三、解答题
13. 求下列各式中的x：
（1）$4x^2=81$；
（2）$(x+1)^3 -27=0$。
13. 求下列各式中的x：
（1）$4x^2=81$；
（2）$(x+1)^3 -27=0$。
答案：解：
(1) 对$4x^2=81$变形，得
$x^2=\frac{81}{4}$，
由平方根的定义，得
$x=\pm\sqrt{\frac{81}{4}}$，
即$x_1=\frac{9}{2}$，$x_2=-\frac{9}{2}$。
(2) 对$(x+1)^3 -27=0$移项，得
$(x+1)^3=27$，
由立方根的定义，得
$x+1=\sqrt[3]{27}=3$，
解得$x=2$。
(1) 对$4x^2=81$变形，得
$x^2=\frac{81}{4}$，
由平方根的定义，得
$x=\pm\sqrt{\frac{81}{4}}$，
即$x_1=\frac{9}{2}$，$x_2=-\frac{9}{2}$。
(2) 对$(x+1)^3 -27=0$移项，得
$(x+1)^3=27$，
由立方根的定义，得
$x+1=\sqrt[3]{27}=3$，
解得$x=2$。
解析：
【分析】
求解这类含平方、立方的方程，核心是利用平方根和立方根的定义转化为一元一次方程求解。（1）是平方型方程，第一步先把$x^2$的系数化为1，得到$x^2$等于一个正数的形式，再根据正数有两个互为相反数的平方根，即可得到x的两个解；（2）是立方型方程，第一步先移项，把常数项移到等号右侧，得到$(x+1)^3$等于一个常数的形式，再根据立方根的定义，开立方得到关于x的一元一次方程，求解即可。
【解析】
(1) 对$4x^2=81$变形，得
$x^2=\frac{81}{4}$，
由平方根的定义，得
$x=\pm\sqrt{\frac{81}{4}}$，
即$x_1=\frac{9}{2}$，$x_2=-\frac{9}{2}$。
(2) 对$(x+1)^3 -27=0$移项，得
$(x+1)^3=27$，
由立方根的定义，得
$x+1=\sqrt[3]{27}=3$，
解得$x=2$。
【答案】
（1）$x_1=\frac{9}{2},x_2=-\frac{9}{2}$；（2）$x=2$
【知识点】
平方根的定义；立方根的定义；开方解方程
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考查平方根、立方根的性质，解题时需注意开平方时正数的平方根有两个，避免漏写负根，开立方的结果唯一，按步骤整理方程后开方即可快速求解。
【难度系数】
0.8
求解这类含平方、立方的方程，核心是利用平方根和立方根的定义转化为一元一次方程求解。（1）是平方型方程，第一步先把$x^2$的系数化为1，得到$x^2$等于一个正数的形式，再根据正数有两个互为相反数的平方根，即可得到x的两个解；（2）是立方型方程，第一步先移项，把常数项移到等号右侧，得到$(x+1)^3$等于一个常数的形式，再根据立方根的定义，开立方得到关于x的一元一次方程，求解即可。
【解析】
(1) 对$4x^2=81$变形，得
$x^2=\frac{81}{4}$，
由平方根的定义，得
$x=\pm\sqrt{\frac{81}{4}}$，
即$x_1=\frac{9}{2}$，$x_2=-\frac{9}{2}$。
(2) 对$(x+1)^3 -27=0$移项，得
$(x+1)^3=27$，
由立方根的定义，得
$x+1=\sqrt[3]{27}=3$，
解得$x=2$。
【答案】
（1）$x_1=\frac{9}{2},x_2=-\frac{9}{2}$；（2）$x=2$
【知识点】
平方根的定义；立方根的定义；开方解方程
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考查平方根、立方根的性质，解题时需注意开平方时正数的平方根有两个，避免漏写负根，开立方的结果唯一，按步骤整理方程后开方即可快速求解。
【难度系数】
0.8
14. 比较下列每组数的大小：
(1) $\sqrt{5}$与2.5；
(2) $\sqrt[3]{-25}$与$-3$；
(3) $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$与$\frac{1}{2}$。
(1) $\sqrt{5}$与2.5；
(2) $\sqrt[3]{-25}$与$-3$；
(3) $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$与$\frac{1}{2}$。
答案：解：
(1) 因为$(\sqrt{5})^2=5$，$2.5^2=6.25$，
又$5＜6.25$，且$\sqrt{5}＞0$，
所以$\sqrt{5}＜2.5$。
(2) 因为$(\sqrt[3]{-25})^3=-25$，$(-3)^3=-27$，
又$-25＞-27$，
所以$\sqrt[3]{-25}＞-3$。
(3) 因为$\sqrt{5}＞\sqrt{4}=2$，
所以$\sqrt{5}-1＞2-1=1$，
所以$\frac{\sqrt{5}-1}{2}＞\frac{1}{2}$。
(1) 因为$(\sqrt{5})^2=5$，$2.5^2=6.25$，
又$5＜6.25$，且$\sqrt{5}＞0$，
所以$\sqrt{5}＜2.5$。
(2) 因为$(\sqrt[3]{-25})^3=-25$，$(-3)^3=-27$，
又$-25＞-27$，
所以$\sqrt[3]{-25}＞-3$。
(3) 因为$\sqrt{5}＞\sqrt{4}=2$，
所以$\sqrt{5}-1＞2-1=1$，
所以$\frac{\sqrt{5}-1}{2}＞\frac{1}{2}$。
解析：
【分析】
比较带根号的实数大小时，可根据数的特征选择对应方法：①两个正实数比较大小，可通过比较平方后的结果判断，正数平方越大对应原数越大；②带立方根的数比较大小，可通过比较立方后的结果判断，立方结果大小和原数大小顺序一致；③含无理数的同分母分数比较大小，可先估算无理数的取值范围，再推导分子大小，同分母正数分子越大分数越大。按照这个思路分别求解三组数即可。
【解析】
(1) 因为$(\sqrt{5})^2=5$，$2.5^2=6.25$，
又$5＜6.25$，且$\sqrt{5}＞0$，
所以$\sqrt{5}＜2.5$。
(2) 因为$(\sqrt[3]{-25})^3=-25$，$(-3)^3=-27$，
又$-25＞-27$，
所以$\sqrt[3]{-25}＞-3$。
(3) 因为$\sqrt{5}＞\sqrt{4}=2$，
所以$\sqrt{5}-1＞2-1=1$，
所以$\frac{\sqrt{5}-1}{2}＞\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) $\sqrt{5}＜2.5$；(2) $\sqrt[3]{-25}＞-3$；(3) $\frac{\sqrt{5}-1}{2}＞\frac{1}{2}$
【知识点】
实数大小比较；无理数估算；平方根与立方根性质
【点评】
本题考查实数比较大小的常用技巧，解题时可根据数的形式灵活选择平方法、立方法、估算法等方法，熟练掌握常见无理数的取值范围能大幅提升解题速度。
【难度系数】
0.8
比较带根号的实数大小时，可根据数的特征选择对应方法：①两个正实数比较大小，可通过比较平方后的结果判断，正数平方越大对应原数越大；②带立方根的数比较大小，可通过比较立方后的结果判断，立方结果大小和原数大小顺序一致；③含无理数的同分母分数比较大小，可先估算无理数的取值范围，再推导分子大小，同分母正数分子越大分数越大。按照这个思路分别求解三组数即可。
【解析】
(1) 因为$(\sqrt{5})^2=5$，$2.5^2=6.25$，
又$5＜6.25$，且$\sqrt{5}＞0$，
所以$\sqrt{5}＜2.5$。
(2) 因为$(\sqrt[3]{-25})^3=-25$，$(-3)^3=-27$，
又$-25＞-27$，
所以$\sqrt[3]{-25}＞-3$。
(3) 因为$\sqrt{5}＞\sqrt{4}=2$，
所以$\sqrt{5}-1＞2-1=1$，
所以$\frac{\sqrt{5}-1}{2}＞\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) $\sqrt{5}＜2.5$；(2) $\sqrt[3]{-25}＞-3$；(3) $\frac{\sqrt{5}-1}{2}＞\frac{1}{2}$
【知识点】
实数大小比较；无理数估算；平方根与立方根性质
【点评】
本题考查实数比较大小的常用技巧，解题时可根据数的形式灵活选择平方法、立方法、估算法等方法，熟练掌握常见无理数的取值范围能大幅提升解题速度。
【难度系数】
0.8
15. 如图，面积为x的正方形的一个顶点和数轴上表示－1的点重合，一条边落在数轴上，其另一个顶点与数轴正半轴上的点A重合，求点A表示的数。
答案：解：
∵ 正方形的面积为x，且边长为正数，
∴ 正方形的边长为$\sqrt{x}$。
由题意可知，点A与数轴上表示$-1$的点的距离等于正方形的边长$\sqrt{x}$，且点A在表示$-1$的点的右侧，
∴ 点A表示的数为 $\sqrt{x} - 1$。
∵ 正方形的面积为x，且边长为正数，
∴ 正方形的边长为$\sqrt{x}$。
由题意可知，点A与数轴上表示$-1$的点的距离等于正方形的边长$\sqrt{x}$，且点A在表示$-1$的点的右侧，
∴ 点A表示的数为 $\sqrt{x} - 1$。
解析：
【分析】
解题时先从已知条件正方形面积入手，回忆正方形面积公式：面积=边长²，因为边长为正数，所以可通过求面积的算术平方根得到正方形的边长；再观察数轴的位置关系，点A在表示-1的点的右侧，两点之间的距离等于正方形的边长，数轴上右侧点对应的数等于左侧点对应的数加上两点间的距离，代入计算即可得到点A表示的数。
【解析】
∵ 正方形的面积为x，且边长为正数，
∴ 正方形的边长为$\sqrt{x}$。
由题意可知，点A与数轴上表示$-1$的点的距离等于正方形的边长$\sqrt{x}$，且点A在表示$-1$的点的右侧，
∴ 点A表示的数为 $-1 + \sqrt{x} = \sqrt{x} - 1$。
【答案】
$\sqrt{x}-1$
【知识点】
算术平方根的应用；数轴与实数对应；正方形面积计算
【点评】
本题是几何与数轴结合的基础题，解题核心是先利用正方形面积与边长的关系求出边长，再结合数轴上点的位置关系计算对应点的数值，注重基础知识点的综合应用。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件正方形面积入手，回忆正方形面积公式：面积=边长²，因为边长为正数，所以可通过求面积的算术平方根得到正方形的边长；再观察数轴的位置关系，点A在表示-1的点的右侧，两点之间的距离等于正方形的边长，数轴上右侧点对应的数等于左侧点对应的数加上两点间的距离，代入计算即可得到点A表示的数。
【解析】
∵ 正方形的面积为x，且边长为正数，
∴ 正方形的边长为$\sqrt{x}$。
由题意可知，点A与数轴上表示$-1$的点的距离等于正方形的边长$\sqrt{x}$，且点A在表示$-1$的点的右侧，
∴ 点A表示的数为 $-1 + \sqrt{x} = \sqrt{x} - 1$。
【答案】
$\sqrt{x}-1$
【知识点】
算术平方根的应用；数轴与实数对应；正方形面积计算
【点评】
本题是几何与数轴结合的基础题，解题核心是先利用正方形面积与边长的关系求出边长，再结合数轴上点的位置关系计算对应点的数值，注重基础知识点的综合应用。
【难度系数】
0.8
16. 如图,在正方形方格纸中,每个小正方形的边长都是1.
(1) 以数轴的原点为圆心,正方形ABCD的边AB为半径画弧,与数轴正半轴交于点E,点E表示的数是什么?
(2) 通过正方形ABCD,找到数轴上表示$\sqrt{10}$的点.
(3) 请用类似的方法在数轴上画出表示$\sqrt{8}$的点.
(1) 以数轴的原点为圆心,正方形ABCD的边AB为半径画弧,与数轴正半轴交于点E,点E表示的数是什么?
(2) 通过正方形ABCD,找到数轴上表示$\sqrt{10}$的点.
(3) 请用类似的方法在数轴上画出表示$\sqrt{8}$的点.
答案：解：
(1) 由题意得点A为数轴原点，根据勾股定理：
$AB=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，
由作图可知$OE=AB=\sqrt{5}$，
因此点E表示的数是$\sqrt{5}$。
(2) 连接正方形ABCD的对角线AC，
在正方形ABCD中，$∠ ABC=90°$，$AB=BC=\sqrt{5}$，
由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{(\sqrt{5})^2+(\sqrt{5})^2}=\sqrt{10}$，
以数轴原点为圆心，AC的长为半径画弧，与数轴正半轴的交点，即为数轴上表示$\sqrt{10}$的点。
(3) 构造两条直角边长均为2的格点直角三角形，由勾股定理得该直角三角形的斜边长为$\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}$，以数轴原点为圆心，该斜边的长为半径画弧，与数轴正半轴的交点，即为数轴上表示$\sqrt{8}$的点。
(1) 由题意得点A为数轴原点，根据勾股定理：
$AB=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，
由作图可知$OE=AB=\sqrt{5}$，
因此点E表示的数是$\sqrt{5}$。
(2) 连接正方形ABCD的对角线AC，
在正方形ABCD中，$∠ ABC=90°$，$AB=BC=\sqrt{5}$，
由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{(\sqrt{5})^2+(\sqrt{5})^2}=\sqrt{10}$，
以数轴原点为圆心，AC的长为半径画弧，与数轴正半轴的交点，即为数轴上表示$\sqrt{10}$的点。
(3) 构造两条直角边长均为2的格点直角三角形，由勾股定理得该直角三角形的斜边长为$\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}$，以数轴原点为圆心，该斜边的长为半径画弧，与数轴正半轴的交点，即为数轴上表示$\sqrt{8}$的点。
解析：
【分析】
本题核心是利用勾股定理构造长度为无理数的线段，再通过尺规作图将对应长度转移到数轴上，实现无理数的几何表示，解题思路如下：
(1) 先确定AB在方格中对应的水平、竖直直角边长度，用勾股定理算出AB的长，由作图规则可知OE与AB长度相等，即可得到E表示的数；
(2) 要得到长度为$\sqrt{10}$的线段，可利用正方形ABCD的对角线，由正方形边长为$\sqrt{5}$，根据勾股定理可算出对角线长为$\sqrt{10}$，再以原点为圆心、对角线长为半径画弧交数轴即可；
(3) 要得到$\sqrt{8}$，先拆分得$\sqrt{8}=\sqrt{2^2+2^2}$，构造直角边均为2的格点直角三角形，其斜边长度就是$\sqrt{8}$，再用同样的尺规作图方法转移到数轴上即可。
【解析】
(1) 观察方格可得，线段AB的横向长度为2，纵向长度为1，根据勾股定理：
$AB=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，
由作图可知，以原点为圆心、AB为半径画弧交数轴正半轴于E，因此$OE=AB=\sqrt{5}$，即点E表示的数为$\sqrt{5}$。
(2) 连接正方形ABCD的对角线AC，在正方形ABCD中，$∠ ABC=90°$，$AB=BC=\sqrt{5}$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{(\sqrt{5})^2+(\sqrt{5})^2}=\sqrt{10}$，
以数轴原点为圆心，AC长为半径画弧，与数轴正半轴的交点就是表示$\sqrt{10}$的点。
(3) 先构造两条直角边长均为2的格点直角三角形，由勾股定理可得该三角形斜边长为$\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}$，再以数轴原点为圆心，该斜边长度为半径画弧，与数轴正半轴的交点就是表示$\sqrt{8}$的点。
【答案】
(1) $\sqrt{5}$
(2) 以原点为圆心，正方形ABCD的对角线AC长为半径画弧，与数轴正半轴的交点即为表示$\sqrt{10}$的点
(3) 构造直角边长为2的格点直角三角形，以原点为圆心其斜边长为半径画弧，与数轴正半轴的交点即为表示$\sqrt{8}$的点
【知识点】
勾股定理，实数与数轴，尺规作图
【点评】
本题将勾股定理与数轴表示数的知识点结合，考查数形结合思想的应用，解题关键是掌握用勾股定理构造指定长度线段的方法，属于基础综合应用题。
【难度系数】
0.7
本题核心是利用勾股定理构造长度为无理数的线段，再通过尺规作图将对应长度转移到数轴上，实现无理数的几何表示，解题思路如下：
(1) 先确定AB在方格中对应的水平、竖直直角边长度，用勾股定理算出AB的长，由作图规则可知OE与AB长度相等，即可得到E表示的数；
(2) 要得到长度为$\sqrt{10}$的线段，可利用正方形ABCD的对角线，由正方形边长为$\sqrt{5}$，根据勾股定理可算出对角线长为$\sqrt{10}$，再以原点为圆心、对角线长为半径画弧交数轴即可；
(3) 要得到$\sqrt{8}$，先拆分得$\sqrt{8}=\sqrt{2^2+2^2}$，构造直角边均为2的格点直角三角形，其斜边长度就是$\sqrt{8}$，再用同样的尺规作图方法转移到数轴上即可。
【解析】
(1) 观察方格可得，线段AB的横向长度为2，纵向长度为1，根据勾股定理：
$AB=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，
由作图可知，以原点为圆心、AB为半径画弧交数轴正半轴于E，因此$OE=AB=\sqrt{5}$，即点E表示的数为$\sqrt{5}$。
(2) 连接正方形ABCD的对角线AC，在正方形ABCD中，$∠ ABC=90°$，$AB=BC=\sqrt{5}$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{(\sqrt{5})^2+(\sqrt{5})^2}=\sqrt{10}$，
以数轴原点为圆心，AC长为半径画弧，与数轴正半轴的交点就是表示$\sqrt{10}$的点。
(3) 先构造两条直角边长均为2的格点直角三角形，由勾股定理可得该三角形斜边长为$\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}$，再以数轴原点为圆心，该斜边长度为半径画弧，与数轴正半轴的交点就是表示$\sqrt{8}$的点。
【答案】
(1) $\sqrt{5}$
(2) 以原点为圆心，正方形ABCD的对角线AC长为半径画弧，与数轴正半轴的交点即为表示$\sqrt{10}$的点
(3) 构造直角边长为2的格点直角三角形，以原点为圆心其斜边长为半径画弧，与数轴正半轴的交点即为表示$\sqrt{8}$的点
【知识点】
勾股定理，实数与数轴，尺规作图
【点评】
本题将勾股定理与数轴表示数的知识点结合，考查数形结合思想的应用，解题关键是掌握用勾股定理构造指定长度线段的方法，属于基础综合应用题。
【难度系数】
0.7