如图①②③④四个图形都是平面图形，观察图形和表中对应数值，探究计数的方法并解答下面的问题.
（1）数一数每幅图各有多少个顶点，多少条边，这些边围成多少个区域，将结果填入下表；
（2）根据表中的数值，写出平面图形的顶点数、边数、区域数之间的关系；
（3）若一个平面图形有20个顶点和11个区域，求这个平面图形的边数.
（1）数一数每幅图各有多少个顶点，多少条边，这些边围成多少个区域，将结果填入下表；
（2）根据表中的数值，写出平面图形的顶点数、边数、区域数之间的关系；
（3）若一个平面图形有20个顶点和11个区域，求这个平面图形的边数.
答案：(1) 如下表:
| 图形 | ① | ② | ③ | ④ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 顶点数(V) | 4 | 7 | 8 | 10 |
| 边数(E) | 6 | 9 | 12 | 15 |
| 区域数(F) | 3 | 3 | 5 | 6 |
(2) $V+F=E+1$.
(3) 因为$V=20,F=11$,所以$E=V+F-1=30$.故这个平面图形的边数为 30.
| 图形 | ① | ② | ③ | ④ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 顶点数(V) | 4 | 7 | 8 | 10 |
| 边数(E) | 6 | 9 | 12 | 15 |
| 区域数(F) | 3 | 3 | 5 | 6 |
(2) $V+F=E+1$.
(3) 因为$V=20,F=11$,所以$E=V+F-1=30$.故这个平面图形的边数为 30.
解析：
【分析】
本题分为三个小问，解题思路清晰可遵循：1. 第（1）问为基础计数，明确计数规则：顶点是边与边的交点，边是连接两个顶点的独立线段，区域是边围成的互不重叠的封闭部分，计数时可逐个标注避免重复、遗漏，将结果填入对应位置即可。2. 第（2）问为规律探究，将第（1）问得到的四组顶点数V、边数E、区域数F分别代入计算，观察三组数值的运算关系，即可归纳出通用规律。3. 第（3）问为规律应用，直接把已知的顶点数、区域数代入第（2）问得出的关系式，计算即可得到边数。
【解析】
（1）按照计数规则逐个统计四个图形的对应数值：
图形①：顶点共4个，边共6条，围成的区域共3个；
图形②：顶点共7个，边共9条，围成的区域共3个；
图形③：顶点共8个，边共12条，围成的区域共5个；
图形④：顶点共10个，边共15条，围成的区域共6个；
将上述数值填入对应表格即可。
（2）对四组数值分别运算验证：
图形①：$4+3=7$，$6+1=7$，可得$V+F=E+1$；
图形②：$7+3=10$，$9+1=10$，符合上述关系；
图形③：$8+5=13$，$12+1=13$，符合上述关系；
图形④：$10+6=16$，$15+1=16$，符合上述关系；
因此归纳得出平面图形的顶点数、边数、区域数的关系为$V+F=E+1$。
（3）已知该平面图形顶点数$V=20$，区域数$F=11$，代入关系式$V+F=E+1$，变形得$E=V+F-1$，代入数值计算：$E=20+11-1=30$。
【答案】
(1) 如下表:
| 图形 | ① | ② | ③ | ④ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 顶点数(V) | 4 | 7 | 8 | 10 |
| 边数(E) | 6 | 9 | 12 | 15 |
| 区域数(F) | 3 | 3 | 5 | 6 |
(2) $V+F=E+1$
(3) 这个平面图形的边数为30。
【知识点】
平面图形计数，规律探究，代数式求值
【点评】
本题是典型的规律探究类题型，重点考查观察能力、归纳总结能力，通过对特殊图形的计数推导出通用数量关系，再应用关系解决具体问题，计数时做到不重不漏是解题的基础，掌握从特殊到一般的归纳方法是解题的核心。
【难度系数】
0.7
本题分为三个小问，解题思路清晰可遵循：1. 第（1）问为基础计数，明确计数规则：顶点是边与边的交点，边是连接两个顶点的独立线段，区域是边围成的互不重叠的封闭部分，计数时可逐个标注避免重复、遗漏，将结果填入对应位置即可。2. 第（2）问为规律探究，将第（1）问得到的四组顶点数V、边数E、区域数F分别代入计算，观察三组数值的运算关系，即可归纳出通用规律。3. 第（3）问为规律应用，直接把已知的顶点数、区域数代入第（2）问得出的关系式，计算即可得到边数。
【解析】
（1）按照计数规则逐个统计四个图形的对应数值：
图形①：顶点共4个，边共6条，围成的区域共3个；
图形②：顶点共7个，边共9条，围成的区域共3个；
图形③：顶点共8个，边共12条，围成的区域共5个；
图形④：顶点共10个，边共15条，围成的区域共6个；
将上述数值填入对应表格即可。
（2）对四组数值分别运算验证：
图形①：$4+3=7$，$6+1=7$，可得$V+F=E+1$；
图形②：$7+3=10$，$9+1=10$，符合上述关系；
图形③：$8+5=13$，$12+1=13$，符合上述关系；
图形④：$10+6=16$，$15+1=16$，符合上述关系；
因此归纳得出平面图形的顶点数、边数、区域数的关系为$V+F=E+1$。
（3）已知该平面图形顶点数$V=20$，区域数$F=11$，代入关系式$V+F=E+1$，变形得$E=V+F-1$，代入数值计算：$E=20+11-1=30$。
【答案】
(1) 如下表:
| 图形 | ① | ② | ③ | ④ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 顶点数(V) | 4 | 7 | 8 | 10 |
| 边数(E) | 6 | 9 | 12 | 15 |
| 区域数(F) | 3 | 3 | 5 | 6 |
(2) $V+F=E+1$
(3) 这个平面图形的边数为30。
【知识点】
平面图形计数，规律探究，代数式求值
【点评】
本题是典型的规律探究类题型，重点考查观察能力、归纳总结能力，通过对特殊图形的计数推导出通用数量关系，再应用关系解决具体问题，计数时做到不重不漏是解题的基础，掌握从特殊到一般的归纳方法是解题的核心。
【难度系数】
0.7