4. 已知数$m$在数轴上的位置如图所示，则$m,-m,\frac{1}{m},-\frac{1}{m}$这四个数中最小的是（
A.$m$
B.$-m$
C.$\frac{1}{m}$
D.$-\frac{1}{m}$
D
）A.$m$
B.$-m$
C.$\frac{1}{m}$
D.$-\frac{1}{m}$
答案：4. D
解析：
【分析】
首先观察数轴可得m的取值范围是0＜m＜1，要比较m、-m、$\frac{1}{m}$、$-\frac{1}{m}$的大小，可选用特殊值法：选取一个符合0＜m＜1的具体数值，分别代入计算四个代数式的结果，再根据有理数大小比较规则排序，即可找到最小的数；也可结合有理数、倒数的性质推导大小关系，特殊值法更直观简便，适合这类题型。
【解析】
解：由数轴可知，$0＜m＜1$，我们取特殊值$m=\frac{1}{2}$（满足$0＜m＜1$的要求）：
1. 计算各数的值：
$m=\frac{1}{2}=0.5$，
$-m=-\frac{1}{2}=-0.5$，
$\frac{1}{m}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2$，
$-\frac{1}{m}=-\frac{1}{\frac{1}{2}}=-2$；
2. 比较大小：
根据有理数大小比较规则，负数＜正数，负数中绝对值大的数更小，可得：
$-2 ＜ -0.5 ＜ 0.5 ＜ 2$，即$-\frac{1}{m} ＜ -m ＜ m ＜ \frac{1}{m}$；
因此四个数中最小的是$-\frac{1}{m}$。
【答案】
D
【知识点】
数轴的应用，有理数大小比较，倒数的计算
【点评】
本题结合数轴考查有理数大小比较的方法，特殊值法是解决这类给出数的范围、比较含字母代数式大小的常用技巧，操作简单且准确率高，需注意选取的特殊值必须符合题目给出的取值范围。
【难度系数】
0.7
首先观察数轴可得m的取值范围是0＜m＜1，要比较m、-m、$\frac{1}{m}$、$-\frac{1}{m}$的大小，可选用特殊值法：选取一个符合0＜m＜1的具体数值，分别代入计算四个代数式的结果，再根据有理数大小比较规则排序，即可找到最小的数；也可结合有理数、倒数的性质推导大小关系，特殊值法更直观简便，适合这类题型。
【解析】
解：由数轴可知，$0＜m＜1$，我们取特殊值$m=\frac{1}{2}$（满足$0＜m＜1$的要求）：
1. 计算各数的值：
$m=\frac{1}{2}=0.5$，
$-m=-\frac{1}{2}=-0.5$，
$\frac{1}{m}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2$，
$-\frac{1}{m}=-\frac{1}{\frac{1}{2}}=-2$；
2. 比较大小：
根据有理数大小比较规则，负数＜正数，负数中绝对值大的数更小，可得：
$-2 ＜ -0.5 ＜ 0.5 ＜ 2$，即$-\frac{1}{m} ＜ -m ＜ m ＜ \frac{1}{m}$；
因此四个数中最小的是$-\frac{1}{m}$。
【答案】
D
【知识点】
数轴的应用，有理数大小比较，倒数的计算
【点评】
本题结合数轴考查有理数大小比较的方法，特殊值法是解决这类给出数的范围、比较含字母代数式大小的常用技巧，操作简单且准确率高，需注意选取的特殊值必须符合题目给出的取值范围。
【难度系数】
0.7
典例⑤ 若点M,N在数轴上表示的数分别是a,b,且|a|=2,|b|=3,则点M,N之间的距离为 ()
A.1或3
B.3或5
C.1或5
D.1或-5
【思路点拨】因为|a|=2,|b|=3,所以a=±2,b=±3.分类讨论如下:① 当a=2,b=3时,点M,N都在原点右边,则点M,N之间的距离为3−2=1;② 当a=2,b=−3时,点M在原点右边,点N在原点左边,则点M,N之间的距离为2+|−3|=5;③ 当a=−2,b=3时,点M在原点左边,点N在原点右边,则点M,N之间的距离为|−2|+3=5;④ 当a=−2,b=−3时,点M,N都在原点左边,则点M,N之间的距离为|−3|−|−2|=1.综上所述,点M,N之间的距离为1或5.
【答案】C
名师大招▶一个数的绝对值表示该数在数轴上的点到原点的距离.
A.1或3
B.3或5
C.1或5
D.1或-5
【思路点拨】因为|a|=2,|b|=3,所以a=±2,b=±3.分类讨论如下:① 当a=2,b=3时,点M,N都在原点右边,则点M,N之间的距离为3−2=1;② 当a=2,b=−3时,点M在原点右边,点N在原点左边,则点M,N之间的距离为2+|−3|=5;③ 当a=−2,b=3时,点M在原点左边,点N在原点右边,则点M,N之间的距离为|−2|+3=5;④ 当a=−2,b=−3时,点M,N都在原点左边,则点M,N之间的距离为|−3|−|−2|=1.综上所述,点M,N之间的距离为1或5.
【答案】C
名师大招▶一个数的绝对值表示该数在数轴上的点到原点的距离.
答案：C
解析：
【分析】
解题时首先回忆绝对值的性质：绝对值等于正数的数有两个，互为相反数，因此可先确定a、b的所有可能取值；其次，数轴上两点之间的距离为非负数，可先排除带负数的错误选项D；再对a、b的所有取值组合分类讨论，分别计算每种情况的两点距离，最后汇总结果即可。
【解析】
解：
∵|a|=2，|b|=3，
∴a=±2，b=±3，
数轴上两点M、N的距离为两个点所表示数的差的绝对值，分四种情况讨论：
①当a=2，b=3时，距离为|3-2|=1；
②当a=2，b=-3时，距离为|2-(-3)|=5；
③当a=-2，b=3时，距离为|-2-3|=5；
④当a=-2，b=-3时，距离为|-2-(-3)|=1；
综上所述，点M、N之间的距离为1或5。
【答案】
C
【知识点】
绝对值的性质；数轴两点距离计算；分类讨论思想
【点评】
本题属于绝对值与数轴结合的常规题型，核心考查对绝对值性质的理解和数轴两点距离公式的运用，解题时注意不要漏去绝对值的正负两种情况，结合距离的非负性也可快速排除错误选项。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆绝对值的性质：绝对值等于正数的数有两个，互为相反数，因此可先确定a、b的所有可能取值；其次，数轴上两点之间的距离为非负数，可先排除带负数的错误选项D；再对a、b的所有取值组合分类讨论，分别计算每种情况的两点距离，最后汇总结果即可。
【解析】
解：
∵|a|=2，|b|=3，
∴a=±2，b=±3，
数轴上两点M、N的距离为两个点所表示数的差的绝对值，分四种情况讨论：
①当a=2，b=3时，距离为|3-2|=1；
②当a=2，b=-3时，距离为|2-(-3)|=5；
③当a=-2，b=3时，距离为|-2-3|=5；
④当a=-2，b=-3时，距离为|-2-(-3)|=1；
综上所述，点M、N之间的距离为1或5。
【答案】
C
【知识点】
绝对值的性质；数轴两点距离计算；分类讨论思想
【点评】
本题属于绝对值与数轴结合的常规题型，核心考查对绝对值性质的理解和数轴两点距离公式的运用，解题时注意不要漏去绝对值的正负两种情况，结合距离的非负性也可快速排除错误选项。
【难度系数】
0.7
5. 数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值.例如:数轴上表示数$x$与3两点间的距离是$|x-3|$.若$(|x-3|+|x+2|)(|y-1|+|y-5|)=20$,则$y-x$的最大值为 (
A.4
B.6
C.7
D.8
C
)A.4
B.6
C.7
D.8
答案：5. C 解析:由数轴(图略)易知,当$-2≤ x≤ 3$时,$|x-3|+|x+2|$取最小值5;当$1≤ y≤ 5$时,$|y-1|+|y-5|$取最小值4. 因为$5× 4=20$,且$(|x-3|+|x+2|)(|y-1|+|y-5|)=20$,所以$-2≤ x≤ 3$,$1≤ y≤ 5$,所以当$x=-2$,$y=5$时,$y-x$的值最大,且最大值为$5-(-2)=7$.
解析：
【分析】
解题思路如下：第一步，根据绝对值的几何意义，分别求出$|x-3|+|x+2|$和$|y-1|+|y-5|$的最小值；第二步，对比两个最小值的乘积和题干给出的乘积20，发现刚好相等，说明两个绝对值的和只能取最小值，由此确定x和y的取值范围；第三步，要使$y-x$的值最大，需要y取范围内的最大值，x取范围内的最小值，代入计算即可得到结果。
【解析】
1. 求$|x-3|+|x+2|$的最小值：
$|x-3|$表示数轴上数$x$到3的距离，$|x+2|=|x-(-2)|$表示数轴上数$x$到-2的距离。当$x$在-2和3之间（包含端点，即$-2\le x\le3$）时，两个距离的和最小，最小值为$3-(-2)=5$。
2. 求$|y-1|+|y-5|$的最小值：
$|y-1|$表示数轴上数$y$到1的距离，$|y-5|$表示数轴上数$y$到5的距离。当$y$在1和5之间（包含端点，即$1\le y\le5$）时，两个距离的和最小，最小值为$5-1=4$。
3. 确定$x$、$y$的取值范围：
已知$(|x-3|+|x+2|)(|y-1|+|y-5|)=20$，而两个式子的最小值乘积为$5×4=20$，因此只有两个式子都取最小值时乘积才等于20，故$-2\le x\le3$，$1\le y\le5$。
4. 求$y-x$的最大值：
要使$y-x$最大，需$y$取最大值，$x$取最小值。即$y=5$，$x=-2$时，$y-x$的最大值为$5-(-2)=7$。
【答案】
C
【知识点】
绝对值的几何意义；数轴两点距离；代数式最值求解
【点评】
本题主要考查绝对值几何意义的应用，解题的关键是先求出两个绝对值和的最小值，结合乘积条件确定x、y的取值范围，再求目标式的最值，能有效提升数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.6
解题思路如下：第一步，根据绝对值的几何意义，分别求出$|x-3|+|x+2|$和$|y-1|+|y-5|$的最小值；第二步，对比两个最小值的乘积和题干给出的乘积20，发现刚好相等，说明两个绝对值的和只能取最小值，由此确定x和y的取值范围；第三步，要使$y-x$的值最大，需要y取范围内的最大值，x取范围内的最小值，代入计算即可得到结果。
【解析】
1. 求$|x-3|+|x+2|$的最小值：
$|x-3|$表示数轴上数$x$到3的距离，$|x+2|=|x-(-2)|$表示数轴上数$x$到-2的距离。当$x$在-2和3之间（包含端点，即$-2\le x\le3$）时，两个距离的和最小，最小值为$3-(-2)=5$。
2. 求$|y-1|+|y-5|$的最小值：
$|y-1|$表示数轴上数$y$到1的距离，$|y-5|$表示数轴上数$y$到5的距离。当$y$在1和5之间（包含端点，即$1\le y\le5$）时，两个距离的和最小，最小值为$5-1=4$。
3. 确定$x$、$y$的取值范围：
已知$(|x-3|+|x+2|)(|y-1|+|y-5|)=20$，而两个式子的最小值乘积为$5×4=20$，因此只有两个式子都取最小值时乘积才等于20，故$-2\le x\le3$，$1\le y\le5$。
4. 求$y-x$的最大值：
要使$y-x$最大，需$y$取最大值，$x$取最小值。即$y=5$，$x=-2$时，$y-x$的最大值为$5-(-2)=7$。
【答案】
C
【知识点】
绝对值的几何意义；数轴两点距离；代数式最值求解
【点评】
本题主要考查绝对值几何意义的应用，解题的关键是先求出两个绝对值和的最小值，结合乘积条件确定x、y的取值范围，再求目标式的最值，能有效提升数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.6
典例⑥ 在数轴上，若点A和点B(点A在点B右边)表示的数互为相反数，且这两点之间的距离是11，则A，B两点表示的数分别是，。
【思路点拨】设点A表示的数是x，则点B表示的数是−x。由题意，得x＞0。因为这两点之间的距离是11，所以2x=11，所以x=5.5，所以A，B两点表示的数分别是5.5，−5.5。
【答案】5.5 −5.5
名师大招▶相反数是成对出现的，不能说某一个数是相反数。
【思路点拨】设点A表示的数是x，则点B表示的数是−x。由题意，得x＞0。因为这两点之间的距离是11，所以2x=11，所以x=5.5，所以A，B两点表示的数分别是5.5，−5.5。
【答案】5.5 −5.5
名师大招▶相反数是成对出现的，不能说某一个数是相反数。
答案：解：设点A表示的数是x，
∵点A和点B表示的数互为相反数，点A在点B右边，
∴点B表示的数是$-x$，且$x＞0$。
∵A、B两点之间的距离是11，
∴$x - (-x) = 11$，即$2x=11$，
解得$x=5.5$，
则点B表示的数为$-5.5$。
所以A，B两点表示的数分别是$\boldsymbol{5.5}$，$\boldsymbol{-5.5}$。
∵点A和点B表示的数互为相反数，点A在点B右边，
∴点B表示的数是$-x$，且$x＞0$。
∵A、B两点之间的距离是11，
∴$x - (-x) = 11$，即$2x=11$，
解得$x=5.5$，
则点B表示的数为$-5.5$。
所以A，B两点表示的数分别是$\boldsymbol{5.5}$，$\boldsymbol{-5.5}$。
解析：
【分析】
拿到本题首先梳理已知条件：1.点A在点B右侧，说明点A表示的数大于点B表示的数；2.两点表示的数互为相反数，可知两数符号相反、绝对值相等；3.两点距离为11，即数轴上右侧数减左侧数的差为11。我们可以通过设未知数列方程的方法求解：设点A表示的数为x，根据相反数定义可表示出点B的数为-x，再结合两点距离列等式求解即可。
【解析】
设点A表示的数是x，
∵点A和点B表示的数互为相反数，点A在点B右边，
∴点B表示的数是$-x$，且$x＞0$。
∵A、B两点之间的距离是11，
∴$x - (-x) = 11$，即$2x=11$，
解得$x=5.5$，
则点B表示的数为$-5.5$。
【答案】
5.5；-5.5
【知识点】
相反数的概念；数轴上两点距离计算
【点评】
本题是相反数与数轴结合的基础题型，解题核心是熟练运用互为相反数的两数绝对值相等的性质，结合数轴上点的位置关系即可快速求解，掌握基础概念就能顺利答题。
【难度系数】
0.8
拿到本题首先梳理已知条件：1.点A在点B右侧，说明点A表示的数大于点B表示的数；2.两点表示的数互为相反数，可知两数符号相反、绝对值相等；3.两点距离为11，即数轴上右侧数减左侧数的差为11。我们可以通过设未知数列方程的方法求解：设点A表示的数为x，根据相反数定义可表示出点B的数为-x，再结合两点距离列等式求解即可。
【解析】
设点A表示的数是x，
∵点A和点B表示的数互为相反数，点A在点B右边，
∴点B表示的数是$-x$，且$x＞0$。
∵A、B两点之间的距离是11，
∴$x - (-x) = 11$，即$2x=11$，
解得$x=5.5$，
则点B表示的数为$-5.5$。
【答案】
5.5；-5.5
【知识点】
相反数的概念；数轴上两点距离计算
【点评】
本题是相反数与数轴结合的基础题型，解题核心是熟练运用互为相反数的两数绝对值相等的性质，结合数轴上点的位置关系即可快速求解，掌握基础概念就能顺利答题。
【难度系数】
0.8
6. 在数轴上，有A，B，C三个不同的点，它们表示的数分别是a，b，c. 已知a，b互为相反数，点A与点B之间的距离为6，点C与点B之间的距离是点C与点A之间的距离的3倍，则c=
±1.5或±6
.答案：6. $\pm 1.5$或$\pm 6$
解析：
【分析】
解题先从已知条件切入：首先利用“a、b互为相反数，点A与点B距离为6”的条件，求出a、b的两组可能取值（数轴上A、B位置有两种情况，A在左B在右或A在右B在左）；再根据“点C与点B的距离是点C与点A距离的3倍”，结合数轴上两点距离等于对应两数差的绝对值列方程，分情况讨论点C的位置，求解后验证是否符合三点不同的要求即可得到c的所有可能值。
【解析】
1. 求a、b的取值
∵a、b互为相反数，
∴$b=-a$
∵点A与点B的距离为6，
∴$|a-b|=6$，将$b=-a$代入得$|2a|=6$
解得：$a=3,b=-3$ 或 $a=-3,b=3$
2. 分情况求解c的值
情况1：$a=-3,b=3$
由题意得$|c-3|=3|c+3|$
① 当$c≥3$时：$c-3=3(c+3)$，解得$c=-6$，与$c≥3$矛盾，舍去；
② 当$-3＜c＜3$时：$3-c=3(c+3)$，解得$c=-1.5$，符合条件；
③ 当$c≤-3$时：$3-c=3(-c-3)$，解得$c=-6$，符合条件。
情况2：$a=3,b=-3$
由题意得$|c+3|=3|c-3|$
① 当$c≥3$时：$c+3=3(c-3)$，解得$c=6$，符合条件；
② 当$-3＜c＜3$时：$c+3=3(3-c)$，解得$c=1.5$，符合条件；
③ 当$c≤-3$时：$-c-3=3(3-c)$，解得$c=6$，与$c≤-3$矛盾，舍去。
综上，c的取值为$\pm1.5$或$\pm6$。
【答案】
$\pm 1.5$或$\pm 6$
【知识点】
数轴两点距离，相反数性质，绝对值方程
【点评】
本题重点考查分类讨论思想的应用，解题时需全面考虑数轴上点的所有可能位置，避免遗漏解，同时要注意所求值需满足三点不同的隐含条件。
【难度系数】
0.5
解题先从已知条件切入：首先利用“a、b互为相反数，点A与点B距离为6”的条件，求出a、b的两组可能取值（数轴上A、B位置有两种情况，A在左B在右或A在右B在左）；再根据“点C与点B的距离是点C与点A距离的3倍”，结合数轴上两点距离等于对应两数差的绝对值列方程，分情况讨论点C的位置，求解后验证是否符合三点不同的要求即可得到c的所有可能值。
【解析】
1. 求a、b的取值
∵a、b互为相反数，
∴$b=-a$
∵点A与点B的距离为6，
∴$|a-b|=6$，将$b=-a$代入得$|2a|=6$
解得：$a=3,b=-3$ 或 $a=-3,b=3$
2. 分情况求解c的值
情况1：$a=-3,b=3$
由题意得$|c-3|=3|c+3|$
① 当$c≥3$时：$c-3=3(c+3)$，解得$c=-6$，与$c≥3$矛盾，舍去；
② 当$-3＜c＜3$时：$3-c=3(c+3)$，解得$c=-1.5$，符合条件；
③ 当$c≤-3$时：$3-c=3(-c-3)$，解得$c=-6$，符合条件。
情况2：$a=3,b=-3$
由题意得$|c+3|=3|c-3|$
① 当$c≥3$时：$c+3=3(c-3)$，解得$c=6$，符合条件；
② 当$-3＜c＜3$时：$c+3=3(3-c)$，解得$c=1.5$，符合条件；
③ 当$c≤-3$时：$-c-3=3(3-c)$，解得$c=6$，与$c≤-3$矛盾，舍去。
综上，c的取值为$\pm1.5$或$\pm6$。
【答案】
$\pm 1.5$或$\pm 6$
【知识点】
数轴两点距离，相反数性质，绝对值方程
【点评】
本题重点考查分类讨论思想的应用，解题时需全面考虑数轴上点的所有可能位置，避免遗漏解，同时要注意所求值需满足三点不同的隐含条件。
【难度系数】
0.5