在△OAB和△OCD中，OA＝OD，OB＝OC，OA⊥OD，OB⊥OC，E是AB的中点，连接OE，探究下列问题：
【初步探究】
（1）如图①，当△OAB与△OCD无重叠时：
① 若OA＝2，OB＝4，则OE的范围是.
② 求证：OE＝$\frac{1}{2}$CD.
【模型再研】
（2）如图②，当△OAB与△OCD有重叠时，写出OE与CD所满足的位置关系，并说明理由.
【结论运用】
（3）已知直线OE与直线CD相交于点F，连接AF，若OA＝2，直接写出AF的取值范围.
【初步探究】
（1）如图①，当△OAB与△OCD无重叠时：
① 若OA＝2，OB＝4，则OE的范围是.
② 求证：OE＝$\frac{1}{2}$CD.
【模型再研】
（2）如图②，当△OAB与△OCD有重叠时，写出OE与CD所满足的位置关系，并说明理由.
【结论运用】
（3）已知直线OE与直线CD相交于点F，连接AF，若OA＝2，直接写出AF的取值范围.
答案：解：
(1)① 在△OAB中，由三角形三边关系得：
$OB-OA ＜ AB ＜ OA+OB$，代入$OA=2$，$OB=4$，得$2 ＜ AB ＜ 6$。
延长$OE$到点$M$，使$EM=OE$，连接$AM$。
∵$E$是$AB$中点，∴$AE=BE$，
又∵$∠AEM=∠BEO$，$EM=EO$，∴$△ AEM ≌ △ BEO(\mathrm{SAS})$，
∴$AM=OB=4$。
在$△ OAM$中，$AM-OA ＜ OM ＜ AM+OA$，即$2 ＜ 2OE ＜ 6$，
解得$1 ＜ OE ＜ 3$。
故答案为：$1＜OE＜3$。
② 证明：延长$OE$到点$M$，使$EM=OE$，连接$AM$。
∵$E$是$AB$的中点，∴$AE=BE$。
在$△ AEM$和$△ BEO$中，
$\begin{cases}AE=BE \\∠AEM=∠BEO \\EM=EO\end{cases}$
∴$△ AEM ≌ △ BEO(\mathrm{SAS})$，
∴$AM=OB$，$∠MAE=∠OBE$，
∴$AM // OB$，
∴$∠OAM + ∠AOB = 180°$。
∵$OA ⊥ OD$，$OB ⊥ OC$，
∴$∠AOD=∠BOC=90°$，
∴$∠COD + ∠AOB = 360° - ∠AOD - ∠BOC = 180°$，
∴$∠OAM=∠COD$。
又∵$OB=OC$，∴$AM=OC$，
在$△ OAM$和$△ DOC$中，
$\begin{cases}OA=OD \\∠OAM=∠COD \\AM=OC\end{cases}$
∴$△ OAM ≌ △ DOC(\mathrm{SAS})$，
∴$OM=CD$，
∵$OM=2OE$，
∴$2OE=CD$，即$OE=\frac{1}{2}CD$。
(2) $OE ⊥ CD$，理由如下：
延长$OE$到点$M$，使$EM=OE$，连接$AM$。
∵$E$是$AB$的中点，∴$AE=BE$。
在$△ AEM$和$△ BEO$中，
$\begin{cases}AE=BE \\∠AEM=∠BEO \\EM=EO\end{cases}$
∴$△ AEM ≌ △ BEO(\mathrm{SAS})$，
∴$AM=OB$，$∠MAE=∠OBE$，
∴$AM // OB$，
∴$∠OAM = 180° - ∠AOB$。
∵$OA ⊥ OD$，$OB ⊥ OC$，
∴$∠AOD=∠BOC=90°$，
∴$∠COD = ∠AOD + ∠BOC - ∠AOB = 180° - ∠AOB$，
∴$∠OAM=∠COD$。
又∵$OB=OC$，∴$AM=OC$，
在$△ OAM$和$△ DOC$中，
$\begin{cases}OA=OD \\∠OAM=∠COD \\AM=OC\end{cases}$
∴$△ OAM ≌ △ DOC(\mathrm{SAS})$，
∴$∠AOM=∠D$。
∵$∠AOD=90°$，
∴$∠D + ∠DFO = ∠AOM + ∠DOF = 90°$，
∴$∠DFO=90°$，
∴$OE ⊥ CD$。
(3) $AF$的取值范围是$\sqrt{5}-1 ≤ AF ≤ \sqrt{5}+1$。
(1)① 在△OAB中，由三角形三边关系得：
$OB-OA ＜ AB ＜ OA+OB$，代入$OA=2$，$OB=4$，得$2 ＜ AB ＜ 6$。
延长$OE$到点$M$，使$EM=OE$，连接$AM$。
∵$E$是$AB$中点，∴$AE=BE$，
又∵$∠AEM=∠BEO$，$EM=EO$，∴$△ AEM ≌ △ BEO(\mathrm{SAS})$，
∴$AM=OB=4$。
在$△ OAM$中，$AM-OA ＜ OM ＜ AM+OA$，即$2 ＜ 2OE ＜ 6$，
解得$1 ＜ OE ＜ 3$。
故答案为：$1＜OE＜3$。
② 证明：延长$OE$到点$M$，使$EM=OE$，连接$AM$。
∵$E$是$AB$的中点，∴$AE=BE$。
在$△ AEM$和$△ BEO$中，
$\begin{cases}AE=BE \\∠AEM=∠BEO \\EM=EO\end{cases}$
∴$△ AEM ≌ △ BEO(\mathrm{SAS})$，
∴$AM=OB$，$∠MAE=∠OBE$，
∴$AM // OB$，
∴$∠OAM + ∠AOB = 180°$。
∵$OA ⊥ OD$，$OB ⊥ OC$，
∴$∠AOD=∠BOC=90°$，
∴$∠COD + ∠AOB = 360° - ∠AOD - ∠BOC = 180°$，
∴$∠OAM=∠COD$。
又∵$OB=OC$，∴$AM=OC$，
在$△ OAM$和$△ DOC$中，
$\begin{cases}OA=OD \\∠OAM=∠COD \\AM=OC\end{cases}$
∴$△ OAM ≌ △ DOC(\mathrm{SAS})$，
∴$OM=CD$，
∵$OM=2OE$，
∴$2OE=CD$，即$OE=\frac{1}{2}CD$。
(2) $OE ⊥ CD$，理由如下：
延长$OE$到点$M$，使$EM=OE$，连接$AM$。
∵$E$是$AB$的中点，∴$AE=BE$。
在$△ AEM$和$△ BEO$中，
$\begin{cases}AE=BE \\∠AEM=∠BEO \\EM=EO\end{cases}$
∴$△ AEM ≌ △ BEO(\mathrm{SAS})$，
∴$AM=OB$，$∠MAE=∠OBE$，
∴$AM // OB$，
∴$∠OAM = 180° - ∠AOB$。
∵$OA ⊥ OD$，$OB ⊥ OC$，
∴$∠AOD=∠BOC=90°$，
∴$∠COD = ∠AOD + ∠BOC - ∠AOB = 180° - ∠AOB$，
∴$∠OAM=∠COD$。
又∵$OB=OC$，∴$AM=OC$，
在$△ OAM$和$△ DOC$中，
$\begin{cases}OA=OD \\∠OAM=∠COD \\AM=OC\end{cases}$
∴$△ OAM ≌ △ DOC(\mathrm{SAS})$，
∴$∠AOM=∠D$。
∵$∠AOD=90°$，
∴$∠D + ∠DFO = ∠AOM + ∠DOF = 90°$，
∴$∠DFO=90°$，
∴$OE ⊥ CD$。
(3) $AF$的取值范围是$\sqrt{5}-1 ≤ AF ≤ \sqrt{5}+1$。
解析：
【分析】
本题是三角形综合题，解题核心是利用“倍长中线”构造全等三角形转化线段和角的关系。
(1)①先利用三角形三边关系得到AB的取值范围，再通过倍长OE构造全等三角形，将OE转化为OM的一半，结合△OAM的三边关系即可求出OE的范围；
(1)②同样采用倍长中线构造△AEM≌△BEO，得到AM=OC、∠OAM和∠AOB互补，再结合已知垂直条件推出∠OAM=∠COD，证明△OAM≌△DOC，得到OM=CD，即可证得OE=$\frac{1}{2}$CD；
(2)依旧使用倍长中线构造全等，得到∠AOM=∠D，再利用角的互余关系推出∠DFO=90°，即可得到OE与CD的垂直关系；
(3)由OE⊥CD可知∠OFD=90°，因此点F的轨迹是以OD为直径的圆，再根据点到圆上点的距离最值规律，即可求出AF的取值范围。
【解析】
(1)① 在△OAB中，由三角形三边关系得：
$OB-OA ＜ AB ＜ OA+OB$，代入$OA=2$，$OB=4$，得$2 ＜ AB ＜ 6$。
延长$OE$到点$M$，使$EM=OE$，连接$AM$。
∵$E$是$AB$中点，
∴$AE=BE$，
又
∵$∠AEM=∠BEO$，$EM=EO$，
∴$△ AEM ≌ △ BEO(\mathrm{SAS})$，
∴$AM=OB=4$。
在$△ OAM$中，$AM-OA ＜ OM ＜ AM+OA$，即$2 ＜ 2OE ＜ 6$，
解得$1 ＜ OE ＜ 3$。
② 证明：延长$OE$到点$M$，使$EM=OE$，连接$AM$。
∵$E$是$AB$的中点，
∴$AE=BE$。
在$△ AEM$和$△ BEO$中，
$\begin{cases}AE=BE \\∠AEM=∠BEO \\EM=EO\end{cases}$
∴$△ AEM ≌ △ BEO(\mathrm{SAS})$，
∴$AM=OB$，$∠MAE=∠OBE$，
∴$AM // OB$，
∴$∠OAM + ∠AOB = 180°$。
∵$OA ⊥ OD$，$OB ⊥ OC$，
∴$∠AOD=∠BOC=90°$，
∴$∠COD + ∠AOB = 360° - ∠AOD - ∠BOC = 180°$，
∴$∠OAM=∠COD$。
又
∵$OB=OC$，
∴$AM=OC$，
在$△ OAM$和$△ DOC$中，
$\begin{cases}OA=OD \\∠OAM=∠COD \\AM=OC\end{cases}$
∴$△ OAM ≌ △ DOC(\mathrm{SAS})$，
∴$OM=CD$，
∵$OM=2OE$，
∴$2OE=CD$，即$OE=\frac{1}{2}CD$。
(2) $OE ⊥ CD$，理由如下：
延长$OE$到点$M$，使$EM=OE$，连接$AM$。
∵$E$是$AB$的中点，
∴$AE=BE$。
在$△ AEM$和$△ BEO$中，
$\begin{cases}AE=BE \\∠AEM=∠BEO \\EM=EO\end{cases}$
∴$△ AEM ≌ △ BEO(\mathrm{SAS})$，
∴$AM=OB$，$∠MAE=∠OBE$，
∴$AM // OB$，
∴$∠OAM = 180° - ∠AOB$。
∵$OA ⊥ OD$，$OB ⊥ OC$，
∴$∠AOD=∠BOC=90°$，
∴$∠COD = ∠AOD + ∠BOC - ∠AOB = 180° - ∠AOB$，
∴$∠OAM=∠COD$。
又
∵$OB=OC$，
∴$AM=OC$，
在$△ OAM$和$△ DOC$中，
$\begin{cases}OA=OD \\∠OAM=∠COD \\AM=OC\end{cases}$
∴$△ OAM ≌ △ DOC(\mathrm{SAS})$，
∴$∠AOM=∠D$。
∵$∠AOD=90°$，
∴$∠D + ∠DFO = ∠AOM + ∠DOF = 90°$，
∴$∠DFO=90°$，
∴$OE ⊥ CD$。
(3) 由$OE⊥CD$可得$∠OFD=90°$，因此点$F$在以$OD$为直径的圆上运动，已知$OA=OD=2$，$OA⊥OD$，设$OD$中点为$P$，则$OP=1$，$AP=\sqrt{OA^2+OP^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，根据点到圆上点的距离最值规律，$AF$最小值为$AP-$半径$=\sqrt{5}-1$，最大值为$AP+$半径$=\sqrt{5}+1$。
【答案】
(1)①$\boldsymbol{1＜OE＜3}$；②证明见解析；(2)$\boldsymbol{OE⊥CD}$，理由见解析；(3)$\boldsymbol{\sqrt{5}-1 ≤ AF ≤ \sqrt{5}+1}$
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 倍长中线辅助线
3. 三角形三边关系
【点评】
本题是几何综合探究题，层层递进设置问题，核心考察全等三角形的构造与应用，重点引导学生掌握“倍长中线”这一处理中点问题的常用辅助线方法，既涉及基础的三角形三边关系应用，也包含线段关系、位置关系的证明及动点最值求解，对逻辑推理能力和几何辅助线构造能力有较高要求。
【难度系数】
0.3
本题是三角形综合题，解题核心是利用“倍长中线”构造全等三角形转化线段和角的关系。
(1)①先利用三角形三边关系得到AB的取值范围，再通过倍长OE构造全等三角形，将OE转化为OM的一半，结合△OAM的三边关系即可求出OE的范围；
(1)②同样采用倍长中线构造△AEM≌△BEO，得到AM=OC、∠OAM和∠AOB互补，再结合已知垂直条件推出∠OAM=∠COD，证明△OAM≌△DOC，得到OM=CD，即可证得OE=$\frac{1}{2}$CD；
(2)依旧使用倍长中线构造全等，得到∠AOM=∠D，再利用角的互余关系推出∠DFO=90°，即可得到OE与CD的垂直关系；
(3)由OE⊥CD可知∠OFD=90°，因此点F的轨迹是以OD为直径的圆，再根据点到圆上点的距离最值规律，即可求出AF的取值范围。
【解析】
(1)① 在△OAB中，由三角形三边关系得：
$OB-OA ＜ AB ＜ OA+OB$，代入$OA=2$，$OB=4$，得$2 ＜ AB ＜ 6$。
延长$OE$到点$M$，使$EM=OE$，连接$AM$。
∵$E$是$AB$中点，
∴$AE=BE$，
又
∵$∠AEM=∠BEO$，$EM=EO$，
∴$△ AEM ≌ △ BEO(\mathrm{SAS})$，
∴$AM=OB=4$。
在$△ OAM$中，$AM-OA ＜ OM ＜ AM+OA$，即$2 ＜ 2OE ＜ 6$，
解得$1 ＜ OE ＜ 3$。
② 证明：延长$OE$到点$M$，使$EM=OE$，连接$AM$。
∵$E$是$AB$的中点，
∴$AE=BE$。
在$△ AEM$和$△ BEO$中，
$\begin{cases}AE=BE \\∠AEM=∠BEO \\EM=EO\end{cases}$
∴$△ AEM ≌ △ BEO(\mathrm{SAS})$，
∴$AM=OB$，$∠MAE=∠OBE$，
∴$AM // OB$，
∴$∠OAM + ∠AOB = 180°$。
∵$OA ⊥ OD$，$OB ⊥ OC$，
∴$∠AOD=∠BOC=90°$，
∴$∠COD + ∠AOB = 360° - ∠AOD - ∠BOC = 180°$，
∴$∠OAM=∠COD$。
又
∵$OB=OC$，
∴$AM=OC$，
在$△ OAM$和$△ DOC$中，
$\begin{cases}OA=OD \\∠OAM=∠COD \\AM=OC\end{cases}$
∴$△ OAM ≌ △ DOC(\mathrm{SAS})$，
∴$OM=CD$，
∵$OM=2OE$，
∴$2OE=CD$，即$OE=\frac{1}{2}CD$。
(2) $OE ⊥ CD$，理由如下：
延长$OE$到点$M$，使$EM=OE$，连接$AM$。
∵$E$是$AB$的中点，
∴$AE=BE$。
在$△ AEM$和$△ BEO$中，
$\begin{cases}AE=BE \\∠AEM=∠BEO \\EM=EO\end{cases}$
∴$△ AEM ≌ △ BEO(\mathrm{SAS})$，
∴$AM=OB$，$∠MAE=∠OBE$，
∴$AM // OB$，
∴$∠OAM = 180° - ∠AOB$。
∵$OA ⊥ OD$，$OB ⊥ OC$，
∴$∠AOD=∠BOC=90°$，
∴$∠COD = ∠AOD + ∠BOC - ∠AOB = 180° - ∠AOB$，
∴$∠OAM=∠COD$。
又
∵$OB=OC$，
∴$AM=OC$，
在$△ OAM$和$△ DOC$中，
$\begin{cases}OA=OD \\∠OAM=∠COD \\AM=OC\end{cases}$
∴$△ OAM ≌ △ DOC(\mathrm{SAS})$，
∴$∠AOM=∠D$。
∵$∠AOD=90°$，
∴$∠D + ∠DFO = ∠AOM + ∠DOF = 90°$，
∴$∠DFO=90°$，
∴$OE ⊥ CD$。
(3) 由$OE⊥CD$可得$∠OFD=90°$，因此点$F$在以$OD$为直径的圆上运动，已知$OA=OD=2$，$OA⊥OD$，设$OD$中点为$P$，则$OP=1$，$AP=\sqrt{OA^2+OP^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，根据点到圆上点的距离最值规律，$AF$最小值为$AP-$半径$=\sqrt{5}-1$，最大值为$AP+$半径$=\sqrt{5}+1$。
【答案】
(1)①$\boldsymbol{1＜OE＜3}$；②证明见解析；(2)$\boldsymbol{OE⊥CD}$，理由见解析；(3)$\boldsymbol{\sqrt{5}-1 ≤ AF ≤ \sqrt{5}+1}$
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 倍长中线辅助线
3. 三角形三边关系
【点评】
本题是几何综合探究题，层层递进设置问题，核心考察全等三角形的构造与应用，重点引导学生掌握“倍长中线”这一处理中点问题的常用辅助线方法，既涉及基础的三角形三边关系应用，也包含线段关系、位置关系的证明及动点最值求解，对逻辑推理能力和几何辅助线构造能力有较高要求。
【难度系数】
0.3