例1 如图1-25，在$△ ABC$中，边AB的垂直平分线分别与边AB，BC交于点D，E，边AC的垂直平分线分别与边AC，BC交于点F，G。要求出$△ AEG$的周长，还需要添加什么条件？要求出$∠ EAG$的度数，还需要添加什么条件？
图1-25
图1-25
答案：解：
∵ DE是AB的垂直平分线，
∴ EA = EB。
∵ FG是AC的垂直平分线，
∴ GA = GC。
∴ $C_{△ AEG} = AE + EG + AG = BE + EG + GC = BC$。
因此要求出$△ AEG$的周长，还需要添加的条件是：边$BC$的长度已知。
∵ $EA=EB$，∴ $∠ B = ∠ BAE$。
∵ $GA=GC$，∴ $∠ C = ∠ CAG$。
在$△ ABC$中，$∠ BAC + ∠ B + ∠ C = 180°$，
∴ $∠ B + ∠ C = 180° - ∠ BAC$。
∴ $∠ BAE + ∠ CAG = ∠ B + ∠ C = 180° - ∠ BAC$。
∴ $∠ EAG = ∠ BAC - (∠ BAE + ∠ CAG) = ∠ BAC - (180° - ∠ BAC) = 2∠ BAC - 180°$。
因此要求出$∠ EAG$的度数，还需要添加的条件是：$∠ BAC$的度数已知（或$△ ABC$中$∠ B$与$∠ C$的度数和已知）。
∵ DE是AB的垂直平分线，
∴ EA = EB。
∵ FG是AC的垂直平分线，
∴ GA = GC。
∴ $C_{△ AEG} = AE + EG + AG = BE + EG + GC = BC$。
因此要求出$△ AEG$的周长，还需要添加的条件是：边$BC$的长度已知。
∵ $EA=EB$，∴ $∠ B = ∠ BAE$。
∵ $GA=GC$，∴ $∠ C = ∠ CAG$。
在$△ ABC$中，$∠ BAC + ∠ B + ∠ C = 180°$，
∴ $∠ B + ∠ C = 180° - ∠ BAC$。
∴ $∠ BAE + ∠ CAG = ∠ B + ∠ C = 180° - ∠ BAC$。
∴ $∠ EAG = ∠ BAC - (∠ BAE + ∠ CAG) = ∠ BAC - (180° - ∠ BAC) = 2∠ BAC - 180°$。
因此要求出$∠ EAG$的度数，还需要添加的条件是：$∠ BAC$的度数已知（或$△ ABC$中$∠ B$与$∠ C$的度数和已知）。
例2 如图1-26，在$△ ABC$中，分别以$AB$，$AC$为边作等边三角形$ABE$和等边三角形$ACD$，$BD$，$CE$相交于点$O$。
（1）$BD$与$CE$相等吗？为什么？
（2）要使$△ ABE$与$△ ACD$全等，至少需要添加什么条件？在此条件下，整个图形是轴对称图形吗？
（1）$BD$与$CE$相等吗？为什么？
（2）要使$△ ABE$与$△ ACD$全等，至少需要添加什么条件？在此条件下，整个图形是轴对称图形吗？
答案：解：(1) $BD$与$CE$相等，理由如下：
∵ $△ ABE$和$△ ACD$都是等边三角形，
∴ $AE = AB$，$AC = AD$，$∠ EAB = ∠ CAD = 60°$，
∴ $∠ EAB + ∠ BAC = ∠ CAD + ∠ BAC$，
即 $∠ EAC = ∠ BAD$。
在$△ EAC$和$△ BAD$中，
$\begin{cases}AE = AB \\∠ EAC = ∠ BAD \\AC = AD\end{cases}$
∴ $△ EAC ≌ △ BAD$（SAS），
∴ $BD = CE$。
(2) 至少需要添加的条件是$AB = AC$。
在此条件下，整个图形是轴对称图形。
∵ $△ ABE$和$△ ACD$都是等边三角形，
∴ $AE = AB$，$AC = AD$，$∠ EAB = ∠ CAD = 60°$，
∴ $∠ EAB + ∠ BAC = ∠ CAD + ∠ BAC$，
即 $∠ EAC = ∠ BAD$。
在$△ EAC$和$△ BAD$中，
$\begin{cases}AE = AB \\∠ EAC = ∠ BAD \\AC = AD\end{cases}$
∴ $△ EAC ≌ △ BAD$（SAS），
∴ $BD = CE$。
(2) 至少需要添加的条件是$AB = AC$。
在此条件下，整个图形是轴对称图形。