(2026·江苏镇江期末)小丁在观看台球比赛的过程中对小球的运动轨迹产生浓厚的兴趣,她将这一问题抽象为数学模型进行研究.
【探索模型】如图①,一个台球桌桌面,桌子两边视为两条挡板,分别为$PQ$,$SR$,且$PQ// SR$,小球从点$A$滚向挡板$PQ$,碰着$PQ$上的点$B$后进行第一次反弹滚向挡板$SR$($A$,$B$为定点),碰着$SR$上的点$C$后进行第二次反弹滚向点$D$.经过多次测量,她进一步发现$BN⊥ PQ$,$MC⊥ SR$,且$∠ ABN=∠ CBN$,$∠ BCM=∠ DCM$.
【解决问题】
(1) 小丁发现小球经过两次反弹后的路径$CD$平行于原来的路径$AB$,请你借助图②帮助小丁完善说明过程.
因为$BN⊥ PQ$,所以$∠ PBN=∠ QBN=90°$,所以$∠1+∠3=90°$,$∠2+∠4=90°$.又$∠1=∠2$,所以
【引申拓展】
(2) 如图③,小丁把挡板$SR$固定,将挡板$PQ$绕点$B$逆时针旋转$α(0°＜α＜30°)$至直线$GH$.若$∠ BAC=69°$,球从点$A$打到挡板$GH$和球从点$B$打到挡板$SR$均按照【探索模型】中的规律反弹.
① $∠ QBC=$
② 当$α=$
【探索模型】如图①,一个台球桌桌面,桌子两边视为两条挡板,分别为$PQ$,$SR$,且$PQ// SR$,小球从点$A$滚向挡板$PQ$,碰着$PQ$上的点$B$后进行第一次反弹滚向挡板$SR$($A$,$B$为定点),碰着$SR$上的点$C$后进行第二次反弹滚向点$D$.经过多次测量,她进一步发现$BN⊥ PQ$,$MC⊥ SR$,且$∠ ABN=∠ CBN$,$∠ BCM=∠ DCM$.
【解决问题】
(1) 小丁发现小球经过两次反弹后的路径$CD$平行于原来的路径$AB$,请你借助图②帮助小丁完善说明过程.
因为$BN⊥ PQ$,所以$∠ PBN=∠ QBN=90°$,所以$∠1+∠3=90°$,$∠2+∠4=90°$.又$∠1=∠2$,所以
$∠3=∠4$
.同理,得$∠5=∠6$.又$PQ// SR$,所以$∠4=$$∠5$
,所以$∠3=∠6$.又$PQ// SR$,所以$∠3=∠ BAC$,所以$∠ BAC=$$∠6$
,所以$AB// CD$.【引申拓展】
(2) 如图③,小丁把挡板$SR$固定,将挡板$PQ$绕点$B$逆时针旋转$α(0°＜α＜30°)$至直线$GH$.若$∠ BAC=69°$,球从点$A$打到挡板$GH$和球从点$B$打到挡板$SR$均按照【探索模型】中的规律反弹.
① $∠ QBC=$
$69°-2α$
;(用含$α$的式子表示)② 当$α=$
$23°$
时,$CD// GH$.答案：(1) $∠3=∠4$; $∠5$; $∠6$
(2) ① $69°−2α$ 解析: 因为 PQ//SR,所以 $∠PBA=∠BAC=69°$. 因为 $∠PBG=∠QBH=α$,所以 $∠CBH=∠ABG=∠PBA−∠PBG=69°−α$,所以 $∠QBC=∠CBH−∠QBH=69°−2α$.
② $23°$ 解析: 因为 PQ//SR,所以 $∠RCD=∠ACB=∠QBC=69°−2α$,所以 $∠BCD=180°−∠RCD−∠ACB=4α+42°$. 因为 $∠CBH=69°−α$,且当 $∠CBH+∠BCD=180°$ 时,CD//GH,所以 $69°−α+4α+42°=180°$,所以 $α=23°$. 故当 $α=23°$ 时,CD//GH.
(2) ① $69°−2α$ 解析: 因为 PQ//SR,所以 $∠PBA=∠BAC=69°$. 因为 $∠PBG=∠QBH=α$,所以 $∠CBH=∠ABG=∠PBA−∠PBG=69°−α$,所以 $∠QBC=∠CBH−∠QBH=69°−2α$.
② $23°$ 解析: 因为 PQ//SR,所以 $∠RCD=∠ACB=∠QBC=69°−2α$,所以 $∠BCD=180°−∠RCD−∠ACB=4α+42°$. 因为 $∠CBH=69°−α$,且当 $∠CBH+∠BCD=180°$ 时,CD//GH,所以 $69°−α+4α+42°=180°$,所以 $α=23°$. 故当 $α=23°$ 时,CD//GH.
解析：
【分析】
(1) 解决第一问首先利用垂直的性质得到两个直角，再结合等角的余角相等推出角相等，接着利用平行线内错角相等的性质，逐步推导得到内错角相等，从而证明两直线平行，按推导逻辑补全空缺即可。
(2) ① 解决第二问第一小问，先根据原PQ//SR得到∠PBA和∠BAC相等，再结合挡板旋转的角度和反弹时入射角等于反射角的规律，通过角的和差关系推导∠QBC的表达式；② 要使CD//GH，根据平行线同旁内角互补的判定条件，找到对应的两个角的表达式，列方程求解即可得到α的值。
【解析】
(1) 因为BN⊥PQ，所以∠PBN=∠QBN=90°，所以∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°。又∠1=∠2，根据等角的余角相等，可得$\boldsymbol{∠3=∠4}$。同理，得∠5=∠6。又PQ//SR，两直线平行，内错角相等，所以$∠4=\boldsymbol{∠5}$，所以$∠3=∠6$。又PQ//SR，两直线平行，内错角相等，所以$∠3=∠BAC$，所以$∠BAC=\boldsymbol{∠6}$，内错角相等，两直线平行，所以$AB// CD$。
(2) ① 因为PQ//SR，所以∠PBA=∠BAC=69°。挡板PQ绕点B逆时针旋转α得到GH，所以∠PBG=∠QBH=α，根据反弹规律，入射角等于反射角，可得∠CBH=∠ABG=∠PBA−∠PBG=69°−α，因此∠QBC=∠CBH−∠QBH=69°−α−α=$69°−2α$。
② 因为PQ//SR，所以∠ACB=∠QBC=69°−2α，同理根据反弹规律可得∠RCD=∠ACB=69°−2α。因此∠BCD=180°−∠ACB−∠RCD=180°−2×(69°−2α)=4α+42°。若CD//GH，根据两直线平行，同旁内角互补，可得∠CBH+∠BCD=180°，其中∠CBH=69°−α，代入得：
$69°−α+4α+42°=180°$
整理得$3α=69°$，解得$α=23°$，即当α=23°时，CD//GH。
【答案】
(1) $∠3=∠4$；$∠5$；$∠6$
(2) ① $69°−2α$；② $23°$
【知识点】
平行线的判定与性质；余角的性质；图形的旋转
【点评】
本题结合台球反弹的生活场景，将实际问题转化为几何角度推导问题，既考查了基础的平行线、余角相关定理的应用，也融合了旋转的性质，需要通过等量代换逐步推导角度关系，能有效锻炼逻辑推理能力和知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.65
(1) 解决第一问首先利用垂直的性质得到两个直角，再结合等角的余角相等推出角相等，接着利用平行线内错角相等的性质，逐步推导得到内错角相等，从而证明两直线平行，按推导逻辑补全空缺即可。
(2) ① 解决第二问第一小问，先根据原PQ//SR得到∠PBA和∠BAC相等，再结合挡板旋转的角度和反弹时入射角等于反射角的规律，通过角的和差关系推导∠QBC的表达式；② 要使CD//GH，根据平行线同旁内角互补的判定条件，找到对应的两个角的表达式，列方程求解即可得到α的值。
【解析】
(1) 因为BN⊥PQ，所以∠PBN=∠QBN=90°，所以∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°。又∠1=∠2，根据等角的余角相等，可得$\boldsymbol{∠3=∠4}$。同理，得∠5=∠6。又PQ//SR，两直线平行，内错角相等，所以$∠4=\boldsymbol{∠5}$，所以$∠3=∠6$。又PQ//SR，两直线平行，内错角相等，所以$∠3=∠BAC$，所以$∠BAC=\boldsymbol{∠6}$，内错角相等，两直线平行，所以$AB// CD$。
(2) ① 因为PQ//SR，所以∠PBA=∠BAC=69°。挡板PQ绕点B逆时针旋转α得到GH，所以∠PBG=∠QBH=α，根据反弹规律，入射角等于反射角，可得∠CBH=∠ABG=∠PBA−∠PBG=69°−α，因此∠QBC=∠CBH−∠QBH=69°−α−α=$69°−2α$。
② 因为PQ//SR，所以∠ACB=∠QBC=69°−2α，同理根据反弹规律可得∠RCD=∠ACB=69°−2α。因此∠BCD=180°−∠ACB−∠RCD=180°−2×(69°−2α)=4α+42°。若CD//GH，根据两直线平行，同旁内角互补，可得∠CBH+∠BCD=180°，其中∠CBH=69°−α，代入得：
$69°−α+4α+42°=180°$
整理得$3α=69°$，解得$α=23°$，即当α=23°时，CD//GH。
【答案】
(1) $∠3=∠4$；$∠5$；$∠6$
(2) ① $69°−2α$；② $23°$
【知识点】
平行线的判定与性质；余角的性质；图形的旋转
【点评】
本题结合台球反弹的生活场景，将实际问题转化为几何角度推导问题，既考查了基础的平行线、余角相关定理的应用，也融合了旋转的性质，需要通过等量代换逐步推导角度关系，能有效锻炼逻辑推理能力和知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.65