16. 计算$\sqrt{(-3)^2}+(\sqrt{2})^2-\sqrt[3]{\frac{1}{8}}.$
答案：解：
$\sqrt{(-3)^2} = 3$，
$(\sqrt{2})^2 = 2$，
$\sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2}$，
原式$= 3 + 2 - \frac{1}{2} = \frac{9}{2}$。
$\sqrt{(-3)^2} = 3$，
$(\sqrt{2})^2 = 2$，
$\sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2}$，
原式$= 3 + 2 - \frac{1}{2} = \frac{9}{2}$。
解析：
【分析】
本题属于实数的混合运算类题目，解题思路可拆分三步：第一步回忆算术平方根的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，据此计算第一项$\sqrt{(-3)^2}$的值；第二步根据二次根式的性质$(\sqrt{a})^2=a\ (a≥0)$，计算第二项$(\sqrt{2})^2$的值；第三步根据立方根的定义，找到立方等于$\frac{1}{8}$的数，求出第三项$\sqrt[3]{\frac{1}{8}}$的值；最后将三项的结果代入原式做加减运算即可。
【解析】
解：先分别计算每一项的结果：
$\sqrt{(-3)^2} = |-3| = 3$，
$(\sqrt{2})^2 = 2$，
$\sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2}$，
将上述结果代入原式计算：
原式$= 3 + 2 - \frac{1}{2} = 5 - \frac{1}{2} = \frac{9}{2}$。
【答案】
$\frac{9}{2}$
【知识点】
算术平方根化简，立方根运算，实数混合运算
【点评】
本题是实数运算的基础题，主要考查根式运算性质的掌握情况，计算时注意区分算术平方根和立方根的运算规则，避免因混淆性质出错，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.9
本题属于实数的混合运算类题目，解题思路可拆分三步：第一步回忆算术平方根的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，据此计算第一项$\sqrt{(-3)^2}$的值；第二步根据二次根式的性质$(\sqrt{a})^2=a\ (a≥0)$，计算第二项$(\sqrt{2})^2$的值；第三步根据立方根的定义，找到立方等于$\frac{1}{8}$的数，求出第三项$\sqrt[3]{\frac{1}{8}}$的值；最后将三项的结果代入原式做加减运算即可。
【解析】
解：先分别计算每一项的结果：
$\sqrt{(-3)^2} = |-3| = 3$，
$(\sqrt{2})^2 = 2$，
$\sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2}$，
将上述结果代入原式计算：
原式$= 3 + 2 - \frac{1}{2} = 5 - \frac{1}{2} = \frac{9}{2}$。
【答案】
$\frac{9}{2}$
【知识点】
算术平方根化简，立方根运算，实数混合运算
【点评】
本题是实数运算的基础题，主要考查根式运算性质的掌握情况，计算时注意区分算术平方根和立方根的运算规则，避免因混淆性质出错，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.9
17. 如图,用$(-1,-1)$表示点A的位置,用$(3,0)$表示点B的位置.
（1）画出平面直角坐标系；
（2）点E的坐标为________；
（3）$△ CDE$的面积为________。
（1）画出平面直角坐标系；
（2）点E的坐标为________；
（3）$△ CDE$的面积为________。
答案：解：
（1）根据点$A(-1,-1)$和点$B(3,0)$的位置，将点$A$向右平移1个单位、向上平移1个单位得到坐标原点$O$，以$O$为原点，水平向右为$x$轴正方向，竖直向上为$y$轴正方向，建立平面直角坐标系，图略。
（2）点$E$的坐标为$\boldsymbol{(3,2)}$；
（3）用割补法计算$△ CDE$的面积：
$\begin{aligned}S_{△ CDE}&=2×2 - \frac{1}{2}×1×2 - \frac{1}{2}×1×1 - \frac{1}{2}×1×2\\&=4-1-0.5-1\\&=\frac{3}{2}\end{aligned}$
故$△ CDE$的面积为$\boldsymbol{\frac{3}{2}}$。
（1）根据点$A(-1,-1)$和点$B(3,0)$的位置，将点$A$向右平移1个单位、向上平移1个单位得到坐标原点$O$，以$O$为原点，水平向右为$x$轴正方向，竖直向上为$y$轴正方向，建立平面直角坐标系，图略。
（2）点$E$的坐标为$\boldsymbol{(3,2)}$；
（3）用割补法计算$△ CDE$的面积：
$\begin{aligned}S_{△ CDE}&=2×2 - \frac{1}{2}×1×2 - \frac{1}{2}×1×1 - \frac{1}{2}×1×2\\&=4-1-0.5-1\\&=\frac{3}{2}\end{aligned}$
故$△ CDE$的面积为$\boldsymbol{\frac{3}{2}}$。
解析：
【分析】
1. 建立平面直角坐标系：已知点A坐标为$(-1,-1)$，可知原点在点A向右平移1个单位、向上平移1个单位的位置，确定原点后，以水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，规定每个小方格边长为1个单位长度，即可完成坐标系建立。
2. 求点E坐标：坐标系建立后，根据点E的横向、纵向位置数对应格数，即可得到它的横、纵坐标。
3. 求$△ CDE$的面积：网格中斜置的三角形适合用割补法求解，先把三角形框在一个矩形内，用矩形面积减去周围三个直角三角形的面积，就能得到$△ CDE$的面积。
【解析】
（1）确定坐标原点：将点$A(-1,-1)$向右平移1个单位、向上平移1个单位，得到的点即为原点$O$；再以$O$为原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，每个小正方形边长为1个单位长度，建立平面直角坐标系（图略）。
（2）观察建好的坐标系，点E的横坐标为3，纵坐标为2，因此点E的坐标为$(3,2)$。
（3）用割补法计算$△ CDE$的面积：
先作包含$△ CDE$的边长为2的正方形，正方形面积为$2×2=4$；
再减去周围三个直角三角形的面积：
直角边为1和2的三角形面积：$\frac{1}{2}×1×2=1$，
直角边为1和1的三角形面积：$\frac{1}{2}×1×1=0.5$，
另一个直角边为1和2的三角形面积：$\frac{1}{2}×1×2=1$，
因此$S_{△ CDE}=4-1-0.5-1=\frac{3}{2}$。
【答案】
（1）平面直角坐标系见解析（图略）；（2）$\boldsymbol{(3,2)}$；（3）$\boldsymbol{\frac{3}{2}}$
【知识点】
平面直角坐标系建立；点的坐标；割补法求面积
【点评】
本题是坐标系基础应用题，解题关键是根据已知点坐标正确建立坐标系，熟练运用割补法计算网格中不规则图形的面积，侧重考查基础运算和识图能力。
【难度系数】
0.8
1. 建立平面直角坐标系：已知点A坐标为$(-1,-1)$，可知原点在点A向右平移1个单位、向上平移1个单位的位置，确定原点后，以水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，规定每个小方格边长为1个单位长度，即可完成坐标系建立。
2. 求点E坐标：坐标系建立后，根据点E的横向、纵向位置数对应格数，即可得到它的横、纵坐标。
3. 求$△ CDE$的面积：网格中斜置的三角形适合用割补法求解，先把三角形框在一个矩形内，用矩形面积减去周围三个直角三角形的面积，就能得到$△ CDE$的面积。
【解析】
（1）确定坐标原点：将点$A(-1,-1)$向右平移1个单位、向上平移1个单位，得到的点即为原点$O$；再以$O$为原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，每个小正方形边长为1个单位长度，建立平面直角坐标系（图略）。
（2）观察建好的坐标系，点E的横坐标为3，纵坐标为2，因此点E的坐标为$(3,2)$。
（3）用割补法计算$△ CDE$的面积：
先作包含$△ CDE$的边长为2的正方形，正方形面积为$2×2=4$；
再减去周围三个直角三角形的面积：
直角边为1和2的三角形面积：$\frac{1}{2}×1×2=1$，
直角边为1和1的三角形面积：$\frac{1}{2}×1×1=0.5$，
另一个直角边为1和2的三角形面积：$\frac{1}{2}×1×2=1$，
因此$S_{△ CDE}=4-1-0.5-1=\frac{3}{2}$。
【答案】
（1）平面直角坐标系见解析（图略）；（2）$\boldsymbol{(3,2)}$；（3）$\boldsymbol{\frac{3}{2}}$
【知识点】
平面直角坐标系建立；点的坐标；割补法求面积
【点评】
本题是坐标系基础应用题，解题关键是根据已知点坐标正确建立坐标系，熟练运用割补法计算网格中不规则图形的面积，侧重考查基础运算和识图能力。
【难度系数】
0.8
18. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$△ CAP$和$△ CBQ$都是等边三角形，$BQ$，$CP$相交于点$H$. 求证：$BQ⊥ CP$.
答案：证明：
∵ △CAP是等边三角形，
∴ ∠ACP = 60°。
∵ ∠ACB = 90°，
∴ ∠BCP = ∠ACB - ∠ACP = 90° - 60° = 30°。
∵ △CBQ是等边三角形，
∴ ∠CBQ = 60°。
在△BCH中，
∠BHC = 180° - ∠BCP - ∠CBQ = 180° - 30° - 60° = 90°，
∴ BQ⊥CP。
∵ △CAP是等边三角形，
∴ ∠ACP = 60°。
∵ ∠ACB = 90°，
∴ ∠BCP = ∠ACB - ∠ACP = 90° - 60° = 30°。
∵ △CBQ是等边三角形，
∴ ∠CBQ = 60°。
在△BCH中，
∠BHC = 180° - ∠BCP - ∠CBQ = 180° - 30° - 60° = 90°，
∴ BQ⊥CP。
解析：
【分析】
要证明BQ⊥CP，只需证明两条直线的夹角∠BHC=90°即可。首先利用等边三角形内角为60°的性质，可得到∠ACP=60°、∠CBQ=60°；再结合已知∠ACB=90°，可计算出∠BCP的度数；最后在△BCH中利用三角形内角和为180°，即可求出∠BHC的度数为90°，从而证明垂直。
【解析】
证明：
∵ △CAP是等边三角形，
∴ ∠ACP = 60°。
∵ ∠ACB = 90°，
∴ ∠BCP = ∠ACB - ∠ACP = 90° - 60° = 30°。
∵ △CBQ是等边三角形，
∴ ∠CBQ = 60°。
在△BCH中，根据三角形内角和为180°可得：
∠BHC = 180° - ∠BCP - ∠CBQ = 180° - 30° - 60° = 90°，
∴ BQ⊥CP。
【答案】
BQ⊥CP
【知识点】
等边三角形的性质，三角形内角和定理，垂直的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题的核心是将垂直证明转化为夹角的角度计算问题，通过等边三角形的性质得到已知角度，结合三角形内角和定理即可快速求解，侧重对基础性质应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
要证明BQ⊥CP，只需证明两条直线的夹角∠BHC=90°即可。首先利用等边三角形内角为60°的性质，可得到∠ACP=60°、∠CBQ=60°；再结合已知∠ACB=90°，可计算出∠BCP的度数；最后在△BCH中利用三角形内角和为180°，即可求出∠BHC的度数为90°，从而证明垂直。
【解析】
证明：
∵ △CAP是等边三角形，
∴ ∠ACP = 60°。
∵ ∠ACB = 90°，
∴ ∠BCP = ∠ACB - ∠ACP = 90° - 60° = 30°。
∵ △CBQ是等边三角形，
∴ ∠CBQ = 60°。
在△BCH中，根据三角形内角和为180°可得：
∠BHC = 180° - ∠BCP - ∠CBQ = 180° - 30° - 60° = 90°，
∴ BQ⊥CP。
【答案】
BQ⊥CP
【知识点】
等边三角形的性质，三角形内角和定理，垂直的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题的核心是将垂直证明转化为夹角的角度计算问题，通过等边三角形的性质得到已知角度，结合三角形内角和定理即可快速求解，侧重对基础性质应用能力的考查。
【难度系数】
0.8