17. 请利用直尺和圆规用两种不同的方法作∠O的平分线 OC（不写作法，保留作图痕迹）。
答案：解：
第一种作法（左侧∠AOB图，基于SSS全等）：
1. 以点O为圆心，任意适当长度为半径作弧，分别交OA于点M，交OB于点N；
2. 分别以点M、N为圆心，大于$\frac{1}{2}MN$的长度为半径作弧，两弧在∠AOB内部交于点C；
3. 作射线OC，保留所有圆弧类作图痕迹。
第二种作法（右侧∠AOB图，基于多次全等推导）：
1. 分别在OA、OB上截取$OD=OE$，$OF=OG$，其中D、F在OA上，E、G在OB上，且$OD＜OF$；
2. 连接DG、EF，两条线段在∠AOB内部交于点C；
3. 作射线OC，保留所有截取等长线段的弧和线段DG、EF的作图痕迹。
最终得到的两条射线OC均为对应∠O的角平分线。
第一种作法（左侧∠AOB图，基于SSS全等）：
1. 以点O为圆心，任意适当长度为半径作弧，分别交OA于点M，交OB于点N；
2. 分别以点M、N为圆心，大于$\frac{1}{2}MN$的长度为半径作弧，两弧在∠AOB内部交于点C；
3. 作射线OC，保留所有圆弧类作图痕迹。
第二种作法（右侧∠AOB图，基于多次全等推导）：
1. 分别在OA、OB上截取$OD=OE$，$OF=OG$，其中D、F在OA上，E、G在OB上，且$OD＜OF$；
2. 连接DG、EF，两条线段在∠AOB内部交于点C；
3. 作射线OC，保留所有截取等长线段的弧和线段DG、EF的作图痕迹。
最终得到的两条射线OC均为对应∠O的角平分线。
解析：
【分析】
作角平分线的核心是构造全等三角形，使OC两侧的角相等。我们可以从全等判定的不同思路设计两种方法：第一种利用SSS全等，在角的两边截等长线段，再找两截点的等距点即可；第二种通过构造两组边对应相等的三角形，得到交点后连接顶点即可得到角平分线。
【解析】
方法一（基于SSS全等）：
1. 以点O为圆心，取任意适当长度为半径画弧，分别交OA于点M、交OB于点N；
2. 分别以点M、N为圆心，取大于$\frac{1}{2}MN$的长度为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点C；
3. 作射线OC，保留所有圆弧作图痕迹即可。
方法二（基于多次全等推导）：
1. 在OA上依次取点D、F，在OB上依次取点E、G，用圆规截取使得$OD=OE$，$OF=OG$，且满足$OD＜OF$；
2. 用直尺连接DG、EF，两条线段在∠AOB内部的交点记为C；
3. 作射线OC，保留所有截取等长的圆弧痕迹和线段DG、EF即可。
两种方法作出的OC均为∠O的角平分线。
【答案】
按上述两种方法作出射线OC，保留对应作图痕迹即可（最终两条射线OC均为∠O的平分线）。
【知识点】
角平分线的尺规作图；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于基础的几何操作类题型，考查角平分线的作图原理和实践能力，要求学生不仅要掌握课本常规的作图方法，还要能理解作图背后的全等依据，灵活设计可行的作图方案。
【难度系数】
0.7
作角平分线的核心是构造全等三角形，使OC两侧的角相等。我们可以从全等判定的不同思路设计两种方法：第一种利用SSS全等，在角的两边截等长线段，再找两截点的等距点即可；第二种通过构造两组边对应相等的三角形，得到交点后连接顶点即可得到角平分线。
【解析】
方法一（基于SSS全等）：
1. 以点O为圆心，取任意适当长度为半径画弧，分别交OA于点M、交OB于点N；
2. 分别以点M、N为圆心，取大于$\frac{1}{2}MN$的长度为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点C；
3. 作射线OC，保留所有圆弧作图痕迹即可。
方法二（基于多次全等推导）：
1. 在OA上依次取点D、F，在OB上依次取点E、G，用圆规截取使得$OD=OE$，$OF=OG$，且满足$OD＜OF$；
2. 用直尺连接DG、EF，两条线段在∠AOB内部的交点记为C；
3. 作射线OC，保留所有截取等长的圆弧痕迹和线段DG、EF即可。
两种方法作出的OC均为∠O的角平分线。
【答案】
按上述两种方法作出射线OC，保留对应作图痕迹即可（最终两条射线OC均为∠O的平分线）。
【知识点】
角平分线的尺规作图；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于基础的几何操作类题型，考查角平分线的作图原理和实践能力，要求学生不仅要掌握课本常规的作图方法，还要能理解作图背后的全等依据，灵活设计可行的作图方案。
【难度系数】
0.7
18. 如图,在$△ ABC$中,$CD\bot BD$,垂足为$D$,且$CD=BD$.$BE$平分$∠ ABC$,且$BE\bot AC$,垂足为$E$,交$CD$于点$F$.
(1) 求证:$AE=CE$;
(2) 求证:$BF=2CE$.
(1) 求证:$AE=CE$;
(2) 求证:$BF=2CE$.
答案：证明：(1)
∵ BE平分∠ABC，
∴ ∠ABE = ∠CBE。
∵ BE⊥AC，
∴ ∠AEB = ∠CEB = 90°。
在△ABE和△CBE中，
$\{\begin{array}{l}∠ABE = ∠CBE \\BE = BE \\∠AEB = ∠CEB\end{array} $
∴ △ABE ≌ △CBE（ASA），
∴ AE = CE。
(2)
∵ CD⊥AB，
∴ ∠BDF = ∠CDA = 90°，
∴ ∠A + ∠ACD = 90°。
∵ BE⊥AC，
∴ ∠A + ∠ABE = 90°，
∴ ∠DBF = ∠DCA。
在△BDF和△CDA中，
$\{\begin{array}{l}∠BDF = ∠CDA \\BD = CD \\∠DBF = ∠DCA\end{array} $
∴ △BDF ≌ △CDA（ASA），
∴ BF = AC。
由(1)知AE = CE，
∴ AC = AE + CE = 2CE，
∴ BF = 2CE。
∵ BE平分∠ABC，
∴ ∠ABE = ∠CBE。
∵ BE⊥AC，
∴ ∠AEB = ∠CEB = 90°。
在△ABE和△CBE中，
$\{\begin{array}{l}∠ABE = ∠CBE \\BE = BE \\∠AEB = ∠CEB\end{array} $
∴ △ABE ≌ △CBE（ASA），
∴ AE = CE。
(2)
∵ CD⊥AB，
∴ ∠BDF = ∠CDA = 90°，
∴ ∠A + ∠ACD = 90°。
∵ BE⊥AC，
∴ ∠A + ∠ABE = 90°，
∴ ∠DBF = ∠DCA。
在△BDF和△CDA中，
$\{\begin{array}{l}∠BDF = ∠CDA \\BD = CD \\∠DBF = ∠DCA\end{array} $
∴ △BDF ≌ △CDA（ASA），
∴ BF = AC。
由(1)知AE = CE，
∴ AC = AE + CE = 2CE，
∴ BF = 2CE。
解析：
【分析】
(1) 要证明$AE=CE$，可通过证明$AE$、$CE$所在的$△ ABE$和$△ CBE$全等来实现：已知$BE$是$∠ ABC$的角平分线，可得一组角相等，$BE⊥ AC$可得一组直角相等，加上公共边$BE$，满足ASA全等判定条件，全等后对应边相等即可得证。
(2) 要证明$BF=2CE$，结合(1)的结论可知$AC=2CE$，因此只需证明$BF=AC$即可；观察$BF$和$AC$分别在$△ BDF$与$△ CDA$中，已知$CD=BD$，两个三角形均为直角三角形，再通过同角的余角相等推导得到$∠ DBF=∠ DCA$，即可用ASA证明两三角形全等，得到$BF=AC$，再等量代换即可得证。
【解析】
(1) 证明：
$\because BE$平分$∠ ABC$，
$\therefore ∠ ABE = ∠ CBE$。
$\because BE⊥ AC$，
$\therefore ∠ AEB = ∠ CEB = 90°$。
在$△ ABE$和$△ CBE$中，
$\{\begin{array}{l}∠ ABE = ∠ CBE \\BE = BE \\∠ AEB = ∠ CEB\end{array} $
$\therefore △ ABE ≌ △ CBE$（ASA），
$\therefore AE = CE$。
(2) 证明：
$\because CD⊥ AB$，
$\therefore ∠ BDF = ∠ CDA = 90°$，
$\therefore ∠ A + ∠ ACD = 90°$。
$\because BE⊥ AC$，
$\therefore ∠ A + ∠ ABE = 90°$，
$\therefore ∠ DBF = ∠ DCA$。
在$△ BDF$和$△ CDA$中，
$\{\begin{array}{l}∠ BDF = ∠ CDA \\BD = CD \\∠ DBF = ∠ DCA\end{array} $
$\therefore △ BDF ≌ △ CDA$（ASA），
$\therefore BF = AC$。
由(1)知$AE = CE$，
$\therefore AC = AE + CE = 2CE$，
$\therefore BF = 2CE$。
【答案】
(1) $AE=CE$，得证；
(2) $BF=2CE$，得证。
【知识点】
全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、同角的余角相等
【点评】
本题是三角形全等的常规综合题，解题时可从待证结论出发逆向推导所需的全等条件，同时要善用前一小问的已证结论解决后续问题，降低解题难度。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明$AE=CE$，可通过证明$AE$、$CE$所在的$△ ABE$和$△ CBE$全等来实现：已知$BE$是$∠ ABC$的角平分线，可得一组角相等，$BE⊥ AC$可得一组直角相等，加上公共边$BE$，满足ASA全等判定条件，全等后对应边相等即可得证。
(2) 要证明$BF=2CE$，结合(1)的结论可知$AC=2CE$，因此只需证明$BF=AC$即可；观察$BF$和$AC$分别在$△ BDF$与$△ CDA$中，已知$CD=BD$，两个三角形均为直角三角形，再通过同角的余角相等推导得到$∠ DBF=∠ DCA$，即可用ASA证明两三角形全等，得到$BF=AC$，再等量代换即可得证。
【解析】
(1) 证明：
$\because BE$平分$∠ ABC$，
$\therefore ∠ ABE = ∠ CBE$。
$\because BE⊥ AC$，
$\therefore ∠ AEB = ∠ CEB = 90°$。
在$△ ABE$和$△ CBE$中，
$\{\begin{array}{l}∠ ABE = ∠ CBE \\BE = BE \\∠ AEB = ∠ CEB\end{array} $
$\therefore △ ABE ≌ △ CBE$（ASA），
$\therefore AE = CE$。
(2) 证明：
$\because CD⊥ AB$，
$\therefore ∠ BDF = ∠ CDA = 90°$，
$\therefore ∠ A + ∠ ACD = 90°$。
$\because BE⊥ AC$，
$\therefore ∠ A + ∠ ABE = 90°$，
$\therefore ∠ DBF = ∠ DCA$。
在$△ BDF$和$△ CDA$中，
$\{\begin{array}{l}∠ BDF = ∠ CDA \\BD = CD \\∠ DBF = ∠ DCA\end{array} $
$\therefore △ BDF ≌ △ CDA$（ASA），
$\therefore BF = AC$。
由(1)知$AE = CE$，
$\therefore AC = AE + CE = 2CE$，
$\therefore BF = 2CE$。
【答案】
(1) $AE=CE$，得证；
(2) $BF=2CE$，得证。
【知识点】
全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、同角的余角相等
【点评】
本题是三角形全等的常规综合题，解题时可从待证结论出发逆向推导所需的全等条件，同时要善用前一小问的已证结论解决后续问题，降低解题难度。
【难度系数】
0.6
19. 如图，在$△ ABC$中，$AD$为中线. 求证:$AB+AC＞2AD$. 
（第19题）
（第19题）答案：证明：
延长AD至点E，使DE=AD，连接BE。
∵AD为△ABC的中线，
∴BD=CD。
在△ADC和△EDB中，
$\{\begin{array}{l}AD=ED \\∠ADC=∠EDB \\CD=BD\end{array} $
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴AC=BE。
在△ABE中，由三角形三边关系可得AB+BE＞AE，
又∵AE=AD+DE=2AD，
∴AB+AC＞2AD。
延长AD至点E，使DE=AD，连接BE。
∵AD为△ABC的中线，
∴BD=CD。
在△ADC和△EDB中，
$\{\begin{array}{l}AD=ED \\∠ADC=∠EDB \\CD=BD\end{array} $
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴AC=BE。
在△ABE中，由三角形三边关系可得AB+BE＞AE，
又∵AE=AD+DE=2AD，
∴AB+AC＞2AD。
解析：
【分析】
要证明$AB+AC＞2AD$，观察结论中存在2倍的中线$AD$，可采用倍长中线法构造长度为$2AD$的线段：延长$AD$到$E$使$DE=AD$，即可得$AE=2AD$。接下来利用中线的性质得到$BD=CD$，结合对顶角相等证明$△ ADC$与$△ EDB$全等，将$AC$转化为$BE$，此时$AB$、$BE$、$AE$在同一个$△ ABE$中，利用三角形三边关系“两边之和大于第三边”代入等量关系即可证得结论。
【解析】
证明：
延长$AD$至点$E$，使$DE=AD$，连接$BE$。
$\because AD$为$△ ABC$的中线，
$\therefore BD=CD$。
在$△ ADC$和$△ EDB$中，
$\{\begin{array}{l}AD=ED \\∠ADC=∠EDB \\CD=BD\end{array} $
$\therefore △ ADC≌△ EDB$（SAS），
$\therefore AC=BE$。
在$△ ABE$中，由三角形三边关系可得$AB+BE＞AE$，
又$\because AE=AD+DE=2AD$，
$\therefore AB+AC＞2AD$。
【答案】
$AB+AC＞2AD$，证明过程如上。
【知识点】
三角形中线的定义，全等三角形的判定与性质，三角形三边关系
【点评】
本题是三角形中线段不等关系证明的典型题型，核心是掌握倍长中线这一常用辅助线的作法，通过构造全等三角形实现线段的转化，将分散的线段集中到同一个三角形中，再利用三角形三边关系完成证明，熟练掌握该模型可快速解决同类含中线的线段关系问题。
【难度系数】
0.6
要证明$AB+AC＞2AD$，观察结论中存在2倍的中线$AD$，可采用倍长中线法构造长度为$2AD$的线段：延长$AD$到$E$使$DE=AD$，即可得$AE=2AD$。接下来利用中线的性质得到$BD=CD$，结合对顶角相等证明$△ ADC$与$△ EDB$全等，将$AC$转化为$BE$，此时$AB$、$BE$、$AE$在同一个$△ ABE$中，利用三角形三边关系“两边之和大于第三边”代入等量关系即可证得结论。
【解析】
证明：
延长$AD$至点$E$，使$DE=AD$，连接$BE$。
$\because AD$为$△ ABC$的中线，
$\therefore BD=CD$。
在$△ ADC$和$△ EDB$中，
$\{\begin{array}{l}AD=ED \\∠ADC=∠EDB \\CD=BD\end{array} $
$\therefore △ ADC≌△ EDB$（SAS），
$\therefore AC=BE$。
在$△ ABE$中，由三角形三边关系可得$AB+BE＞AE$，
又$\because AE=AD+DE=2AD$，
$\therefore AB+AC＞2AD$。
【答案】
$AB+AC＞2AD$，证明过程如上。
【知识点】
三角形中线的定义，全等三角形的判定与性质，三角形三边关系
【点评】
本题是三角形中线段不等关系证明的典型题型，核心是掌握倍长中线这一常用辅助线的作法，通过构造全等三角形实现线段的转化，将分散的线段集中到同一个三角形中，再利用三角形三边关系完成证明，熟练掌握该模型可快速解决同类含中线的线段关系问题。
【难度系数】
0.6
如图,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为D.小莉说:当AB+BD=AC+CD时,△ABC是等腰三角形.她的说法正确吗?如正确,请证明;如不正确,请举反例说明.
（附加题）
（附加题）
答案：证明：小莉的说法正确，证明如下：
延长DB至点E，使BE=AB，延长DC至点F，使CF=AC。
∴ $AB + BD = BE + BD = DE$，$AC + CD = CF + CD = DF$。
∵ $AB + BD = AC + CD$，
∴ $DE = DF$。
又∵ $AD ⊥ BC$，即$AD ⊥ EF$，
∴ AD是线段EF的垂直平分线，
∴ $AE = AF$，
∴ $∠ E = ∠ F$。
∵ $BE = AB$，
∴ $∠ E = ∠ BAE$，
∴ $∠ ABC = ∠ E + ∠ BAE = 2∠ E$。
同理，由$CF = AC$可得$∠ ACB = 2∠ F$。
∴ $∠ ABC = ∠ ACB$，
∴ $AB = AC$，即$△ ABC$是等腰三角形。
延长DB至点E，使BE=AB，延长DC至点F，使CF=AC。
∴ $AB + BD = BE + BD = DE$，$AC + CD = CF + CD = DF$。
∵ $AB + BD = AC + CD$，
∴ $DE = DF$。
又∵ $AD ⊥ BC$，即$AD ⊥ EF$，
∴ AD是线段EF的垂直平分线，
∴ $AE = AF$，
∴ $∠ E = ∠ F$。
∵ $BE = AB$，
∴ $∠ E = ∠ BAE$，
∴ $∠ ABC = ∠ E + ∠ BAE = 2∠ E$。
同理，由$CF = AC$可得$∠ ACB = 2∠ F$。
∴ $∠ ABC = ∠ ACB$，
∴ $AB = AC$，即$△ ABC$是等腰三角形。
解析：
【分析】
要判断△ABC是否为等腰三角形，需证明AB=AC或∠ABC=∠ACB。题目给出AD⊥BC和AB+BD=AC+CD的条件，直接利用现有条件难以建立边角关联，因此采用补短法转化线段和的条件：将AB补到BD所在直线上、AC补到CD所在直线上，把两条线段的和转化为单条线段，再结合AD垂直的性质推导边角的等量关系，最终验证角相等即可得出结论。
【解析】
小莉的说法正确，证明如下：
延长DB至点E，使BE=AB，延长DC至点F，使CF=AC。
∴ $AB + BD = BE + BD = DE$，$AC + CD = CF + CD = DF$。
∵ $AB + BD = AC + CD$，
∴ $DE = DF$。
又
∵ $AD ⊥ BC$，即$AD ⊥ EF$，
∴ AD是线段EF的垂直平分线，
∴ $AE = AF$，
∴ $∠ E = ∠ F$。
∵ $BE = AB$，
∴ $∠ E = ∠ BAE$，
∵$∠ABC$是$△ ABE$的外角，
∴ $∠ ABC = ∠ E + ∠ BAE = 2∠ E$。
同理，由$CF = AC$可得$∠ ACB = 2∠ F$。
∴ $∠ ABC = ∠ ACB$，
∴ $AB = AC$，即$△ ABC$是等腰三角形。
【答案】
小莉的说法正确，△ABC是等腰三角形。
【知识点】
垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形外角的性质
【点评】
本题核心是通过补短法构造辅助线，将分散的线段和条件转化为等长线段，再结合垂直平分线、等腰三角形及外角的性质逐步推导角的等量关系，考查了转化思想和辅助线构造能力。
【难度系数】
0.4
要判断△ABC是否为等腰三角形，需证明AB=AC或∠ABC=∠ACB。题目给出AD⊥BC和AB+BD=AC+CD的条件，直接利用现有条件难以建立边角关联，因此采用补短法转化线段和的条件：将AB补到BD所在直线上、AC补到CD所在直线上，把两条线段的和转化为单条线段，再结合AD垂直的性质推导边角的等量关系，最终验证角相等即可得出结论。
【解析】
小莉的说法正确，证明如下：
延长DB至点E，使BE=AB，延长DC至点F，使CF=AC。
∴ $AB + BD = BE + BD = DE$，$AC + CD = CF + CD = DF$。
∵ $AB + BD = AC + CD$，
∴ $DE = DF$。
又
∵ $AD ⊥ BC$，即$AD ⊥ EF$，
∴ AD是线段EF的垂直平分线，
∴ $AE = AF$，
∴ $∠ E = ∠ F$。
∵ $BE = AB$，
∴ $∠ E = ∠ BAE$，
∵$∠ABC$是$△ ABE$的外角，
∴ $∠ ABC = ∠ E + ∠ BAE = 2∠ E$。
同理，由$CF = AC$可得$∠ ACB = 2∠ F$。
∴ $∠ ABC = ∠ ACB$，
∴ $AB = AC$，即$△ ABC$是等腰三角形。
【答案】
小莉的说法正确，△ABC是等腰三角形。
【知识点】
垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形外角的性质
【点评】
本题核心是通过补短法构造辅助线，将分散的线段和条件转化为等长线段，再结合垂直平分线、等腰三角形及外角的性质逐步推导角的等量关系，考查了转化思想和辅助线构造能力。
【难度系数】
0.4