5. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$CM⊥ AB$，垂足为$M$.
(1) 若$AC=6$，$BC=8$，则$CM$的长度为多少？
(2) 若$AM=3$，$BM=12$，则$CM$的长度为多少？
(1) 若$AC=6$，$BC=8$，则$CM$的长度为多少？
(2) 若$AM=3$，$BM=12$，则$CM$的长度为多少？
答案：解：
(1) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，由勾股定理得：
$AB^2=AC^2+BC^2=6^2+8^2=100$，
$\therefore AB=10$。
$\because S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AC· BC=\frac{1}{2}· AB· CM$，
$\therefore AC· BC=AB· CM$，即$6× 8=10· CM$，
解得$CM=\frac{24}{5}$。
(2) $\because CM⊥ AB$，
$\therefore ∠ AMC=∠ BMC=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ACM$中，由勾股定理得：$AC^2=AM^2+CM^2$，
在$\mathrm{Rt}△ BCM$中，由勾股定理得：$BC^2=BM^2+CM^2$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，由勾股定理得：$AC^2+BC^2=AB^2$，
又$AB=AM+BM=3+12=15$，将前两式代入得：
$AM^2+CM^2+BM^2+CM^2=AB^2$，
代入$AM=3$，$BM=12$，$AB=15$：
$3^2 + CM^2 +12^2 + CM^2 =15^2$，
整理得$2CM^2=72$，即$CM^2=36$。
$\because CM＞0$，
$\therefore CM=6$。
(1) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，由勾股定理得：
$AB^2=AC^2+BC^2=6^2+8^2=100$，
$\therefore AB=10$。
$\because S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AC· BC=\frac{1}{2}· AB· CM$，
$\therefore AC· BC=AB· CM$，即$6× 8=10· CM$，
解得$CM=\frac{24}{5}$。
(2) $\because CM⊥ AB$，
$\therefore ∠ AMC=∠ BMC=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ACM$中，由勾股定理得：$AC^2=AM^2+CM^2$，
在$\mathrm{Rt}△ BCM$中，由勾股定理得：$BC^2=BM^2+CM^2$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，由勾股定理得：$AC^2+BC^2=AB^2$，
又$AB=AM+BM=3+12=15$，将前两式代入得：
$AM^2+CM^2+BM^2+CM^2=AB^2$，
代入$AM=3$，$BM=12$，$AB=15$：
$3^2 + CM^2 +12^2 + CM^2 =15^2$，
整理得$2CM^2=72$，即$CM^2=36$。
$\because CM＞0$，
$\therefore CM=6$。
6. 如图，$△ ABC$和$△ DEF$都不是直角三角形，分别以$△ ABC$和$△ DEF$的各边为一边向三角形外部作正方形，其中两个小正方形面积的和等于大正方形的面积吗？说明理由。
答案：解：都不等于，理由如下：
设每个小方格的边长为1。
1. 计算△ABC外侧三个正方形的面积：
以AB为边的正方形面积为$3^2=9$，
以AC为边的正方形面积为$1^2+2^2=5$，
以BC为边的正方形面积为$2^2+2^2=8$。
任意两个较小正方形的面积和分别为$5+8=13$，$5+9=14$，$8+9=17$，均不等于第三个正方形的面积。
2. 计算△DEF外侧三个正方形的面积：
以EF为边的正方形面积为$2^2=4$，
以DE为边的正方形面积为$3^2+3^2=18$，
以DF为边的正方形面积为$2^2+5^2=29$。
任意两个较小正方形的面积和分别为$4+18=22$，$4+29=33$，$18+29=47$，均不等于第三个正方形的面积。
根据勾股定理，只有直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，对应以两条直角边为边长的正方形面积和等于以斜边为边长的正方形面积。
由于△ABC和△DEF都不是直角三角形，不存在两边的平方和等于第三边的平方，因此它们对应的两个小正方形面积的和都不等于大正方形的面积。
设每个小方格的边长为1。
1. 计算△ABC外侧三个正方形的面积：
以AB为边的正方形面积为$3^2=9$，
以AC为边的正方形面积为$1^2+2^2=5$，
以BC为边的正方形面积为$2^2+2^2=8$。
任意两个较小正方形的面积和分别为$5+8=13$，$5+9=14$，$8+9=17$，均不等于第三个正方形的面积。
2. 计算△DEF外侧三个正方形的面积：
以EF为边的正方形面积为$2^2=4$，
以DE为边的正方形面积为$3^2+3^2=18$，
以DF为边的正方形面积为$2^2+5^2=29$。
任意两个较小正方形的面积和分别为$4+18=22$，$4+29=33$，$18+29=47$，均不等于第三个正方形的面积。
根据勾股定理，只有直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，对应以两条直角边为边长的正方形面积和等于以斜边为边长的正方形面积。
由于△ABC和△DEF都不是直角三角形，不存在两边的平方和等于第三边的平方，因此它们对应的两个小正方形面积的和都不等于大正方形的面积。
7. 如图，正方形M经过2次“生长”形成“勾股树”，其中所有的四边形都是正方形，面积分别记作$S_M,S_A,S_B,S_C,S_D,S_E,S_F$，所有的三角形都是直角三角形.
（1）正方形M,E,F的面积$S_M,S_E,S_F$之间有什么关系？
（2）第2次“生长”出来的4个正方形A,B,C,D的面积与正方形M的面积有什么关系？
（3）随着这棵勾股树的不断“生长”，请你提出一个问题，并给出答案.
（1）正方形M,E,F的面积$S_M,S_E,S_F$之间有什么关系？
（2）第2次“生长”出来的4个正方形A,B,C,D的面积与正方形M的面积有什么关系？
（3）随着这棵勾股树的不断“生长”，请你提出一个问题，并给出答案.
答案：经过3次“生长”后新生成的所有正方形的面积之和等于$S_M$。
（注：提出其他符合规律的合理问题并给出对应正确答案均可）
（注：提出其他符合规律的合理问题并给出对应正确答案均可）
解析：
解：
(1) 由勾股定理，夹在正方形M、E、F之间的直角三角形，两条直角边的平方分别对应正方形E、F的面积，斜边的平方对应正方形M的面积，因此可得：
$S_M = S_E + S_F$。
(2) 同理，对正方形E对应的直角三角形，有$S_E = S_A + S_B$；
对正方形F对应的直角三角形，有$S_F = S_C + S_D$。
将两式代入$S_M = S_E + S_F$，可得：
$S_M = S_A + S_B + S_C + S_D$，
即第2次“生长”出来的4个正方形A,B,C,D的面积之和等于正方形M的面积。
(3) 提出问题：经过3次“生长”后，新生成的所有正方形的面积之和与$S_M$有什么关系？
(1) 由勾股定理，夹在正方形M、E、F之间的直角三角形，两条直角边的平方分别对应正方形E、F的面积，斜边的平方对应正方形M的面积，因此可得：
$S_M = S_E + S_F$。
(2) 同理，对正方形E对应的直角三角形，有$S_E = S_A + S_B$；
对正方形F对应的直角三角形，有$S_F = S_C + S_D$。
将两式代入$S_M = S_E + S_F$，可得：
$S_M = S_A + S_B + S_C + S_D$，
即第2次“生长”出来的4个正方形A,B,C,D的面积之和等于正方形M的面积。
(3) 提出问题：经过3次“生长”后，新生成的所有正方形的面积之和与$S_M$有什么关系？