1. (1) 下午3时,8 m高的旗杆的影长是6 m,此时旗杆顶端与影子顶端之间的距离是 m.
(2) 如图,一个宽为1 m、高为2.4 m的木门,需在相对角的顶点间加固一块木板,该木板的长为 m.
[第1(2)题] 
[第1(3)题]
(3) 如图,要为一段高5 m、长13 m的楼梯铺上红地毯,至少需要红地毯 m.
(4) 如图所示的零件上A和B两孔中心之间的距离为.
[第1(4)题] 
[第1(5)题]
(5) 如图所示的徽标是我国古代弦图的变形,该图是由$Rt△ ABC$绕中心点O按顺时针方向连续旋转3次,每次旋转$90°$得到的.若中间小正方形的面积是1,徽标图形的总面积是113,$AD=2$,则徽标的外围周长是.
(2) 如图,一个宽为1 m、高为2.4 m的木门,需在相对角的顶点间加固一块木板,该木板的长为 m.
[第1(2)题] [第1(3)题](3) 如图,要为一段高5 m、长13 m的楼梯铺上红地毯,至少需要红地毯 m.
(4) 如图所示的零件上A和B两孔中心之间的距离为.
[第1(4)题] [第1(5)题](5) 如图所示的徽标是我国古代弦图的变形,该图是由$Rt△ ABC$绕中心点O按顺时针方向连续旋转3次,每次旋转$90°$得到的.若中间小正方形的面积是1,徽标图形的总面积是113,$AD=2$,则徽标的外围周长是.
答案：(1) $\boldsymbol{10}$
(2) $\boldsymbol{2.6}$
(3) $\boldsymbol{17}$
(4) $\boldsymbol{50}$
(5) $\boldsymbol{40}$
(2) $\boldsymbol{2.6}$
(3) $\boldsymbol{17}$
(4) $\boldsymbol{50}$
(5) $\boldsymbol{40}$
解析：
解：
(1) 由勾股定理，旗杆顶端与影子顶端的距离为：
$\sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10\ \mathrm{m}$。
(2) 由勾股定理，木板的长为：
$\sqrt{1^2 + 2.4^2} = \sqrt{1 + 5.76} = \sqrt{6.76} = 2.6\ \mathrm{m}$。
(3) 由勾股定理，楼梯的水平长度为：
$\sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12\ \mathrm{m}$，
因此所需红地毯的总长度至少为 $12 + 5 = 17\ \mathrm{m}$。
(4) A、B两孔中心的水平距离为 $60-20=40$，竖直距离为 $50-20=30$，由勾股定理得：
$AB = \sqrt{40^2 + 30^2} = \sqrt{1600 + 900} = \sqrt{2500} = 50$。
(5) 中间小正方形面积为1，故其边长为1。设直角三角形的长直角边长为$x$，结合$AD=2$，可知短直角边长为$x-1$，由总面积条件得：
$4× \frac{1}{2} · x · (x-1) + 1 = 113$，
整理得$x^2 - x - 56 = 0$，解得$x=8$（舍去负根），因此短直角边长为$7$。
由勾股定理得直角三角形斜边长为$\sqrt{8^2 + 7^2}=\sqrt{113}$，结合图形结构，徽标外围共4段等长的边，总外围周长为40。
(1) 由勾股定理，旗杆顶端与影子顶端的距离为：
$\sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10\ \mathrm{m}$。
(2) 由勾股定理，木板的长为：
$\sqrt{1^2 + 2.4^2} = \sqrt{1 + 5.76} = \sqrt{6.76} = 2.6\ \mathrm{m}$。
(3) 由勾股定理，楼梯的水平长度为：
$\sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12\ \mathrm{m}$，
因此所需红地毯的总长度至少为 $12 + 5 = 17\ \mathrm{m}$。
(4) A、B两孔中心的水平距离为 $60-20=40$，竖直距离为 $50-20=30$，由勾股定理得：
$AB = \sqrt{40^2 + 30^2} = \sqrt{1600 + 900} = \sqrt{2500} = 50$。
(5) 中间小正方形面积为1，故其边长为1。设直角三角形的长直角边长为$x$，结合$AD=2$，可知短直角边长为$x-1$，由总面积条件得：
$4× \frac{1}{2} · x · (x-1) + 1 = 113$，
整理得$x^2 - x - 56 = 0$，解得$x=8$（舍去负根），因此短直角边长为$7$。
由勾股定理得直角三角形斜边长为$\sqrt{8^2 + 7^2}=\sqrt{113}$，结合图形结构，徽标外围共4段等长的边，总外围周长为40。
2. 如图,一个儿童游戏场所的AB段和BC段均用不锈钢管材打造,总长度为26 m,长方形CDEF为木质平台的主视图.小敏测量得知CD=1 m,AD=15 m,于是猜想立柱AB段的长为10 m.请判断小敏的猜想是否正确,若正确,请写出理由;若错误,请求出立柱AB段的正确长度.
答案：解：小敏的猜想错误。
过点C作CG⊥AB于点G，
由题意得：AB⊥AD，CD⊥AD，
∴四边形ADCG是矩形，
∴AG=CD=1 m，CG=AD=15 m，∠BGC=90°。
设AB=x m，则BC=(26 - x) m，BG=AB - AG=(x - 1) m。
在Rt△BCG中，由勾股定理得：
$BG^2 + CG^2 = BC^2$
即$ (x - 1)^2 + 15^2 = (26 - x)^2$展开得：$x^2 - 2x + 1 + 225 = x^2 - 52x + 676$整理得：50x = 450解得：x=9
答：立柱AB段的正确长度为9 m。
过点C作CG⊥AB于点G，
由题意得：AB⊥AD，CD⊥AD，
∴四边形ADCG是矩形，
∴AG=CD=1 m，CG=AD=15 m，∠BGC=90°。
设AB=x m，则BC=(26 - x) m，BG=AB - AG=(x - 1) m。
在Rt△BCG中，由勾股定理得：
$BG^2 + CG^2 = BC^2$
即$ (x - 1)^2 + 15^2 = (26 - x)^2$展开得：$x^2 - 2x + 1 + 225 = x^2 - 52x + 676$整理得：50x = 450解得：x=9
答：立柱AB段的正确长度为9 m。
3. 如图，10 m长的梯子AB斜靠在墙上，梯子顶端到地面的垂直距离为8 m. 梯子顶端下滑2 m，它的底端是否也滑动2 m？梯子顶端下滑1 m，它的底端是否也滑动1 m？
答案：解：
在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10 m，AC=8 m，
由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2 - AC^2}=\sqrt{10^2 - 8^2}=\sqrt{36}=6\ \mathrm{m}$。
① 当梯子顶端下滑2 m时，设顶端新位置为$A_1$，底端新位置为$B_1$，
则$A_1C = AC - 2 = 8 - 2 = 6\ \mathrm{m}$，梯子长度$A_1B_1=AB=10\ \mathrm{m}$，
在Rt△$A_1B_1C$中，由勾股定理得：
$CB_1=\sqrt{A_1B_1^2 - A_1C^2}=\sqrt{10^2 - 6^2}=\sqrt{64}=8\ \mathrm{m}$，
底端滑动距离$BB_1 = CB_1 - BC = 8 - 6 = 2\ \mathrm{m}$，
即梯子顶端下滑2 m时，底端也滑动2 m。
② 当梯子顶端下滑1 m时，设顶端新位置为$A_2$，底端新位置为$B_2$，
则$A_2C = AC - 1 = 8 - 1 = 7\ \mathrm{m}$，梯子长度$A_2B_2=AB=10\ \mathrm{m}$，
在Rt△$A_2B_2C$中，由勾股定理得：
$CB_2=\sqrt{A_2B_2^2 - A_2C^2}=\sqrt{10^2 - 7^2}=\sqrt{51}\ \mathrm{m}$，
底端滑动距离$BB_2 = CB_2 - BC = \sqrt{51} - 6 ≠ 1\ \mathrm{m}$，
即梯子顶端下滑1 m时，底端没有滑动1 m。
答：梯子顶端下滑2 m时，它的底端滑动2 m；梯子顶端下滑1 m时，它的底端没有滑动1 m。
在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10 m，AC=8 m，
由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2 - AC^2}=\sqrt{10^2 - 8^2}=\sqrt{36}=6\ \mathrm{m}$。
① 当梯子顶端下滑2 m时，设顶端新位置为$A_1$，底端新位置为$B_1$，
则$A_1C = AC - 2 = 8 - 2 = 6\ \mathrm{m}$，梯子长度$A_1B_1=AB=10\ \mathrm{m}$，
在Rt△$A_1B_1C$中，由勾股定理得：
$CB_1=\sqrt{A_1B_1^2 - A_1C^2}=\sqrt{10^2 - 6^2}=\sqrt{64}=8\ \mathrm{m}$，
底端滑动距离$BB_1 = CB_1 - BC = 8 - 6 = 2\ \mathrm{m}$，
即梯子顶端下滑2 m时，底端也滑动2 m。
② 当梯子顶端下滑1 m时，设顶端新位置为$A_2$，底端新位置为$B_2$，
则$A_2C = AC - 1 = 8 - 1 = 7\ \mathrm{m}$，梯子长度$A_2B_2=AB=10\ \mathrm{m}$，
在Rt△$A_2B_2C$中，由勾股定理得：
$CB_2=\sqrt{A_2B_2^2 - A_2C^2}=\sqrt{10^2 - 7^2}=\sqrt{51}\ \mathrm{m}$，
底端滑动距离$BB_2 = CB_2 - BC = \sqrt{51} - 6 ≠ 1\ \mathrm{m}$，
即梯子顶端下滑1 m时，底端没有滑动1 m。
答：梯子顶端下滑2 m时，它的底端滑动2 m；梯子顶端下滑1 m时，它的底端没有滑动1 m。