 1$且$3 - m ≠ 0$，所以$m = -3$。
【答案】$-3$
名师大招▶关于$x$的方程$ax = b$是一元一次方程的条件是$a ≠ 0$。
答案：解：
根据一元一次方程的定义，可得
$\begin{cases}|m| - 2 = 1 \\3 - m ≠ 0\end{cases}$
由$|m| - 2 = 1$，得$|m|=3$，即$m=3$或$m=-3$。
由$3 - m ≠ 0$，得$m ≠ 3$。
综上，$m=-3$。
根据一元一次方程的定义，可得
$\begin{cases}|m| - 2 = 1 \\3 - m ≠ 0\end{cases}$
由$|m| - 2 = 1$，得$|m|=3$，即$m=3$或$m=-3$。
由$3 - m ≠ 0$，得$m ≠ 3$。
综上，$m=-3$。
解析：
【分析】
要解决这道题，首先要明确一元一次方程的核心要求：只含一个未知数、未知数的最高次数为1、未知数的系数不为0。结合本题，未知数为x，因此需要同时满足两个条件：一是x的指数等于1，即$|m|-2=1$；二是x的系数不能为0，即$3-m≠0$。分别求解这两个式子后，取同时满足两个条件的m值即可。
【解析】
根据一元一次方程的定义，可得：
$\begin{cases}|m| - 2 = 1 \\3 - m ≠ 0\end{cases}$
解$|m| - 2 = 1$，移项得$|m|=3$，根据绝对值的性质，解得$m=3$或$m=-3$。
解$3 - m ≠ 0$，移项得$m ≠ 3$。
综上，同时满足两个条件的m值为$-3$。
【答案】
$-3$
【知识点】
1. 一元一次方程的定义
2. 绝对值的运算
3. 简单不等式求解
【点评】
本题是一元一次方程定义的典型基础题，解题的易错点是容易忽略未知数系数不为0的限制条件，直接得出$m=±3$的错误结论，求解含参数的方程类问题时，要逐一验证定义对应的所有限定条件，避免出现多解的错误。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先要明确一元一次方程的核心要求：只含一个未知数、未知数的最高次数为1、未知数的系数不为0。结合本题，未知数为x，因此需要同时满足两个条件：一是x的指数等于1，即$|m|-2=1$；二是x的系数不能为0，即$3-m≠0$。分别求解这两个式子后，取同时满足两个条件的m值即可。
【解析】
根据一元一次方程的定义，可得：
$\begin{cases}|m| - 2 = 1 \\3 - m ≠ 0\end{cases}$
解$|m| - 2 = 1$，移项得$|m|=3$，根据绝对值的性质，解得$m=3$或$m=-3$。
解$3 - m ≠ 0$，移项得$m ≠ 3$。
综上，同时满足两个条件的m值为$-3$。
【答案】
$-3$
【知识点】
1. 一元一次方程的定义
2. 绝对值的运算
3. 简单不等式求解
【点评】
本题是一元一次方程定义的典型基础题，解题的易错点是容易忽略未知数系数不为0的限制条件，直接得出$m=±3$的错误结论，求解含参数的方程类问题时，要逐一验证定义对应的所有限定条件，避免出现多解的错误。
【难度系数】
0.7
4. 已知$(2a + b)y^2 - y^{a - 1} = 3$是关于$y$的一元一次方程，则$a + b$的值为
-2
。答案：4. -2
解析：
【分析】
要解决这道题，首先回忆一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1，同时含未知数的项的系数不为0的整式方程。本题中方程是关于y的一元一次方程，因此需要满足两个条件：1. 含y²的项不能存在，即它的系数为0；2. y的最高次数为1，据此先求出a、b的值，再计算a+b即可。
【解析】
根据一元一次方程的定义，可得：
1. 二次项系数为0：$2a + b = 0$
2. y的最高次数为1：$a - 1 = 1$
先解第二个方程：
$a - 1 = 1$，解得$a = 2$
将$a=2$代入$2a + b = 0$，得：
$2×2 + b = 0$，即$4 + b = 0$，解得$b = -4$
所以$a + b = 2 + (-4) = -2$
【答案】
-2
【知识点】
一元一次方程的定义，代数式求值
【点评】
本题是一元一次方程定义的典型应用，解题核心是抓住“未知数最高次数为1”“高次项系数为0”两个关键条件，注意不要遗漏系数为0的要求，是方程相关概念的基础常考题。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1，同时含未知数的项的系数不为0的整式方程。本题中方程是关于y的一元一次方程，因此需要满足两个条件：1. 含y²的项不能存在，即它的系数为0；2. y的最高次数为1，据此先求出a、b的值，再计算a+b即可。
【解析】
根据一元一次方程的定义，可得：
1. 二次项系数为0：$2a + b = 0$
2. y的最高次数为1：$a - 1 = 1$
先解第二个方程：
$a - 1 = 1$，解得$a = 2$
将$a=2$代入$2a + b = 0$，得：
$2×2 + b = 0$，即$4 + b = 0$，解得$b = -4$
所以$a + b = 2 + (-4) = -2$
【答案】
-2
【知识点】
一元一次方程的定义，代数式求值
【点评】
本题是一元一次方程定义的典型应用，解题核心是抓住“未知数最高次数为1”“高次项系数为0”两个关键条件，注意不要遗漏系数为0的要求，是方程相关概念的基础常考题。
【难度系数】
0.8