16. 如图，点A，B，E在一条直线上，且四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形. 在图中画一个正方形，使所画的正方形的面积等于正方形ABCD与正方形BEFG的面积之和（直接画出图形即可）.
答案：解：
连接CE，以CE为边向外作正方形，该正方形即为所求。
（原理：由勾股定理，在Rt△CBE中，∠CBE=90°，得$CE^2=BC^2+BE^2$，因此所作正方形的面积等于正方形ABCD与正方形BEFG的面积之和）
连接CE，以CE为边向外作正方形，该正方形即为所求。
（原理：由勾股定理，在Rt△CBE中，∠CBE=90°，得$CE^2=BC^2+BE^2$，因此所作正方形的面积等于正方形ABCD与正方形BEFG的面积之和）
17. 利用如图所示的图形证明勾股定理：
如图，在四边形ABCD中，BD⊥CD，AE⊥BD，垂足分别为D，E，且△ABE≌△BCD。
求证：$AB^2 = BE^2 + AE^2$。
如图，在四边形ABCD中，BD⊥CD，AE⊥BD，垂足分别为D，E，且△ABE≌△BCD。
求证：$AB^2 = BE^2 + AE^2$。
答案：证明：
连接AC。
∵ $△ ABE ≌ △ BCD$，
∴ $AB = BC$，$AE = BD$，$BE = CD$，$∠ ABE = ∠ BCD$。
∵ $BD ⊥ CD$，
∴ $∠ BDC = 90°$，
∴ $∠ BCD + ∠ CBD = 90°$，
∴ $∠ ABE + ∠ CBD = 90°$，即$∠ ABC = 90°$。
∵ $AE ⊥ BD$，
∴ 四边形$ABCD$的面积可表示为：
$S_{\mathrm{四边形}ABCD} = S_{△ ABD} + S_{△ BCD} = \frac{1}{2} BD · AE + \frac{1}{2} BD · CD$
将$AE=BD$，$CD=BE$代入，得：
$S_{\mathrm{四边形}ABCD} = \frac{1}{2} AE^2 + \frac{1}{2} AE · BE$
同时四边形$ABCD$的面积也可表示为：
$S_{\mathrm{四边形}ABCD} = S_{△ ABC} + S_{△ ADC} = \frac{1}{2} AB · BC + \frac{1}{2} CD · (BD - BE)$
将$AB=BC$，$CD=BE$，$BD=AE$代入，得：
$S_{\mathrm{四边形}ABCD} = \frac{1}{2} AB^2 + \frac{1}{2} BE · (AE - BE) = \frac{1}{2} AB^2 + \frac{1}{2} AE · BE - \frac{1}{2} BE^2$
因此可得等式：
$\frac{1}{2} AE^2 + \frac{1}{2} AE · BE = \frac{1}{2} AB^2 + \frac{1}{2} AE · BE - \frac{1}{2} BE^2$
两边同乘2，消去等式两侧的$AE · BE$项，整理得：
$AE^2 = AB^2 - BE^2$
即 $AB^2 = BE^2 + AE^2$。
连接AC。
∵ $△ ABE ≌ △ BCD$，
∴ $AB = BC$，$AE = BD$，$BE = CD$，$∠ ABE = ∠ BCD$。
∵ $BD ⊥ CD$，
∴ $∠ BDC = 90°$，
∴ $∠ BCD + ∠ CBD = 90°$，
∴ $∠ ABE + ∠ CBD = 90°$，即$∠ ABC = 90°$。
∵ $AE ⊥ BD$，
∴ 四边形$ABCD$的面积可表示为：
$S_{\mathrm{四边形}ABCD} = S_{△ ABD} + S_{△ BCD} = \frac{1}{2} BD · AE + \frac{1}{2} BD · CD$
将$AE=BD$，$CD=BE$代入，得：
$S_{\mathrm{四边形}ABCD} = \frac{1}{2} AE^2 + \frac{1}{2} AE · BE$
同时四边形$ABCD$的面积也可表示为：
$S_{\mathrm{四边形}ABCD} = S_{△ ABC} + S_{△ ADC} = \frac{1}{2} AB · BC + \frac{1}{2} CD · (BD - BE)$
将$AB=BC$，$CD=BE$，$BD=AE$代入，得：
$S_{\mathrm{四边形}ABCD} = \frac{1}{2} AB^2 + \frac{1}{2} BE · (AE - BE) = \frac{1}{2} AB^2 + \frac{1}{2} AE · BE - \frac{1}{2} BE^2$
因此可得等式：
$\frac{1}{2} AE^2 + \frac{1}{2} AE · BE = \frac{1}{2} AB^2 + \frac{1}{2} AE · BE - \frac{1}{2} BE^2$
两边同乘2，消去等式两侧的$AE · BE$项，整理得：
$AE^2 = AB^2 - BE^2$
即 $AB^2 = BE^2 + AE^2$。
18. 在一次探究性学习课中，老师设计了下表：
（1）观察表格，根据规律在表中填空.
（2）用含自然数 $ n(n＞1) $ 的代数式表示 $ a,b,c $，则 $ a= $ ，$ b= $ ，$ c= $ .
（3）猜想:以 $ a,b,c $ 为边的三角形是否为直角三角形？证明你的结论.
附加题
【问题情境】
教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图①,利用此图,可以验证勾股定理吗?
【探索新知】
从面积的角度思考,不难发现:
大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积,
从而得数学等式:(用含字母 $ a,b,c $ 的式子表示),
化简证得勾股定理 $ a^2+b^2=c^2 $.
【初步运用】
(1) 如图①,若 $ b=2a $,则小正方形面积：大正方形面积=;
(2) 现将图①中上方的两直角三角形向内折叠,如图②,若 $ a=4,b=6 $,此时空白部分的面积为.
【迁移运用】
如果用三张含 $ 60° $ 的全等三角形纸片,能否拼成一个特殊图形呢? 带着这个疑问,小丽拼出如图③所示的等边三角形.你能否仿照勾股定理的验证,发现含 $ 60° $ 的三角形三边 $ a,b,c $ 之间的关系,写出此等量关系式及其推导过程.
【知识补充】如图④,含 $ 60° $ 的直角三角形,有对边 $ y $:斜边 $ x= $ 定值 $ k $.
（附加题）
（1）观察表格，根据规律在表中填空.
（2）用含自然数 $ n(n＞1) $ 的代数式表示 $ a,b,c $，则 $ a= $ ，$ b= $ ，$ c= $ .
（3）猜想:以 $ a,b,c $ 为边的三角形是否为直角三角形？证明你的结论.
附加题
【问题情境】
教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图①,利用此图,可以验证勾股定理吗?
【探索新知】
从面积的角度思考,不难发现:
大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积,
从而得数学等式:(用含字母 $ a,b,c $ 的式子表示),
化简证得勾股定理 $ a^2+b^2=c^2 $.
【初步运用】
(1) 如图①,若 $ b=2a $,则小正方形面积：大正方形面积=;
(2) 现将图①中上方的两直角三角形向内折叠,如图②,若 $ a=4,b=6 $,此时空白部分的面积为.
【迁移运用】
如果用三张含 $ 60° $ 的全等三角形纸片,能否拼成一个特殊图形呢? 带着这个疑问,小丽拼出如图③所示的等边三角形.你能否仿照勾股定理的验证,发现含 $ 60° $ 的三角形三边 $ a,b,c $ 之间的关系,写出此等量关系式及其推导过程.
【知识补充】如图④,含 $ 60° $ 的直角三角形,有对边 $ y $:斜边 $ x= $ 定值 $ k $.
（附加题）
答案：第18题解答
解：
(1) 当$n=6$时，$a=6^2-1$，$b=12$，$c=6^2+1$，依次填入对应表格即可。
(2) $a=\boldsymbol{n^2-1}$，$b=\boldsymbol{2n}$，$c=\boldsymbol{n^2+1}$。
(3) 以$a,b,c$为边的三角形是直角三角形，证明如下：
$\begin{aligned}a^2+b^2&=(n^2-1)^2+(2n)^2\\&=n^4-2n^2+1+4n^2\\&=n^4+2n^2+1\end{aligned}$
又$c^2=(n^2+1)^2=n^4+2n^2+1$，因此$a^2+b^2=c^2$。
根据勾股定理的逆定理，以$a,b,c$为边的三角形是直角三角形。
---
附加题解答
解：
【探索新知】大正方形边长为$a+b$，因此等式为：$\boldsymbol{(a+b)^2 = c^2 + 4×\frac{1}{2}ab}$。
【初步运用】
(1) 若$b=2a$，则大正方形面积为$(a+b)^2=(3a)^2=9a^2$，小正方形面积为$c^2=a^2+b^2=a^2+4a^2=5a^2$，因此小正方形面积$:$大正方形面积$=\boldsymbol{5:9}$。
(2) 当$a=4,b=6$时，$c^2=a^2+b^2=16+36=52$，空白部分面积$=c^2 - 2×\frac{1}{2}ab=52-24=\boldsymbol{28}$。
【迁移运用】
等量关系式：$\boldsymbol{a^2 + b^2 - ab = c^2}$，推导过程如下：
边长为$a+b$的大等边三角形面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}(a+b)^2$，该面积等于边长为$c$的小等边三角形面积与3个全等的含$60°$的三角形面积之和。
由知识补充，含$60°$的直角三角形对边$y=kx$，因此两边为$a,b$、夹角为$60°$的三角形面积为$\frac{1}{2}ab· k$，边长为$c$的等边三角形面积为$\frac{1}{2}kc^2$，边长为$a+b$的大等边三角形面积为$\frac{1}{2}k(a+b)^2$。
列面积等式：
$\frac{1}{2}k(a+b)^2 = \frac{1}{2}kc^2 + 3×\frac{1}{2}kab$
两边同时除以$\frac{1}{2}k$，得：
$(a+b)^2 = c^2 + 3ab$
展开整理得：$a^2 + b^2 - ab = c^2$。
解：
(1) 当$n=6$时，$a=6^2-1$，$b=12$，$c=6^2+1$，依次填入对应表格即可。
(2) $a=\boldsymbol{n^2-1}$，$b=\boldsymbol{2n}$，$c=\boldsymbol{n^2+1}$。
(3) 以$a,b,c$为边的三角形是直角三角形，证明如下：
$\begin{aligned}a^2+b^2&=(n^2-1)^2+(2n)^2\\&=n^4-2n^2+1+4n^2\\&=n^4+2n^2+1\end{aligned}$
又$c^2=(n^2+1)^2=n^4+2n^2+1$，因此$a^2+b^2=c^2$。
根据勾股定理的逆定理，以$a,b,c$为边的三角形是直角三角形。
---
附加题解答
解：
【探索新知】大正方形边长为$a+b$，因此等式为：$\boldsymbol{(a+b)^2 = c^2 + 4×\frac{1}{2}ab}$。
【初步运用】
(1) 若$b=2a$，则大正方形面积为$(a+b)^2=(3a)^2=9a^2$，小正方形面积为$c^2=a^2+b^2=a^2+4a^2=5a^2$，因此小正方形面积$:$大正方形面积$=\boldsymbol{5:9}$。
(2) 当$a=4,b=6$时，$c^2=a^2+b^2=16+36=52$，空白部分面积$=c^2 - 2×\frac{1}{2}ab=52-24=\boldsymbol{28}$。
【迁移运用】
等量关系式：$\boldsymbol{a^2 + b^2 - ab = c^2}$，推导过程如下：
边长为$a+b$的大等边三角形面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}(a+b)^2$，该面积等于边长为$c$的小等边三角形面积与3个全等的含$60°$的三角形面积之和。
由知识补充，含$60°$的直角三角形对边$y=kx$，因此两边为$a,b$、夹角为$60°$的三角形面积为$\frac{1}{2}ab· k$，边长为$c$的等边三角形面积为$\frac{1}{2}kc^2$，边长为$a+b$的大等边三角形面积为$\frac{1}{2}k(a+b)^2$。
列面积等式：
$\frac{1}{2}k(a+b)^2 = \frac{1}{2}kc^2 + 3×\frac{1}{2}kab$
两边同时除以$\frac{1}{2}k$，得：
$(a+b)^2 = c^2 + 3ab$
展开整理得：$a^2 + b^2 - ab = c^2$。