【分析】
(1) 要证△EAF≌△ADB，已知AE=AD，需寻找两组对应角相等。首先由△ABC为等腰直角三角形得∠B=∠CAB=45°，结合EF⊥AB可推出∠AFE=45°，即得∠AFE=∠B；再通过角的和差关系推导∠EAF和∠ADB均等于135°-∠DAB，得到第二组对应角相等，即可用AAS判定全等。
(2) 要证EF=DF+2AG，先由(1)的全等结论得EF=AB、AF=BD，结合AC=BC推出CF=CD，可得△CFD是等腰直角三角形，即DF=√2 CF；再由△AFG是等腰直角三角形得AF=√2 AG，即2AG=√2 AF，将DF+2AG合并为√2(AF+CF)=√2 AC，结合等腰直角△ABC中AB=√2 AC，即可完成证明。
(3) 先由△AED是等腰直角三角形、ED=10求出AD²=50；再设AG=x，用x分别表示出AC、CD的长度，在Rt△ACD中利用勾股定理列方程求解，即可得到AG的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ ∠C=90°，AC=BC，
∴ ∠CAB=∠B=45°，
∵ EF⊥AB，
∴ ∠AGF=90°，
∴ ∠AFE=90°-∠CAB=45°，即∠AFE=∠B，
∵ AE⊥AD，
∴ ∠EAD=90°，
∴ ∠EAF = ∠EAD + ∠CAB - ∠DAB = 90°+45°-∠DAB=135°-∠DAB，
又在△ABD中，∠ADB=180°-∠B-∠DAB=180°-45°-∠DAB=135°-∠DAB，
∴ ∠EAF=∠ADB，
在△EAF和△ADB中：
$\{\begin{array}{l}∠AFE=∠B \\∠EAF=∠ADB \\AE=AD\end{array} $
∴ △EAF≌△ADB(AAS)。
(2) 证明：
由(1)得△EAF≌△ADB，
∴ EF=AB，AF=BD，
∵ AC=BC，即AF+CF=BD+CD，
∴ CF=CD，
∵ ∠C=90°，
∴ △CFD是等腰直角三角形，
由勾股定理得：$DF=\sqrt{CF^2+CD^2}=\sqrt{2}CF$，
∵ EF⊥AB，∠FAG=45°，
∴ △AFG是等腰直角三角形，
∴ AG=FG，由勾股定理得：$AF=\sqrt{AG^2+FG^2}=\sqrt{2}AG$，即$2AG=\sqrt{2}AF$，
∴ $DF+2AG=\sqrt{2}CF+\sqrt{2}AF=\sqrt{2}(CF+AF)=\sqrt{2}AC$，
又
∵ △ABC是等腰直角三角形，由勾股定理得$AB=\sqrt{2}AC$，
结合EF=AB，可得$EF=\sqrt{2}AC=DF+2AG$。
(3) 解：
∵ AE⊥AD，AE=AD，
∴ △AED是等腰直角三角形，
由勾股定理得：$ED^2=AE^2+AD^2=2AD^2$，
∵ ED=10，
∴ $2AD^2=100$，即$AD^2=50$。
设$AG=x$，由题意$AB=4AG=4x$，
∵ △ABC是等腰直角三角形，$AB=\sqrt{2}AC$，
∴ $AC=\frac{4x}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}x$，
由△AFG是等腰直角三角形，得$AF=\sqrt{2}AG=\sqrt{2}x$，
∴ $CF=AC-AF=2\sqrt{2}x-\sqrt{2}x=\sqrt{2}x$，
又CF=CD，
∴ $CD=\sqrt{2}x$，
在Rt△ACD中，由勾股定理：$AC^2+CD^2=AD^2$，
代入得：$(2\sqrt{2}x)^2+(\sqrt{2}x)^2=50$，
即$8x^2+2x^2=50$，解得$x^2=5$，$x=\sqrt{5}$（长度为正）。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) 证明见解析；(3) $\boldsymbol{\sqrt{5}}$
【知识点】
全等三角形判定与性质，等腰直角三角形性质，勾股定理
【点评】
本题是几何综合题，三个小问层层递进，既考查了基础的全等证明，又考查了线段关系的转化和方程思想在几何计算中的应用，能有效锻炼逻辑推理能力和运算能力。
【难度系数】
0.6

【分析】
(1) 要使$∠ APD=∠ BPD$，说明直线CD是$∠ APB$的角平分线。我们可以利用轴对称的性质，作点A关于直线CD的对称点$A'$，此时CD平分$∠ APA'$，即$∠ APD=∠ A'PD$，因此只需让$∠ A'PD=∠ BPD$，也就是点B、$A'$、P三点共线即可，连接$BA'$与CD的交点就是所求点P。
(2) 要使$∠ APD=2∠ BPD$，同样先作点A关于CD的对称点$A'$，可得$∠ APD=∠ A'PD$，因此只需满足$∠ A'PD=2∠ BPD$即可。根据三角形外角性质，若$PA'=PB$，则$∠ PA'B=∠ PBA'$，此时$∠ A'PD$作为$△ PA'B$的外角，等于$∠ PA'B+∠ PBA'=2∠ BPD$，符合要求。而到线段两端点距离相等的点在该线段的垂直平分线上，因此作$BA'$的垂直平分线，与CD的交点就是所求点P。
【解析】
(1) 作图步骤：
① 用尺规作点A关于直线CD的对称点$A'$；
② 用直尺作直线$BA'$，交直线CD于点P。
由轴对称性质得$∠ APD=∠ A'PD$，又B、$A'$、P共线，$∠ A'PD=∠ BPD$，因此$∠ APD=∠ BPD$，点P符合要求。
(2) 作图步骤：
① 用尺规作点A关于直线CD的对称点$A'$；
② 用尺规作线段$BA'$的垂直平分线，交直线CD于点P。
证明：由线段垂直平分线的性质得$PA'=PB$，因此$∠ PA'B=∠ PBA'$；根据三角形外角的性质，$∠ A'PD=∠ PA'B+∠ PBA'=2∠ BPD$；再结合点A、$A'$关于CD对称，可得$∠ APD=∠ A'PD$，因此$∠ APD=2∠ BPD$，点P符合要求。
【答案】
(1) 作点A关于CD的对称点$A'$，连接$BA'$交CD于点P，点P即为所求；
(2) 作点A关于CD的对称点$A'$，作线段$BA'$的垂直平分线交CD于点P，点P即为所求。
【知识点】
轴对称的性质；线段垂直平分线的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是尺规作图的综合应用题型，解题核心是将角度的等量、倍数关系转化为已学的几何性质，进而推导得出作图步骤，考查学生对基础几何性质的掌握程度和问题转化能力。
【难度系数】
0.6