【分析】
(1) 首先明确勾股四边形的定义：四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方。我们学过的矩形、正方形内角均为直角，相邻两边和连接二者端点的对角线恰好构成直角三角形，满足勾股定理，符合勾股四边形的特征，可直接写出。
(2) ① 要证△BCE是等边三角形，先根据旋转的性质得到对应边相等、旋转角为60°，结合“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”即可证明。
② 要证$DC^2 + BC^2 = AC^2$，先由旋转性质得到$AC=DE$，再结合①的结论得到$BC=CE$、$∠ BCE=60°$，结合已知$∠ DCB=30°$可推出$∠ DCE=90°$，即△DCE是直角三角形，利用勾股定理写出三边关系，再将边做等量代换即可得证。
【解析】
(1) 矩形、正方形（答案合理即可）。
(2) ① 证明：
∵ 将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°后得到△DBE，
∴ $BC = BE$，$∠ CBE = 60°$，
∴ △BCE是等边三角形。
② 证明：
由旋转的性质可得：$AC = DE$。
∵ △BCE是等边三角形，
∴ $BC = CE$，$∠ BCE = 60°$。
∵ $∠ DCB = 30°$，
∴ $∠ DCE = ∠ DCB + ∠ BCE = 30° + 60° = 90°$，
∴ △DCE是直角三角形。
在Rt△DCE中，由勾股定理得：$DC^2 + CE^2 = DE^2$，
将$CE=BC$，$DE=AC$代入上式，可得$DC^2 + BC^2 = AC^2$，
即四边形ABCD是勾股四边形。
【答案】
(1) 矩形、正方形（合理即可）；
(2) ① 证明如上；② 证明如上。
【知识点】
旋转的性质，等边三角形的判定，勾股定理
【点评】
本题属于新定义类几何题，解题核心是准确理解新定义的含义，再结合旋转、等边三角形、勾股定理的相关知识逐步推导，主要考查学生对基础几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7

【分析】
（1）要证△ABC≌△A'B'C'，已知AB=A'B'，BC=B'C'，只需证夹角∠B=∠B'即可。利用中线的性质可得BD=B'D'，结合已知AD=A'D'、AB=A'B'，用SSS证△ABD≌△A'B'D'，即可得∠B=∠B'，再用SAS证大三角形全等。
（2）已知两边及第三边的中线对应相等，采用倍长中线的辅助线方法：延长中线到原来的2倍，构造全等三角形将AC、A'C'分别转化为BE、B'E'，先证△ABE≌△A'B'E'得到角相等，进而推出∠BAC=∠B'A'C'，再用SAS证△ABC≌△A'B'C'。
（3）逐个判断命题：①两角对应相等则第三个角也相等，结合角平分线相等可证三角形全等，是真命题；②一边、该边上的中线和高相等，可先证含高、中线的小直角三角形全等，推出夹角相等，进而证大三角形全等，是真命题；③斜边和斜边上的高相等的直角三角形，可通过HL证小直角三角形全等，推出锐角相等，再用ASA或AAS证大三角形全等，是真命题；④两边和第三边上的高相等时，高可能在三角形内部或外部，存在不全等的情况，是假命题；⑤等腰三角形底边相等，一腰上的中线相等，可推出两腰对应相等，结合（2）的结论可证两三角形全等，是真命题，故正确的为①②③⑤。
【解析】
(1) 证明：
∵AD、A'D'分别是$△ ABC$和$△ A'B'C'$的边$BC$、$B'C'$上的中线，
∴$BD = \frac{1}{2}BC$，$B'D' = \frac{1}{2}B'C'$，
又
∵$BC = B'C'$，
∴$BD = B'D'$。
在$△ ABD$和$△ A'B'D'$中，
$\begin{cases}AB = A'B' \\AD = A'D' \\BD = B'D'\end{cases}$
∴$△ ABD ≌ △ A'B'D'$（SSS），
∴$∠ B = ∠ B'$。
在$△ ABC$和$△ A'B'C'$中，
$\begin{cases}AB = A'B' \\∠ B = ∠ B' \\BC = B'C'\end{cases}$
∴$△ ABC ≌ △ A'B'C'$（SAS）。
(2) 解：$△ ABC ≌ △ A'B'C'$，理由如下：
分别延长$AD$到点$E$，使$DE=AD$，连接$BE$；延长$A'D'$到点$E'$，使$D'E'=A'D'$，连接$B'E'$。
∵$AD$是$△ ABC$中$BC$边上的中线，
∴$BD = CD$。
在$△ ADC$和$△ EDB$中，
$\begin{cases}CD = BD \\∠ ADC = ∠ EDB \\AD = ED\end{cases}$
∴$△ ADC ≌ △ EDB$（SAS），
∴$BE = AC$，$∠ DAC = ∠ E$。
同理可证：$△ A'D'C' ≌ △ E'D'B'$，
∴$B'E' = A'C'$，$∠ D'A'C' = ∠ E'$。
∵$AC = A'C'$，
∴$BE = B'E'$。
又
∵$AE = 2AD$，$A'E' = 2A'D'$，$AD = A'D'$，
∴$AE = A'E'$。
在$△ ABE$和$△ A'B'E'$中，
$\begin{cases}AB = A'B' \\BE = B'E' \\AE = A'E'\end{cases}$
∴$△ ABE ≌ △ A'B'E'$（SSS），
∴$∠ BAE = ∠ B'A'E'$，$∠ E = ∠ E'$，
∴$∠ DAC = ∠ D'A'C'$，
∴$∠ BAE + ∠ DAC = ∠ B'A'E' + ∠ D'A'C'$，即$∠ BAC = ∠ B'A'C'$。
在$△ ABC$和$△ A'B'C'$中，
$\begin{cases}AB = A'B' \\∠ BAC = ∠ B'A'C' \\AC = A'C'\end{cases}$
∴$△ ABC ≌ △ A'B'C'$（SAS）。
(3) 对各命题逐一判断：
①两角相等的两个三角形第三个角也相等，结合第三个角的平分线相等，可通过AAS证明相邻的小三角形全等，得到对应边相等，进而证明两个大三角形全等，是真命题；
②一边和这条边上的中线、高分别相等，可先通过HL证明由高、中线、边的一部分构成的直角三角形全等，得到边与中线的夹角相等，再结合SAS证明由中线、边、另一边构成的三角形全等，得到对应角相等，最终证明两个大三角形全等，是真命题；
③斜边相等的两个直角三角形，斜边上的高相等，可通过HL证明由高、斜边的一部分、直角边构成的直角三角形全等，得到锐角相等，再通过ASA证明两个直角三角形全等，是真命题；
④两边和第三条边上的高分别相等时，高可能在三角形内部（锐角三角形）或外部（钝角三角形），存在满足条件但不全等的三角形，是假命题；
⑤底边相等的两个等腰三角形，一腰上的中线相等，可推出两腰长度对应相等，结合（2）的结论“两边及第三边上的中线对应相等的三角形全等”，可证明两个等腰三角形全等，是真命题。
综上，真命题为$\boldsymbol{①②③⑤}$。
【答案】
(1) △ABC≌△A'B'C'，证明见解析；
(2) △ABC≌△A'B'C'，理由见解析；
(3) $\boldsymbol{①②③⑤}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，三角形中线的性质，命题真假判断
【点评】
本题围绕三角形全等的判定展开，既考查了基础的全等判定定理的应用，也涉及倍长中线这一常用几何辅助线的用法，第三问的命题判断需要全面考虑几何图形的多种可能性，有助于提升逻辑推理能力和思维的严谨性。
【难度系数】
0.6