在△OAB和△OCD中，OA＝OD，OB＝OC，OA⊥OD，OB⊥OC，E是AB的中点，连接OE，探究下列问题：
【初步探究】
（1）如图①，当△OAB与△OCD无重叠时：
① 若OA＝2，OB＝4，则OE的范围是.
② 求证：OE＝$\frac{1}{2}$CD.
【模型再研】
（2）如图②，当△OAB与△OCD有重叠时，写出OE与CD所满足的位置关系，并说明理由.
【结论运用】
（3）已知直线OE与直线CD相交于点F，连接AF，若OA＝2，直接写出AF的取值范围.
【初步探究】
（1）如图①，当△OAB与△OCD无重叠时：
① 若OA＝2，OB＝4，则OE的范围是.
② 求证：OE＝$\frac{1}{2}$CD.
【模型再研】
（2）如图②，当△OAB与△OCD有重叠时，写出OE与CD所满足的位置关系，并说明理由.
【结论运用】
（3）已知直线OE与直线CD相交于点F，连接AF，若OA＝2，直接写出AF的取值范围.
答案：解：
(1)① 在△OAB中，由三角形三边关系得：
$OB-OA ＜ AB ＜ OA+OB$，代入$OA=2$，$OB=4$，得$2 ＜ AB ＜ 6$。
延长$OE$到点$M$，使$EM=OE$，连接$AM$。
∵$E$是$AB$中点，∴$AE=BE$，
又∵$∠AEM=∠BEO$，$EM=EO$，∴$△ AEM ≌ △ BEO(\mathrm{SAS})$，
∴$AM=OB=4$。
在$△ OAM$中，$AM-OA ＜ OM ＜ AM+OA$，即$2 ＜ 2OE ＜ 6$，
解得$1 ＜ OE ＜ 3$。
故答案为：$1＜OE＜3$。
② 证明：延长$OE$到点$M$，使$EM=OE$，连接$AM$。
∵$E$是$AB$的中点，∴$AE=BE$。
在$△ AEM$和$△ BEO$中，
$\begin{cases}AE=BE \\∠AEM=∠BEO \\EM=EO\end{cases}$
∴$△ AEM ≌ △ BEO(\mathrm{SAS})$，
∴$AM=OB$，$∠MAE=∠OBE$，
∴$AM // OB$，
∴$∠OAM + ∠AOB = 180°$。
∵$OA ⊥ OD$，$OB ⊥ OC$，
∴$∠AOD=∠BOC=90°$，
∴$∠COD + ∠AOB = 360° - ∠AOD - ∠BOC = 180°$，
∴$∠OAM=∠COD$。
又∵$OB=OC$，∴$AM=OC$，
在$△ OAM$和$△ DOC$中，
$\begin{cases}OA=OD \\∠OAM=∠COD \\AM=OC\end{cases}$
∴$△ OAM ≌ △ DOC(\mathrm{SAS})$，
∴$OM=CD$，
∵$OM=2OE$，
∴$2OE=CD$，即$OE=\frac{1}{2}CD$。
(2) $OE ⊥ CD$，理由如下：
延长$OE$到点$M$，使$EM=OE$，连接$AM$。
∵$E$是$AB$的中点，∴$AE=BE$。
在$△ AEM$和$△ BEO$中，
$\begin{cases}AE=BE \\∠AEM=∠BEO \\EM=EO\end{cases}$
∴$△ AEM ≌ △ BEO(\mathrm{SAS})$，
∴$AM=OB$，$∠MAE=∠OBE$，
∴$AM // OB$，
∴$∠OAM = 180° - ∠AOB$。
∵$OA ⊥ OD$，$OB ⊥ OC$，
∴$∠AOD=∠BOC=90°$，
∴$∠COD = ∠AOD + ∠BOC - ∠AOB = 180° - ∠AOB$，
∴$∠OAM=∠COD$。
又∵$OB=OC$，∴$AM=OC$，
在$△ OAM$和$△ DOC$中，
$\begin{cases}OA=OD \\∠OAM=∠COD \\AM=OC\end{cases}$
∴$△ OAM ≌ △ DOC(\mathrm{SAS})$，
∴$∠AOM=∠D$。
∵$∠AOD=90°$，
∴$∠D + ∠DFO = ∠AOM + ∠DOF = 90°$，
∴$∠DFO=90°$，
∴$OE ⊥ CD$。
(3) $AF$的取值范围是$\sqrt{5}-1 ≤ AF ≤ \sqrt{5}+1$。
(1)① 在△OAB中，由三角形三边关系得：
$OB-OA ＜ AB ＜ OA+OB$，代入$OA=2$，$OB=4$，得$2 ＜ AB ＜ 6$。
延长$OE$到点$M$，使$EM=OE$，连接$AM$。
∵$E$是$AB$中点，∴$AE=BE$，
又∵$∠AEM=∠BEO$，$EM=EO$，∴$△ AEM ≌ △ BEO(\mathrm{SAS})$，
∴$AM=OB=4$。
在$△ OAM$中，$AM-OA ＜ OM ＜ AM+OA$，即$2 ＜ 2OE ＜ 6$，
解得$1 ＜ OE ＜ 3$。
故答案为：$1＜OE＜3$。
② 证明：延长$OE$到点$M$，使$EM=OE$，连接$AM$。
∵$E$是$AB$的中点，∴$AE=BE$。
在$△ AEM$和$△ BEO$中，
$\begin{cases}AE=BE \\∠AEM=∠BEO \\EM=EO\end{cases}$
∴$△ AEM ≌ △ BEO(\mathrm{SAS})$，
∴$AM=OB$，$∠MAE=∠OBE$，
∴$AM // OB$，
∴$∠OAM + ∠AOB = 180°$。
∵$OA ⊥ OD$，$OB ⊥ OC$，
∴$∠AOD=∠BOC=90°$，
∴$∠COD + ∠AOB = 360° - ∠AOD - ∠BOC = 180°$，
∴$∠OAM=∠COD$。
又∵$OB=OC$，∴$AM=OC$，
在$△ OAM$和$△ DOC$中，
$\begin{cases}OA=OD \\∠OAM=∠COD \\AM=OC\end{cases}$
∴$△ OAM ≌ △ DOC(\mathrm{SAS})$，
∴$OM=CD$，
∵$OM=2OE$，
∴$2OE=CD$，即$OE=\frac{1}{2}CD$。
(2) $OE ⊥ CD$，理由如下：
延长$OE$到点$M$，使$EM=OE$，连接$AM$。
∵$E$是$AB$的中点，∴$AE=BE$。
在$△ AEM$和$△ BEO$中，
$\begin{cases}AE=BE \\∠AEM=∠BEO \\EM=EO\end{cases}$
∴$△ AEM ≌ △ BEO(\mathrm{SAS})$，
∴$AM=OB$，$∠MAE=∠OBE$，
∴$AM // OB$，
∴$∠OAM = 180° - ∠AOB$。
∵$OA ⊥ OD$，$OB ⊥ OC$，
∴$∠AOD=∠BOC=90°$，
∴$∠COD = ∠AOD + ∠BOC - ∠AOB = 180° - ∠AOB$，
∴$∠OAM=∠COD$。
又∵$OB=OC$，∴$AM=OC$，
在$△ OAM$和$△ DOC$中，
$\begin{cases}OA=OD \\∠OAM=∠COD \\AM=OC\end{cases}$
∴$△ OAM ≌ △ DOC(\mathrm{SAS})$，
∴$∠AOM=∠D$。
∵$∠AOD=90°$，
∴$∠D + ∠DFO = ∠AOM + ∠DOF = 90°$，
∴$∠DFO=90°$，
∴$OE ⊥ CD$。
(3) $AF$的取值范围是$\sqrt{5}-1 ≤ AF ≤ \sqrt{5}+1$。