在平面直角坐标系中,对于点$A(x,y)$,若点$B$的坐标为$(kx+y,x-ky)$,则称点$B$为$A$的“$k$级牵挂点”,如点$A(2,5)$的“$2$级牵挂点”为$B(2×2+5,2-2×5)$,即$B(9,-8)$.
(1) 已知点$P(-5,1)$的“$-3$级牵挂点”为$P_1$,求点$P_1$的坐标,并写出点$P_1$到$x$轴的距离;
(2) 已知点$Q$的“$4$级牵挂点”为$Q_1(5,-3)$,求点$Q$的坐标及所在象限.
(1) 已知点$P(-5,1)$的“$-3$级牵挂点”为$P_1$,求点$P_1$的坐标,并写出点$P_1$到$x$轴的距离;
(2) 已知点$Q$的“$4$级牵挂点”为$Q_1(5,-3)$,求点$Q$的坐标及所在象限.
答案：解：
(1) 已知点$P(-5,1)$，$k=-3$，根据“$k$级牵挂点”的定义：
横坐标为 $kx+y = -3×(-5)+1 = 16$，
纵坐标为 $x-ky = -5 - (-3)×1 = -2$，
∴点$P_1$的坐标为$(16,-2)$。
点$P_1$到$x$轴的距离为$|-2|=2$。
(2) 设点$Q$的坐标为$(x,y)$，由题意$k=4$，$Q_1(5,-3)$，可得方程组：
$\begin{cases}4x + y = 5 \\x - 4y = -3\end{cases}$
将第一个方程两边同乘4，得$16x +4y =20$，
与第二个方程相加，得$17x=17$，解得$x=1$，
把$x=1$代入$4x+y=5$，得$4+y=5$，解得$y=1$。
∴点$Q$的坐标为$(1,1)$，点$Q$在第一象限。
(1) 已知点$P(-5,1)$，$k=-3$，根据“$k$级牵挂点”的定义：
横坐标为 $kx+y = -3×(-5)+1 = 16$，
纵坐标为 $x-ky = -5 - (-3)×1 = -2$，
∴点$P_1$的坐标为$(16,-2)$。
点$P_1$到$x$轴的距离为$|-2|=2$。
(2) 设点$Q$的坐标为$(x,y)$，由题意$k=4$，$Q_1(5,-3)$，可得方程组：
$\begin{cases}4x + y = 5 \\x - 4y = -3\end{cases}$
将第一个方程两边同乘4，得$16x +4y =20$，
与第二个方程相加，得$17x=17$，解得$x=1$，
把$x=1$代入$4x+y=5$，得$4+y=5$，解得$y=1$。
∴点$Q$的坐标为$(1,1)$，点$Q$在第一象限。