答案：(1) 证明：
∵ $AC ⊥ BD$，$∠ CAD=45°$，
∴ $∠ ACD=90°$，$AC=DC$。
在$\mathrm{Rt}△ ACB$和$\mathrm{Rt}△ DCE$中，
$\begin{cases}AB=DE \\AC=DC\end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ ACB ≌ \mathrm{Rt}△ DCE$（HL）。
∴ $∠ BAC=∠ EDC$。
∵ $∠ EDC + ∠ DEC=90°$，$∠ DEC=∠ AEF$，
∴ $∠ BAC + ∠ AEF=90°$，
∴ $∠ AFE=90°$，即$DF ⊥ AB$。
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(2) 证明：
由$\mathrm{Rt}△ ACB ≌ \mathrm{Rt}△ DCE$，得$CE=BC=a$。
阴影部分面积：
$S_{\mathrm{阴影}}=S_{△ BCE} + S_{△ ACD}=\frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{2}b^2$。
∵ $DF ⊥ AB$，$DE=AB=c$，
∴ $S_{△ ABD}=\frac{1}{2}AB · DF=\frac{1}{2}c · (EF + DE)=\frac{1}{2}c · EF + \frac{1}{2}c^2$。
又$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}AB · EF=\frac{1}{2}c · EF$，且点$B$到$AE$的距离为$BC=a$，
∴ $S_{△ ABE}=\frac{1}{2}AE · BC=\frac{1}{2}(AC - CE) · a=\frac{1}{2}a(b - a)$。
同时$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}BD · AC=\frac{1}{2}(BC + CD) · b=\frac{1}{2}b(a + b)$，
将$S_{△ ABE}$代入得：
$\frac{1}{2}a(b - a) + \frac{1}{2}c^2 = \frac{1}{2}b(a + b)$
两边同乘2，化简得：
$ab - a^2 + c^2 = ab + b^2$
整理得：$a^2 + b^2 = c^2$。