答案：证明：
∵ CD⊥AB，BE⊥AC，
∴ ∠BDO = ∠CEO = 90°。
在△BDO和△CEO中，
$\{\begin{array}{l}∠BDO = ∠CEO \\∠BOD = ∠COE \\OB = OC\end{array} $
∴ △BDO ≌ △CEO（AAS），
∴ OD = OE。
又∵ OD⊥AB，OE⊥AC，
∴ 点O在∠BAC的平分线上（在一个角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上），
即AO平分∠BAC，
∴ ∠1 = ∠2。

答案：证明：
过点E作EF⊥AD，垂足为F。
∵ ∠C=90°，
∴ EC⊥DC。
∵ DE平分∠ADC，EF⊥AD，
∴ EC = EF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵ E是BC的中点，
∴ EC = EB，
∴ EF = EB。
又∵ ∠B=90°，
∴ EB⊥AB，
∴ 点E在∠DAB的平分线上（角的内部到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上），
即AE是∠DAB的平分线。

答案：证明：
∵ OC是∠AOB的角平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴ PD = PE，∠PDO = ∠PEO = 90°。
在Rt△OPD和Rt△OPE中，
$\{\begin{array}{l} OP=OP \\ PD=PE \end{array} $
∴ Rt△OPD ≌ Rt△OPE（HL），
∴ OD = OE。
在△ODF和△OEF中，
$\{\begin{array}{l} OD=OE \\ ∠DOF=∠EOF \\ OF=OF \end{array} $
∴ △ODF ≌ △OEF（SAS），
∴ DF = EF。