一、选择题
1. 如图，在四边形ABCD中，AD//BC//x轴，下列说法中正确的是().
A.点A与点D的纵坐标相同
B.点A与点B的横坐标相同
C.点A与点C的纵坐标相同
D.点B与点D的横坐标相同
1. 如图，在四边形ABCD中，AD//BC//x轴，下列说法中正确的是().
A.点A与点D的纵坐标相同
B.点A与点B的横坐标相同
C.点A与点C的纵坐标相同
D.点B与点D的横坐标相同
答案：A
解析：
【分析】
首先回忆平面直角坐标系的坐标性质：平行于x轴的直线上所有点的纵坐标相等，平行于y轴的直线上所有点的横坐标相等。本题已知AD//BC//x轴，可据此性质逐一判断各选项：首先AD上的点A、D纵坐标一定相等，BC上的点B、C纵坐标一定相等，再判断其余选项中两点是否满足对应坐标相等的条件即可。
【解析】
在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线上任意两点的纵坐标相等。
∵ AD//x轴，
∴ 点A与点D在同一条平行于x轴的直线上，二者纵坐标相同，故A选项正确。
对其余选项判断如下：
B选项：AB不平行于y轴，因此点A与点B横坐标不相同，错误；
C选项：点A在AD上、点C在BC上，AD和BC是两条不同的平行于x轴的直线，纵坐标不相同，错误；
D选项：BD不平行于y轴，因此点B与点D横坐标不相同，错误。
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 平行于x轴的点的坐标特征
2. 平面直角坐标系点的坐标性质
【点评】
本题是基础概念题，主要考查平行于坐标轴的直线上点的坐标规律，牢记相关性质即可快速得出答案，属于对坐标基础概念的常规考察。
【难度系数】
0.9
首先回忆平面直角坐标系的坐标性质：平行于x轴的直线上所有点的纵坐标相等，平行于y轴的直线上所有点的横坐标相等。本题已知AD//BC//x轴，可据此性质逐一判断各选项：首先AD上的点A、D纵坐标一定相等，BC上的点B、C纵坐标一定相等，再判断其余选项中两点是否满足对应坐标相等的条件即可。
【解析】
在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线上任意两点的纵坐标相等。
∵ AD//x轴，
∴ 点A与点D在同一条平行于x轴的直线上，二者纵坐标相同，故A选项正确。
对其余选项判断如下：
B选项：AB不平行于y轴，因此点A与点B横坐标不相同，错误；
C选项：点A在AD上、点C在BC上，AD和BC是两条不同的平行于x轴的直线，纵坐标不相同，错误；
D选项：BD不平行于y轴，因此点B与点D横坐标不相同，错误。
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 平行于x轴的点的坐标特征
2. 平面直角坐标系点的坐标性质
【点评】
本题是基础概念题，主要考查平行于坐标轴的直线上点的坐标规律，牢记相关性质即可快速得出答案，属于对坐标基础概念的常规考察。
【难度系数】
0.9
2. 如果点$P(5,y)$在第四象限，那么$y$的取值范围是().
A.$y≤ 0$
B.$y≥ 0$
C.$y＜0$
D.$y＞0$
A.$y≤ 0$
B.$y≥ 0$
C.$y＜0$
D.$y＞0$
答案：C
解析：
【分析】
解题时首先回忆平面直角坐标系中四个象限的点的坐标符号规律：四个象限的横纵坐标符号分别为第一象限(+,+)、第二象限(-,+)、第三象限(-,-)、第四象限(+,-)。已知点P的横坐标是5＞0，符合第四象限横坐标的符号要求，因此只要让纵坐标y满足第四象限纵坐标的符号要求即可得到y的取值范围，再匹配选项得出答案。
【解析】
平面直角坐标系中，第四象限内点的坐标特征为：横坐标为正，纵坐标为负。
已知点P(5,y)在第四象限，其横坐标5＞0满足第四象限横坐标的要求，因此纵坐标y需满足：y＜0，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
象限内点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，核心考查对各象限内点的坐标符号规律的掌握，熟记相关规律即可快速求解，是平面直角坐标系章节的典型基础考题。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆平面直角坐标系中四个象限的点的坐标符号规律：四个象限的横纵坐标符号分别为第一象限(+,+)、第二象限(-,+)、第三象限(-,-)、第四象限(+,-)。已知点P的横坐标是5＞0，符合第四象限横坐标的符号要求，因此只要让纵坐标y满足第四象限纵坐标的符号要求即可得到y的取值范围，再匹配选项得出答案。
【解析】
平面直角坐标系中，第四象限内点的坐标特征为：横坐标为正，纵坐标为负。
已知点P(5,y)在第四象限，其横坐标5＞0满足第四象限横坐标的要求，因此纵坐标y需满足：y＜0，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
象限内点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，核心考查对各象限内点的坐标符号规律的掌握，熟记相关规律即可快速求解，是平面直角坐标系章节的典型基础考题。
【难度系数】
0.9
3. 在平面直角坐标系中,点A绕x轴上一点按顺时针方向旋转$90°$得到点$A_1$,点A和$A_1$的坐标分别是$(0,4)$和$(5,1)$,则旋转中心的坐标是().
A.$(-1,0)$
B.$(1,0)$
C.$(2,0)$
D.$(1.5,0)$
A.$(-1,0)$
B.$(1,0)$
C.$(2,0)$
D.$(1.5,0)$
答案：B
解析：
【分析】
首先，旋转中心在x轴上，因此可设旋转中心坐标为P(p,0)。根据旋转的性质可知：对应点到旋转中心的距离相等，即PA=PA₁，且旋转角为90°，即∠APA₁=90°。我们可以过A₁作x轴的垂线构造两个直角三角形，利用同角的余角相等证明两三角形全等，再根据全等三角形对应边相等列等量关系，即可求出p的值，得到旋转中心坐标。
【解析】
设旋转中心为点P，坐标为(p, 0)，过点A₁作A₁B⊥x轴于点B，因此∠AOP=∠PBA₁=90°。
由旋转的性质可得：PA=PA₁，∠APA₁=90°，
∴∠APO + ∠A₁PB = 90°，
又
∵在Rt△AOP中，∠APO + ∠OAP = 90°，
∴∠OAP = ∠BPA₁（同角的余角相等）。
在△AOP和△PBA₁中：
$\{\begin{array}{l}∠AOP = ∠PBA_1 \\∠OAP = ∠BPA_1 \\PA = PA_1\end{array} $
∴△AOP ≌ △PBA₁（AAS）
∴对应边相等：$OP = BA_1$，$OA = PB$。
已知A(0,4)，则OA=4；A₁(5,1)，则BA₁=1，OB=5。
由$OP = BA_1=1$，得p=1，
验证：PB=OB - OP=5-1=4=OA，符合全等的对应边关系，
因此旋转中心P的坐标为(1, 0)。
【答案】
B
【知识点】
1.旋转的性质
2.全等三角形的判定与性质
3.平面直角坐标系的应用
【点评】
本题考查几何变换中的旋转相关计算，解题核心是利用旋转的性质构造全等三角形，将坐标关系转化为线段长度的等量关系求解，是平面直角坐标系与几何变换结合的典型题型。
【难度系数】
0.7
首先，旋转中心在x轴上，因此可设旋转中心坐标为P(p,0)。根据旋转的性质可知：对应点到旋转中心的距离相等，即PA=PA₁，且旋转角为90°，即∠APA₁=90°。我们可以过A₁作x轴的垂线构造两个直角三角形，利用同角的余角相等证明两三角形全等，再根据全等三角形对应边相等列等量关系，即可求出p的值，得到旋转中心坐标。
【解析】
设旋转中心为点P，坐标为(p, 0)，过点A₁作A₁B⊥x轴于点B，因此∠AOP=∠PBA₁=90°。
由旋转的性质可得：PA=PA₁，∠APA₁=90°，
∴∠APO + ∠A₁PB = 90°，
又
∵在Rt△AOP中，∠APO + ∠OAP = 90°，
∴∠OAP = ∠BPA₁（同角的余角相等）。
在△AOP和△PBA₁中：
$\{\begin{array}{l}∠AOP = ∠PBA_1 \\∠OAP = ∠BPA_1 \\PA = PA_1\end{array} $
∴△AOP ≌ △PBA₁（AAS）
∴对应边相等：$OP = BA_1$，$OA = PB$。
已知A(0,4)，则OA=4；A₁(5,1)，则BA₁=1，OB=5。
由$OP = BA_1=1$，得p=1，
验证：PB=OB - OP=5-1=4=OA，符合全等的对应边关系，
因此旋转中心P的坐标为(1, 0)。
【答案】
B
【知识点】
1.旋转的性质
2.全等三角形的判定与性质
3.平面直角坐标系的应用
【点评】
本题考查几何变换中的旋转相关计算，解题核心是利用旋转的性质构造全等三角形，将坐标关系转化为线段长度的等量关系求解，是平面直角坐标系与几何变换结合的典型题型。
【难度系数】
0.7
二、填空题
4. 已知点$P(2,-1)$关于$x$轴的对称点是$P_1$，那么$P_1$点关于原点的对称点的坐标为。
4. 已知点$P(2,-1)$关于$x$轴的对称点是$P_1$，那么$P_1$点关于原点的对称点的坐标为。
答案：$\boldsymbol{(-2,-1)}$
解析：
【分析】
解题需分两步进行：第一步先根据关于x轴对称的点的坐标特征求出P₁的坐标，第二步再根据关于原点对称的点的坐标特征，计算得到P₁关于原点的对称点坐标。需牢记两个对称规律：关于x轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数；关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数，按规律逐步推导即可。
【解析】
1. 求点P关于x轴的对称点P₁的坐标：
已知点P坐标为$(2,-1)$，根据关于x轴对称的点横坐标不变、纵坐标取相反数的规律，可得$P_1$的横坐标为$2$，纵坐标为$-(-1)=1$，即$P_1(2,1)$。
2. 求$P_1$关于原点的对称点坐标：
根据关于原点对称的点横、纵坐标均取相反数的规律，可得该点的横坐标为$-2$，纵坐标为$-1$，即坐标为$(-2,-1)$。
【答案】
$\boldsymbol{(-2,-1)}$
【知识点】
关于x轴对称的点的坐标特征；关于原点对称的点的坐标特征
【点评】
本题是平面直角坐标系中对称点坐标的基础应用题，核心是熟记不同对称关系下的坐标变化规则，只要细心计算即可得出正确结果，是对基础概念掌握情况的考察。
【难度系数】
0.9
解题需分两步进行：第一步先根据关于x轴对称的点的坐标特征求出P₁的坐标，第二步再根据关于原点对称的点的坐标特征，计算得到P₁关于原点的对称点坐标。需牢记两个对称规律：关于x轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数；关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数，按规律逐步推导即可。
【解析】
1. 求点P关于x轴的对称点P₁的坐标：
已知点P坐标为$(2,-1)$，根据关于x轴对称的点横坐标不变、纵坐标取相反数的规律，可得$P_1$的横坐标为$2$，纵坐标为$-(-1)=1$，即$P_1(2,1)$。
2. 求$P_1$关于原点的对称点坐标：
根据关于原点对称的点横、纵坐标均取相反数的规律，可得该点的横坐标为$-2$，纵坐标为$-1$，即坐标为$(-2,-1)$。
【答案】
$\boldsymbol{(-2,-1)}$
【知识点】
关于x轴对称的点的坐标特征；关于原点对称的点的坐标特征
【点评】
本题是平面直角坐标系中对称点坐标的基础应用题，核心是熟记不同对称关系下的坐标变化规则，只要细心计算即可得出正确结果，是对基础概念掌握情况的考察。
【难度系数】
0.9
5. 在平面直角坐标系中，已知点$A(-3,0),B(0,2)$.现将线段$AB$向右平移，使点$A$与坐标原点重合，则点$B$平移后的坐标是.
答案：解：
由点A(-3,0)向右平移后与坐标原点重合，可得平移规律为：横坐标加3，纵坐标保持不变。
将点B(0,2)按此规律平移，横坐标为0+3=3，纵坐标仍为2，
因此点B平移后的坐标是$\boldsymbol{(3,2)}$。
由点A(-3,0)向右平移后与坐标原点重合，可得平移规律为：横坐标加3，纵坐标保持不变。
将点B(0,2)按此规律平移，横坐标为0+3=3，纵坐标仍为2，
因此点B平移后的坐标是$\boldsymbol{(3,2)}$。
解析：
【分析】
解决本题的核心是利用平移的性质：图形平移时，图形上所有点的平移规律完全相同。首先根据点A平移前后的坐标，确定本次平移的坐标变化规则，再将该规则应用到点B上即可求出结果。第一步先对比A点平移前后的坐标：平移前A为(-3,0)，平移后对应点是原点(0,0)，可得出横坐标增加了3，纵坐标没有变化，即平移规律为横坐标加3，纵坐标不变；第二步将点B的坐标按该规律计算即可。
【解析】
∵ 点A(-3,0)向右平移后与坐标原点(0,0)重合，
∴ 本次平移的规律为：横坐标加3，纵坐标保持不变，
将点B(0,2)按照该规律平移，平移后横坐标为$0+3=3$，纵坐标仍为2，
∴ 点B平移后的坐标是$(3,2)$。
【答案】
$(3,2)$
【知识点】
坐标平移规律；平移的性质
【点评】
本题考查平面直角坐标系中点的平移相关知识，解题关键是先通过已知对应点的坐标确定平移规则，再利用平移时所有点变化规律一致的性质求解未知点坐标，是平移类的典型基础题。
【难度系数】
0.9
解决本题的核心是利用平移的性质：图形平移时，图形上所有点的平移规律完全相同。首先根据点A平移前后的坐标，确定本次平移的坐标变化规则，再将该规则应用到点B上即可求出结果。第一步先对比A点平移前后的坐标：平移前A为(-3,0)，平移后对应点是原点(0,0)，可得出横坐标增加了3，纵坐标没有变化，即平移规律为横坐标加3，纵坐标不变；第二步将点B的坐标按该规律计算即可。
【解析】
∵ 点A(-3,0)向右平移后与坐标原点(0,0)重合，
∴ 本次平移的规律为：横坐标加3，纵坐标保持不变，
将点B(0,2)按照该规律平移，平移后横坐标为$0+3=3$，纵坐标仍为2，
∴ 点B平移后的坐标是$(3,2)$。
【答案】
$(3,2)$
【知识点】
坐标平移规律；平移的性质
【点评】
本题考查平面直角坐标系中点的平移相关知识，解题关键是先通过已知对应点的坐标确定平移规则，再利用平移时所有点变化规律一致的性质求解未知点坐标，是平移类的典型基础题。
【难度系数】
0.9
6. 已知点$O(0,0)$,$B(1,2)$,点$A$在$x$轴上,且$S_{△ OAB}=2$,则满足条件的点$A$的坐标为 .
答案：解：设点A的坐标为$(x,0)$，
∵点A在x轴上，
∴OA边上的高为点B到x轴的距离，即高为$|2|=2$。
由三角形面积公式可得：
$S_{△ OAB}=\frac{1}{2} × |OA| × 2 = |x| = 2$，
解得$x=2$或$x=-2$，
∴满足条件的点A的坐标为$(2,0)$或$(-2,0)$。
∵点A在x轴上，
∴OA边上的高为点B到x轴的距离，即高为$|2|=2$。
由三角形面积公式可得：
$S_{△ OAB}=\frac{1}{2} × |OA| × 2 = |x| = 2$，
解得$x=2$或$x=-2$，
∴满足条件的点A的坐标为$(2,0)$或$(-2,0)$。
解析：
【分析】
首先，已知点A在x轴上，因此可以设A的坐标为$(x,0)$；三角形OAB的边OA在x轴上，那么OA边上的高就是点B到x轴的距离，即B点纵坐标的绝对值；接下来结合已知的三角形面积，利用三角形面积公式列出关于x的方程，求解时注意绝对值对应正负两个解，分别对应A在x轴正半轴和负半轴的两种情况，即可得到A的坐标。
【解析】
解：设点A的坐标为$(x,0)$，
∵点A在x轴上，
∴OA边上的高为点B到x轴的距离，即高为$|2|=2$。
由三角形面积公式可得：
$S_{△ OAB}=\frac{1}{2} × |OA| × 2 = |x| = 2$，
解得$x=2$或$x=-2$，
∴满足条件的点A的坐标为$(2,0)$或$(-2,0)$。
【答案】
$(2,0)$；$(-2,0)$
【知识点】
坐标轴上点的坐标特征；三角形面积公式；绝对值的性质
【点评】
本题的解题关键是明确x轴上点的纵坐标为0，当三角形以x轴上的线段为底时，高为另一顶点纵坐标的绝对值；易错点是容易忽略点A在x轴负半轴的情况，导致漏解，解题时要注意全面考虑坐标的正负性。
【难度系数】
0.7
首先，已知点A在x轴上，因此可以设A的坐标为$(x,0)$；三角形OAB的边OA在x轴上，那么OA边上的高就是点B到x轴的距离，即B点纵坐标的绝对值；接下来结合已知的三角形面积，利用三角形面积公式列出关于x的方程，求解时注意绝对值对应正负两个解，分别对应A在x轴正半轴和负半轴的两种情况，即可得到A的坐标。
【解析】
解：设点A的坐标为$(x,0)$，
∵点A在x轴上，
∴OA边上的高为点B到x轴的距离，即高为$|2|=2$。
由三角形面积公式可得：
$S_{△ OAB}=\frac{1}{2} × |OA| × 2 = |x| = 2$，
解得$x=2$或$x=-2$，
∴满足条件的点A的坐标为$(2,0)$或$(-2,0)$。
【答案】
$(2,0)$；$(-2,0)$
【知识点】
坐标轴上点的坐标特征；三角形面积公式；绝对值的性质
【点评】
本题的解题关键是明确x轴上点的纵坐标为0，当三角形以x轴上的线段为底时，高为另一顶点纵坐标的绝对值；易错点是容易忽略点A在x轴负半轴的情况，导致漏解，解题时要注意全面考虑坐标的正负性。
【难度系数】
0.7
7. 如图，点$P(-2,1)$与点$Q(a,b)$关于过点$(0,-1)$且垂直于$y$轴的直线$l$对称，则$a+b=$。
答案：$\boldsymbol{-5}$
解析：
【分析】
首先确定对称轴直线l的解析式：垂直于y轴的直线平行于x轴，直线上所有点纵坐标相等，结合直线l过点(0,-1)，可得直线l的解析式为y=-1。再根据关于平行于x轴的直线对称的点的坐标规律：两点横坐标相等，纵坐标的平均值等于对称轴的纵坐标，据此求出点Q的坐标，最后计算a+b的值即可。
【解析】
解：
∵ 直线l过点(0,-1)且垂直于y轴，
∴ 直线l的解析式为$\boldsymbol{y=-1}$。
∵ 点$P(-2,1)$与点$Q(a,b)$关于直线$y=-1$对称，
∴ 两点横坐标相等，即$\boldsymbol{a=-2}$，
且两点纵坐标的平均值等于-1，即$\frac{1 + b}{2} = -1$，
解得$b=-3$。
∴ $a+b=-2+(-3)=-5$。
【答案】
$\boldsymbol{-5}$
【知识点】
1. 平行于x轴的直线特征
2. 轴对称的坐标规律
3. 有理数加法运算
【点评】
本题考查平面直角坐标系中轴对称的坐标变换，解题核心是先准确判断对称轴的表达式，再利用对称性质求解对应点坐标，属于基础题型，熟练掌握不同对称轴下的坐标变换规律是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
首先确定对称轴直线l的解析式：垂直于y轴的直线平行于x轴，直线上所有点纵坐标相等，结合直线l过点(0,-1)，可得直线l的解析式为y=-1。再根据关于平行于x轴的直线对称的点的坐标规律：两点横坐标相等，纵坐标的平均值等于对称轴的纵坐标，据此求出点Q的坐标，最后计算a+b的值即可。
【解析】
解：
∵ 直线l过点(0,-1)且垂直于y轴，
∴ 直线l的解析式为$\boldsymbol{y=-1}$。
∵ 点$P(-2,1)$与点$Q(a,b)$关于直线$y=-1$对称，
∴ 两点横坐标相等，即$\boldsymbol{a=-2}$，
且两点纵坐标的平均值等于-1，即$\frac{1 + b}{2} = -1$，
解得$b=-3$。
∴ $a+b=-2+(-3)=-5$。
【答案】
$\boldsymbol{-5}$
【知识点】
1. 平行于x轴的直线特征
2. 轴对称的坐标规律
3. 有理数加法运算
【点评】
本题考查平面直角坐标系中轴对称的坐标变换，解题核心是先准确判断对称轴的表达式，再利用对称性质求解对应点坐标，属于基础题型，熟练掌握不同对称轴下的坐标变换规律是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8