22. 给出定义:若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方,则称这个四边形为勾股四边形.
(1) 用你学过的特殊四边形知识,写出两种勾股四边形的名称.
(2) 如图,将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°后得到△DBE,连接AD,DC,CE,已知∠DCB=30°.
① 求证:△BCE是等边三角形.
② 求证$:DC^2 + BC^2 = AC^2 ($即四边形ABCD是勾股四边形).
(1) 用你学过的特殊四边形知识,写出两种勾股四边形的名称.
(2) 如图,将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°后得到△DBE,连接AD,DC,CE,已知∠DCB=30°.
① 求证:△BCE是等边三角形.
② 求证$:DC^2 + BC^2 = AC^2 ($即四边形ABCD是勾股四边形).
答案：解：
(1) 矩形、正方形。（答案合理即可）
① 证明：
∵ 将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°后得到△DBE，
∴ BC = BE，∠CBE = 60°，
∴ △BCE是等边三角形。
② 证明：
由旋转的性质可得：AC = DE。
∵ △BCE是等边三角形，
∴ BC = CE，∠BCE = 60°。
∵ ∠DCB = 30°，
∴ ∠DCE = ∠DCB + ∠BCE = 30° + 60° = 90°，
∴ △DCE是直角三角形。
在Rt△DCE中，由勾股定理得：$DC^2 + CE^2 = DE^2$，
将$CE=BC$，$DE=AC$代入上式，可得$DC^2 + BC^2 = AC^2$，
即四边形ABCD是勾股四边形。
(1) 矩形、正方形。（答案合理即可）
① 证明：
∵ 将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°后得到△DBE，
∴ BC = BE，∠CBE = 60°，
∴ △BCE是等边三角形。
② 证明：
由旋转的性质可得：AC = DE。
∵ △BCE是等边三角形，
∴ BC = CE，∠BCE = 60°。
∵ ∠DCB = 30°，
∴ ∠DCE = ∠DCB + ∠BCE = 30° + 60° = 90°，
∴ △DCE是直角三角形。
在Rt△DCE中，由勾股定理得：$DC^2 + CE^2 = DE^2$，
将$CE=BC$，$DE=AC$代入上式，可得$DC^2 + BC^2 = AC^2$，
即四边形ABCD是勾股四边形。
（1）如图①，AD和A'D'分别是$△ ABC$和$△ A'B'C'$的边BC和边B'C'上的中线，AD=A'D'，AB=A'B'，BC=B'C'. 求证：$△ ABC ≌ △ A'B'C'$.
（2）如图②，AD和A'D'分别是$△ ABC$和$△ A'B'C'$的边BC和边B'C'上的中线，AD=A'D'，AB=A'B'，AC=A'C'. 判断$△ ABC$与$△ A'B'C'$是否仍然全等，并说明理由.
（3）类比上述问题的探究过程，下列命题是真命题的是.(填写相应的序号)
① 两角和第三个角的平分线分别相等的两个三角形全等；
② 一边和这条边上的中线以及高分别相等的两个三角形全等；
③ 斜边和斜边上的高分别相等的两个直角三角形全等；
④ 两边和第三条边上的高分别相等的两个三角形全等；
⑤ 底边和一腰上的中线分别相等的两个等腰三角形全等.
（2）如图②，AD和A'D'分别是$△ ABC$和$△ A'B'C'$的边BC和边B'C'上的中线，AD=A'D'，AB=A'B'，AC=A'C'. 判断$△ ABC$与$△ A'B'C'$是否仍然全等，并说明理由.
（3）类比上述问题的探究过程，下列命题是真命题的是.(填写相应的序号)
① 两角和第三个角的平分线分别相等的两个三角形全等；
② 一边和这条边上的中线以及高分别相等的两个三角形全等；
③ 斜边和斜边上的高分别相等的两个直角三角形全等；
④ 两边和第三条边上的高分别相等的两个三角形全等；
⑤ 底边和一腰上的中线分别相等的两个等腰三角形全等.
答案：(1) 证明：
∵AD、A'D'分别是$△ ABC$和$△ A'B'C'$的边$BC$、$B'C'$上的中线，
∴$BD = \frac{1}{2}BC$，$B'D' = \frac{1}{2}B'C'$，
又∵$BC = B'C'$，
∴$BD = B'D'$。
在$△ ABD$和$△ A'B'D'$中，
$\begin{cases}AB = A'B' \\AD = A'D' \\BD = B'D'\end{cases}$
∴$△ ABD ≌ △ A'B'D'$（SSS），
∴$∠ B = ∠ B'$。
在$△ ABC$和$△ A'B'C'$中，
$\begin{cases}AB = A'B' \\∠ B = ∠ B' \\BC = B'C'\end{cases}$
∴$△ ABC ≌ △ A'B'C'$（SAS）。
---
(2) 解：$△ ABC ≌ △ A'B'C'$，理由如下：
分别延长$AD$到点$E$，使$DE=AD$，连接$BE$；延长$A'D'$到点$E'$，使$D'E'=A'D'$，连接$B'E'$。
∵$AD$是$△ ABC$中$BC$边上的中线，
∴$BD = CD$。
在$△ ADC$和$△ EDB$中，
$\begin{cases}CD = BD \\∠ ADC = ∠ EDB \\AD = ED\end{cases}$
∴$△ ADC ≌ △ EDB$（SAS），
∴$BE = AC$，$∠ DAC = ∠ E$。
同理可证：$△ A'D'C' ≌ △ E'D'B'$，
∴$B'E' = A'C'$，$∠ D'A'C' = ∠ E'$。
∵$AC = A'C'$，
∴$BE = B'E'$。
又∵$AE = 2AD$，$A'E' = 2A'D'$，$AD = A'D'$，
∴$AE = A'E'$。
在$△ ABE$和$△ A'B'E'$中，
$\begin{cases}AB = A'B' \\BE = B'E' \\AE = A'E'\end{cases}$
∴$△ ABE ≌ △ A'B'E'$（SSS），
∴$∠ BAE = ∠ B'A'E'$，$∠ E = ∠ E'$，
∴$∠ DAC = ∠ D'A'C'$，
∴$∠ BAE + ∠ DAC = ∠ B'A'E' + ∠ D'A'C'$，即$∠ BAC = ∠ B'A'C'$。
在$△ ABC$和$△ A'B'C'$中，
$\begin{cases}AB = A'B' \\∠ BAC = ∠ B'A'C' \\AC = A'C'\end{cases}$
∴$△ ABC ≌ △ A'B'C'$（SAS）。
---
(3) $\boldsymbol{①②③⑤}$
∵AD、A'D'分别是$△ ABC$和$△ A'B'C'$的边$BC$、$B'C'$上的中线，
∴$BD = \frac{1}{2}BC$，$B'D' = \frac{1}{2}B'C'$，
又∵$BC = B'C'$，
∴$BD = B'D'$。
在$△ ABD$和$△ A'B'D'$中，
$\begin{cases}AB = A'B' \\AD = A'D' \\BD = B'D'\end{cases}$
∴$△ ABD ≌ △ A'B'D'$（SSS），
∴$∠ B = ∠ B'$。
在$△ ABC$和$△ A'B'C'$中，
$\begin{cases}AB = A'B' \\∠ B = ∠ B' \\BC = B'C'\end{cases}$
∴$△ ABC ≌ △ A'B'C'$（SAS）。
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(2) 解：$△ ABC ≌ △ A'B'C'$，理由如下：
分别延长$AD$到点$E$，使$DE=AD$，连接$BE$；延长$A'D'$到点$E'$，使$D'E'=A'D'$，连接$B'E'$。
∵$AD$是$△ ABC$中$BC$边上的中线，
∴$BD = CD$。
在$△ ADC$和$△ EDB$中，
$\begin{cases}CD = BD \\∠ ADC = ∠ EDB \\AD = ED\end{cases}$
∴$△ ADC ≌ △ EDB$（SAS），
∴$BE = AC$，$∠ DAC = ∠ E$。
同理可证：$△ A'D'C' ≌ △ E'D'B'$，
∴$B'E' = A'C'$，$∠ D'A'C' = ∠ E'$。
∵$AC = A'C'$，
∴$BE = B'E'$。
又∵$AE = 2AD$，$A'E' = 2A'D'$，$AD = A'D'$，
∴$AE = A'E'$。
在$△ ABE$和$△ A'B'E'$中，
$\begin{cases}AB = A'B' \\BE = B'E' \\AE = A'E'\end{cases}$
∴$△ ABE ≌ △ A'B'E'$（SSS），
∴$∠ BAE = ∠ B'A'E'$，$∠ E = ∠ E'$，
∴$∠ DAC = ∠ D'A'C'$，
∴$∠ BAE + ∠ DAC = ∠ B'A'E' + ∠ D'A'C'$，即$∠ BAC = ∠ B'A'C'$。
在$△ ABC$和$△ A'B'C'$中，
$\begin{cases}AB = A'B' \\∠ BAC = ∠ B'A'C' \\AC = A'C'\end{cases}$
∴$△ ABC ≌ △ A'B'C'$（SAS）。
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(3) $\boldsymbol{①②③⑤}$