典例⑤ 新素养 空间观念 图①是由五个边长都是1的正方形纸片拼接而成的，现将图①沿虚线折成一个无盖的正方体纸盒(图②)后，与线段$MN$重合的线段是（）
A.$NB_2$
B.$C_2F$
C.$C_2D_2$
D.$MA_2$
【思路点拨】由展开图，得点$M$，$D_2$重合，点$N$，$C_2$重合，所以折成一个无盖的正方体纸盒后，与线段$MN$重合的线段是$C_2D_2$。
【答案】C
名师大招▶由展开图判断几何体，一般可以先找对应点，再由对应点去判断复原后的几何体。
A.$NB_2$
B.$C_2F$
C.$C_2D_2$
D.$MA_2$
【思路点拨】由展开图，得点$M$，$D_2$重合，点$N$，$C_2$重合，所以折成一个无盖的正方体纸盒后，与线段$MN$重合的线段是$C_2D_2$。
【答案】C
名师大招▶由展开图判断几何体，一般可以先找对应点，再由对应点去判断复原后的几何体。
答案：C
解析：
【分析】
这道题是正方体展开图折叠还原类问题，解题核心是通过判断折叠后线段端点的重合关系，确定重合的线段。思考步骤如下：首先明确折叠后线段重合的前提是线段的两个端点分别重合，因此我们只需要找到点M、点N折叠后分别与哪个点重合，就能找到和MN重合的线段。观察展开图结构，将展开图还原为无盖正方体时，左侧的正方形会作为正方体的左侧面立起，此时可判断端点M和$D_2$重合，端点N和$C_2$重合，对应连接这两个重合点的线段就和MN重合。
【解析】
将图①的展开图沿虚线折叠成无盖正方体，分析如下：
1. 折叠时，左侧正方形$NMB_2B_1$作为正方体的左侧面向上翻折，此时端点$M$与点$D_2$重合，端点$N$与点$C_2$重合。
2. 若两条线段的两个端点分别重合，则折叠后两条线段完全重合，因此线段$MN$与线段$C_2D_2$重合。
【答案】
C
【知识点】
正方体展开与折叠；折叠的性质
【点评】
本题主要考查空间想象能力，解决这类展开图折叠问题时，既可以通过空间想象判断对应点的重合关系，也可以通过动手折叠的方式直观得到结论，降低解题难度。
【难度系数】
0.7
这道题是正方体展开图折叠还原类问题，解题核心是通过判断折叠后线段端点的重合关系，确定重合的线段。思考步骤如下：首先明确折叠后线段重合的前提是线段的两个端点分别重合，因此我们只需要找到点M、点N折叠后分别与哪个点重合，就能找到和MN重合的线段。观察展开图结构，将展开图还原为无盖正方体时，左侧的正方形会作为正方体的左侧面立起，此时可判断端点M和$D_2$重合，端点N和$C_2$重合，对应连接这两个重合点的线段就和MN重合。
【解析】
将图①的展开图沿虚线折叠成无盖正方体，分析如下：
1. 折叠时，左侧正方形$NMB_2B_1$作为正方体的左侧面向上翻折，此时端点$M$与点$D_2$重合，端点$N$与点$C_2$重合。
2. 若两条线段的两个端点分别重合，则折叠后两条线段完全重合，因此线段$MN$与线段$C_2D_2$重合。
【答案】
C
【知识点】
正方体展开与折叠；折叠的性质
【点评】
本题主要考查空间想象能力，解决这类展开图折叠问题时，既可以通过空间想象判断对应点的重合关系，也可以通过动手折叠的方式直观得到结论，降低解题难度。
【难度系数】
0.7
5. 已知直三棱柱的平面展开图如图所示，$AC＜BC＜AB$，四边形$AMNB$是正方形，将其折叠成直三棱柱后，下列各点中，与点$C$距离最大的是（
A.点$M$
B.点$N$
C.点$P$
D.点$Q$
B
）A.点$M$
B.点$N$
C.点$P$
D.点$Q$
答案：5. B
解析：
【分析】
解决这道题首先要明确直三棱柱展开图折叠后的对应关系：折叠后直三棱柱的所有侧棱都垂直于底面，且侧棱长度等于正方形AMNB的边长AB。我们可以先设定符合AC＜BC＜AB的边长简化计算，再根据“侧棱垂直底面，侧棱上端点到底面某点的距离可通过勾股定理计算：距离的平方=底面两点距离的平方+侧棱长的平方”，分别求出点C到四个选项对应点的距离，比较大小即可得到答案。
【解析】
设AC=3，BC=4，AB=5，满足AC＜BC＜AB的条件，因为四边形AMNB是正方形，因此直三棱柱的侧棱长度均为AB=5，且所有侧棱都垂直于底面△ABC。
1. 点M在点A的正上方（AM为侧棱），由勾股定理得：$CM^2=AC^2+AM^2=3^2+5^2=34$，即$CM=\sqrt{34}$；
2. 点N在点B的正上方（BN为侧棱），由勾股定理得：$CN^2=BC^2+BN^2=4^2+5^2=41$，即$CN=\sqrt{41}$；
3. 折叠后CQ是AC所在侧面矩形的边，与AB为对边，因此$CQ=AB=5=\sqrt{25}$；
4. 折叠后CP是BC所在侧面矩形的边，与AB为对边，因此$CP=AB=5=\sqrt{25}$。
比较大小：$\sqrt{41}＞\sqrt{34}＞\sqrt{25}$，因此与点C距离最大的是点N。
【答案】
B
【知识点】
几何体展开与折叠，直三棱柱的特征，勾股定理
【点评】
本题解题的核心是建立展开图与折叠后立体图形的对应关系，明确各点的位置特征，结合直三棱柱侧棱垂直底面的性质，通过计算或推理比较距离大小，对空间想象能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解决这道题首先要明确直三棱柱展开图折叠后的对应关系：折叠后直三棱柱的所有侧棱都垂直于底面，且侧棱长度等于正方形AMNB的边长AB。我们可以先设定符合AC＜BC＜AB的边长简化计算，再根据“侧棱垂直底面，侧棱上端点到底面某点的距离可通过勾股定理计算：距离的平方=底面两点距离的平方+侧棱长的平方”，分别求出点C到四个选项对应点的距离，比较大小即可得到答案。
【解析】
设AC=3，BC=4，AB=5，满足AC＜BC＜AB的条件，因为四边形AMNB是正方形，因此直三棱柱的侧棱长度均为AB=5，且所有侧棱都垂直于底面△ABC。
1. 点M在点A的正上方（AM为侧棱），由勾股定理得：$CM^2=AC^2+AM^2=3^2+5^2=34$，即$CM=\sqrt{34}$；
2. 点N在点B的正上方（BN为侧棱），由勾股定理得：$CN^2=BC^2+BN^2=4^2+5^2=41$，即$CN=\sqrt{41}$；
3. 折叠后CQ是AC所在侧面矩形的边，与AB为对边，因此$CQ=AB=5=\sqrt{25}$；
4. 折叠后CP是BC所在侧面矩形的边，与AB为对边，因此$CP=AB=5=\sqrt{25}$。
比较大小：$\sqrt{41}＞\sqrt{34}＞\sqrt{25}$，因此与点C距离最大的是点N。
【答案】
B
【知识点】
几何体展开与折叠，直三棱柱的特征，勾股定理
【点评】
本题解题的核心是建立展开图与折叠后立体图形的对应关系，明确各点的位置特征，结合直三棱柱侧棱垂直底面的性质，通过计算或推理比较距离大小，对空间想象能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
典例 十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数$(V)$、面数$(F)$与棱数$(E)$之间存在一个有趣的关系式，这个关系式被称为欧拉公式.请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：
四面体 长方体 八面体 十二面体
| 多面体 | 顶点数$(V)$ | 面数$(F)$ | 棱数$(E)$ |
| --- | --- | --- | --- |
| 四面体 | 4 | 4 | |
| 长方体 | 8
| 6 | 12 |
| 八面体 | 6 | 8 | 12 |
| 十二面体 | 20 | 12 | |
(1) 根据上面多面体模型，完成表格中的空格；
(2) 你发现顶点数$(V)$、面数$(F)$与棱数$(E)$之间存在的关系式是 ；
(3) 若一个多面体的顶点数比面数大4，且有18条棱，则这个多面体的顶点数是 ；
(4) 某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由四边形和六边形两种多边形拼接而成，且有12个顶点，每个顶点处都有3条棱.若该玻璃饰品表面四边形的个数为$x$，六边形的个数为$y$，求$x+y$的值.
【思路点拨】(1) 由题图，得四面体的棱数为6，十二面体的棱数为30；
(2) 观察表格中顶点数、面数以及棱数，易知$V+F-E=2$；
(3) 因为顶点数比面数大4，所以$V=F+4$，即$F=V-4$.因为这个多面体有18条棱，所以$E=18$.因为$V+F-E=2$，所以$V+V-4-18=2$，解得$V=12$，所以这个多面体的顶点数是12；
(4) 先求解出该玻璃饰品的棱数，再根据$V+F-E=2$可求出该玻璃饰品的面数，最后根据$x+y=F$可知$x+y$的值.
【答案】(1) 6 30
(2) $V+F-E=2$
(3) 12
(4) 因为该玻璃饰品有12个顶点，每个顶点处都有3条棱，所以共有$12×3÷2=18$(条)棱.因为该玻璃饰品表面四边形的个数为$x$，六边形的个数为$y$，所以$F=x+y$.因为$V+F-E=2$，且$E=18,V=12$，所以$12+F-18=2$，解得$F=8$，所以$x+y=8$.
要点提示▶掌握简单多面体中顶点数、面数与棱数之间的关系，并能合理运用求解.
四面体 长方体 八面体 十二面体
| 多面体 | 顶点数$(V)$ | 面数$(F)$ | 棱数$(E)$ |
| --- | --- | --- | --- |
| 四面体 | 4 | 4 | |
| 长方体 | 8
| 6 | 12 || 八面体 | 6 | 8 | 12 |
| 十二面体 | 20 | 12 | |
(1) 根据上面多面体模型，完成表格中的空格；
(2) 你发现顶点数$(V)$、面数$(F)$与棱数$(E)$之间存在的关系式是 ；
(3) 若一个多面体的顶点数比面数大4，且有18条棱，则这个多面体的顶点数是 ；
(4) 某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由四边形和六边形两种多边形拼接而成，且有12个顶点，每个顶点处都有3条棱.若该玻璃饰品表面四边形的个数为$x$，六边形的个数为$y$，求$x+y$的值.
【思路点拨】(1) 由题图，得四面体的棱数为6，十二面体的棱数为30；
(2) 观察表格中顶点数、面数以及棱数，易知$V+F-E=2$；
(3) 因为顶点数比面数大4，所以$V=F+4$，即$F=V-4$.因为这个多面体有18条棱，所以$E=18$.因为$V+F-E=2$，所以$V+V-4-18=2$，解得$V=12$，所以这个多面体的顶点数是12；
(4) 先求解出该玻璃饰品的棱数，再根据$V+F-E=2$可求出该玻璃饰品的面数，最后根据$x+y=F$可知$x+y$的值.
【答案】(1) 6 30
(2) $V+F-E=2$
(3) 12
(4) 因为该玻璃饰品有12个顶点，每个顶点处都有3条棱，所以共有$12×3÷2=18$(条)棱.因为该玻璃饰品表面四边形的个数为$x$，六边形的个数为$y$，所以$F=x+y$.因为$V+F-E=2$，且$E=18,V=12$，所以$12+F-18=2$，解得$F=8$，所以$x+y=8$.
要点提示▶掌握简单多面体中顶点数、面数与棱数之间的关系，并能合理运用求解.
答案：解：
(1) 观察多面体模型，可得四面体的棱数为6，十二面体的棱数为30，表格空格依次填6、30。
(2) 代入各组数据验证，得到顶点数$(V)$、面数$(F)$与棱数$(E)$的关系式：$\boldsymbol{V+F-E=2}$。
(3) 由题意得$V=F+4$，即$F=V-4$，已知$E=18$，代入欧拉公式：
$V + (V-4) - 18 = 2$
$2V = 24$
$V=12$
所以这个多面体的顶点数是12。
(4) 该玻璃饰品的棱数为：$12×3÷2=18$（条）
由题意可知该多面体的面数$F=x+y$，将$V=12$，$E=18$代入欧拉公式$V+F-E=2$：
$12 + (x+y) - 18 = 2$
解得$x+y=8$。
答：$x+y$的值为8。
(1) 观察多面体模型，可得四面体的棱数为6，十二面体的棱数为30，表格空格依次填6、30。
(2) 代入各组数据验证，得到顶点数$(V)$、面数$(F)$与棱数$(E)$的关系式：$\boldsymbol{V+F-E=2}$。
(3) 由题意得$V=F+4$，即$F=V-4$，已知$E=18$，代入欧拉公式：
$V + (V-4) - 18 = 2$
$2V = 24$
$V=12$
所以这个多面体的顶点数是12。
(4) 该玻璃饰品的棱数为：$12×3÷2=18$（条）
由题意可知该多面体的面数$F=x+y$，将$V=12$，$E=18$代入欧拉公式$V+F-E=2$：
$12 + (x+y) - 18 = 2$
解得$x+y=8$。
答：$x+y$的值为8。
解析：
【分析】
1. 第(1)问：观察多面体的结构特征，直接数出四面体的棱数，结合十二面体的模型特点得出棱数，填入表格即可。
2. 第(2)问：将表格中四个多面体的顶点数V、面数F、棱数E分别代入计算，归纳共同规律，即可得到三者的数量关系式。
3. 第(3)问：先根据“顶点数比面数大4”得到V和F的等量关系，将F用含V的式子表示，再结合已知的棱数E=18，代入欧拉公式列一元一次方程求解即可。
4. 第(4)问：先计算总棱数：每个顶点连3条棱，每条棱属于2个顶点，因此总棱数=顶点数×3÷2；再将V、E的值代入欧拉公式求出总面数F，总面数就是四边形个数x与六边形个数y的和，即可得到x+y的值。
【解析】
(1) 观察多面体模型，可得四面体的棱数为6，十二面体的棱数为30，因此表格空格依次填6、30。
(2) 代入各组数据验证：
四面体：$4+4-6=2$；长方体：$8+6-12=2$；八面体：$6+8-12=2$；十二面体：$20+12-30=2$，因此顶点数(V)、面数(F)与棱数(E)的关系式为$\boldsymbol{V+F-E=2}$。
(3) 由题意得$V=F+4$，即$F=V-4$，已知$E=18$，代入欧拉公式：
$\begin{aligned}V + (V-4) - 18 &= 2 \\2V -22 &=2 \\2V &=24 \\V &=12\end{aligned}$
即这个多面体的顶点数是12。
(4) 该玻璃饰品的总棱数为：$12×3÷2=18$（条）
由题意可知该多面体的总面数$F=x+y$，将$V=12$，$E=18$代入欧拉公式$V+F-E=2$：
$\begin{aligned}12 + (x+y) - 18 &=2 \\x+y -6 &=2 \\x+y &=8\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{6}$；$\boldsymbol{30}$
(2) $\boldsymbol{V+F-E=2}$
(3) $\boldsymbol{12}$
(4) $\boldsymbol{8}$
【知识点】
欧拉公式；多面体的特征；一元一次方程的应用
【点评】
本题从规律探究到实际应用，围绕欧拉公式设置问题，既考查观察归纳能力，也考查公式的灵活运用能力，解题核心是熟练掌握欧拉公式，理清多面体顶点、面、棱之间的数量关系。
【难度系数】
0.7
1. 第(1)问：观察多面体的结构特征，直接数出四面体的棱数，结合十二面体的模型特点得出棱数，填入表格即可。
2. 第(2)问：将表格中四个多面体的顶点数V、面数F、棱数E分别代入计算，归纳共同规律，即可得到三者的数量关系式。
3. 第(3)问：先根据“顶点数比面数大4”得到V和F的等量关系，将F用含V的式子表示，再结合已知的棱数E=18，代入欧拉公式列一元一次方程求解即可。
4. 第(4)问：先计算总棱数：每个顶点连3条棱，每条棱属于2个顶点，因此总棱数=顶点数×3÷2；再将V、E的值代入欧拉公式求出总面数F，总面数就是四边形个数x与六边形个数y的和，即可得到x+y的值。
【解析】
(1) 观察多面体模型，可得四面体的棱数为6，十二面体的棱数为30，因此表格空格依次填6、30。
(2) 代入各组数据验证：
四面体：$4+4-6=2$；长方体：$8+6-12=2$；八面体：$6+8-12=2$；十二面体：$20+12-30=2$，因此顶点数(V)、面数(F)与棱数(E)的关系式为$\boldsymbol{V+F-E=2}$。
(3) 由题意得$V=F+4$，即$F=V-4$，已知$E=18$，代入欧拉公式：
$\begin{aligned}V + (V-4) - 18 &= 2 \\2V -22 &=2 \\2V &=24 \\V &=12\end{aligned}$
即这个多面体的顶点数是12。
(4) 该玻璃饰品的总棱数为：$12×3÷2=18$（条）
由题意可知该多面体的总面数$F=x+y$，将$V=12$，$E=18$代入欧拉公式$V+F-E=2$：
$\begin{aligned}12 + (x+y) - 18 &=2 \\x+y -6 &=2 \\x+y &=8\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{6}$；$\boldsymbol{30}$
(2) $\boldsymbol{V+F-E=2}$
(3) $\boldsymbol{12}$
(4) $\boldsymbol{8}$
【知识点】
欧拉公式；多面体的特征；一元一次方程的应用
【点评】
本题从规律探究到实际应用，围绕欧拉公式设置问题，既考查观察归纳能力，也考查公式的灵活运用能力，解题核心是熟练掌握欧拉公式，理清多面体顶点、面、棱之间的数量关系。
【难度系数】
0.7