5. 如图是某超市一种产品30天的销售情况，图①表示产品日销售量y件与时间t天的函数关系，图②表示一件产品的销售利润z元与时间t天的函数关系，已知日销售利润＝日销售量×一件产品的销售利润.下列结论错误的是（
A.第24天的日销售量为200件
B.第12天的日销售利润是1950元
C.第30天的日销售利润是5元
D.第10天销售一件产品的利润是15元
C
）A.第24天的日销售量为200件
B.第12天的日销售利润是1950元
C.第30天的日销售利润是5元
D.第10天销售一件产品的利润是15元
答案：C
解析：
【分析】
要解决这道题，首先需要结合两个函数图像的信息，利用待定系数法分别求出日销售量y与时间t的函数解析式、单件利润z与时间t的函数解析式，注意两个函数都需要分时间段讨论，再将对应t值代入解析式计算，逐一判断四个选项的正误即可。
【解析】
首先分段求出两个函数的解析式：
1. 求日销售量$y$与时间$t$的函数关系：
① 当$0≤ t≤24$时，设$y=k_1t+b_1$，
将$(0,100)$、$(24,200)$代入得：
$\begin{cases}b_1=100\\24k_1 + 100 = 200\end{cases}$，解得$\begin{cases}k_1=\frac{25}{6}\\b_1=100\end{cases}$
即$y=\frac{25}{6}t + 100\quad(0≤ t≤24)$
② 当$24＜t≤30$时，设$y=k_2t+b_2$，
将$(24,200)$、$(30,150)$代入得：
$\begin{cases}24k_2 + b_2 = 200\\30k_2 + b_2 = 150\end{cases}$，解得$\begin{cases}k_2=-\frac{25}{3}\\b_2=400\end{cases}$
即$y=-\frac{25}{3}t + 400\quad(24＜t≤30)$
2. 求单件利润$z$与时间$t$的函数关系：
① 当$0≤ t≤20$时，设$z=k_3t+b_3$，
将$(0,25)$、$(20,5)$代入得：
$\begin{cases}b_3=25\\20k_3 + 25 = 5\end{cases}$，解得$\begin{cases}k_3=-1\\b_3=25\end{cases}$
即$z=-t + 25\quad(0≤ t≤20)$
② 当$20＜t≤30$时，$z=5$
接下来逐一判断选项：
A. 当$t=24$时，代入$y=\frac{25}{6}×24 + 100=200$件，结论正确，不符合题意；
B. 当$t=12$时，$y=\frac{25}{6}×12 + 100=150$件，$z=-12+25=13$元，日销售利润$=150×13=1950$元，结论正确，不符合题意；
C. 当$t=30$时，$y=-\frac{25}{3}×30 + 400=150$件，$z=5$元，日销售利润$=150×5=750$元，不是5元，结论错误，符合题意；
D. 当$t=10$时，$z=-10+25=15$元，结论正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的应用；待定系数法求解析式；分段函数
【点评】
本题结合实际销售问题考查一次函数的应用，解题关键是从图像中提取有效信息，正确求出各段的函数解析式，计算时要注意对应t值所在的时间段，避免代入错误的解析式。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需要结合两个函数图像的信息，利用待定系数法分别求出日销售量y与时间t的函数解析式、单件利润z与时间t的函数解析式，注意两个函数都需要分时间段讨论，再将对应t值代入解析式计算，逐一判断四个选项的正误即可。
【解析】
首先分段求出两个函数的解析式：
1. 求日销售量$y$与时间$t$的函数关系：
① 当$0≤ t≤24$时，设$y=k_1t+b_1$，
将$(0,100)$、$(24,200)$代入得：
$\begin{cases}b_1=100\\24k_1 + 100 = 200\end{cases}$，解得$\begin{cases}k_1=\frac{25}{6}\\b_1=100\end{cases}$
即$y=\frac{25}{6}t + 100\quad(0≤ t≤24)$
② 当$24＜t≤30$时，设$y=k_2t+b_2$，
将$(24,200)$、$(30,150)$代入得：
$\begin{cases}24k_2 + b_2 = 200\\30k_2 + b_2 = 150\end{cases}$，解得$\begin{cases}k_2=-\frac{25}{3}\\b_2=400\end{cases}$
即$y=-\frac{25}{3}t + 400\quad(24＜t≤30)$
2. 求单件利润$z$与时间$t$的函数关系：
① 当$0≤ t≤20$时，设$z=k_3t+b_3$，
将$(0,25)$、$(20,5)$代入得：
$\begin{cases}b_3=25\\20k_3 + 25 = 5\end{cases}$，解得$\begin{cases}k_3=-1\\b_3=25\end{cases}$
即$z=-t + 25\quad(0≤ t≤20)$
② 当$20＜t≤30$时，$z=5$
接下来逐一判断选项：
A. 当$t=24$时，代入$y=\frac{25}{6}×24 + 100=200$件，结论正确，不符合题意；
B. 当$t=12$时，$y=\frac{25}{6}×12 + 100=150$件，$z=-12+25=13$元，日销售利润$=150×13=1950$元，结论正确，不符合题意；
C. 当$t=30$时，$y=-\frac{25}{3}×30 + 400=150$件，$z=5$元，日销售利润$=150×5=750$元，不是5元，结论错误，符合题意；
D. 当$t=10$时，$z=-10+25=15$元，结论正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的应用；待定系数法求解析式；分段函数
【点评】
本题结合实际销售问题考查一次函数的应用，解题关键是从图像中提取有效信息，正确求出各段的函数解析式，计算时要注意对应t值所在的时间段，避免代入错误的解析式。
【难度系数】
0.7
6. 共享电动车是一种新理念交通工具，主要面向 3~10 km 的出行市场，现有 A，B 两种品牌的共享电动车，其骑行收费 y 元与骑行时间 x min 之间的关系如图所示，请解答下列问题：
（1）分别求 A 品牌、B 品牌电动车骑行收费 y 元关于 x min 的函数表达式.
（2）如果小王每天早上需要骑行 A 品牌或 B 品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为 300 m/min，小明家到工厂的距离为 9 km，那么小王选择
（1）分别求 A 品牌、B 品牌电动车骑行收费 y 元关于 x min 的函数表达式.
（2）如果小王每天早上需要骑行 A 品牌或 B 品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为 300 m/min，小明家到工厂的距离为 9 km，那么小王选择
B
品牌共享电动车更省钱.（填 “A” 或 “B”）答案：(1) A品牌:$y=0.4x(x≥0)$;B品牌:$y=0.2x+4(x≥10)$;$y=6(0≤x≤10)$ (2) B
解析：
【分析】
（1）求一次函数表达式采用待定系数法：A品牌的收费函数是过原点的正比例函数，已知图象经过点$(20,8)$，代入即可求出系数得到解析式；B品牌是分段函数，$0≤x≤10$时收费固定为6元，$x≥10$时图象经过$(10,6)$和$(20,8)$两点，代入一次函数一般式$y=kx+b$即可求解。
（2）先根据“时间=路程÷速度”计算出总骑行时间，再分别代入两个品牌对应的收费函数计算费用，比较费用大小就能得出更省钱的品牌。
【解析】
（1）①设A品牌的收费函数表达式为$y=k_1x(k_1≠0)$，
由图象可知函数过点$P(20,8)$，代入得：
$8=20k_1$，解得$k_1=0.4$，
因此A品牌的函数表达式为$y=0.4x(x≥0)$。
②B品牌为分段函数：
当$0≤x≤10$时，由图象可知收费恒为6元，即$y=6$；
当$x≥10$时，设函数表达式为$y=k_2x+b(k_2≠0)$，将$(10,6)$和$(20,8)$代入得：
$\begin{cases}10k_2+b=6 \\20k_2+b=8 \end{cases}$
两式相减得$10k_2=2$，解得$k_2=0.2$，
将$k_2=0.2$代入$10k_2+b=6$，得$2+b=6$，解得$b=4$，
因此$x≥10$时，$y=0.2x+4$。
综上，B品牌的函数表达式为$y=\begin{cases}6&(0≤x≤10)\\0.2x+4&(x≥10)\end{cases}$。
（2）先计算骑行总时间：
路程$9km=9000m$，速度为$300m/min$，
总时间$x=\frac{9000}{300}=30min$。
分别计算两个品牌的收费：
A品牌：$y_A=0.4×30=12$元；
B品牌：$30min＞10min$，因此$y_B=0.2×30+4=10$元。
因为$10＜12$，所以选择B品牌更省钱。
【答案】
(1) A品牌：$y=0.4x(x≥0)$；B品牌：$\begin{cases}y=6(0≤x≤10)\\y=0.2x+4(x≥10)\end{cases}$
(2) B
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数的实际应用，分段函数
【点评】
本题结合共享出行的生活场景考查一次函数的应用，解题核心是读懂函数图象中的信息，熟练掌握待定系数法求解析式的方法，再结合实际条件代入计算、比较大小即可得到结论。
【难度系数】
0.7
（1）求一次函数表达式采用待定系数法：A品牌的收费函数是过原点的正比例函数，已知图象经过点$(20,8)$，代入即可求出系数得到解析式；B品牌是分段函数，$0≤x≤10$时收费固定为6元，$x≥10$时图象经过$(10,6)$和$(20,8)$两点，代入一次函数一般式$y=kx+b$即可求解。
（2）先根据“时间=路程÷速度”计算出总骑行时间，再分别代入两个品牌对应的收费函数计算费用，比较费用大小就能得出更省钱的品牌。
【解析】
（1）①设A品牌的收费函数表达式为$y=k_1x(k_1≠0)$，
由图象可知函数过点$P(20,8)$，代入得：
$8=20k_1$，解得$k_1=0.4$，
因此A品牌的函数表达式为$y=0.4x(x≥0)$。
②B品牌为分段函数：
当$0≤x≤10$时，由图象可知收费恒为6元，即$y=6$；
当$x≥10$时，设函数表达式为$y=k_2x+b(k_2≠0)$，将$(10,6)$和$(20,8)$代入得：
$\begin{cases}10k_2+b=6 \\20k_2+b=8 \end{cases}$
两式相减得$10k_2=2$，解得$k_2=0.2$，
将$k_2=0.2$代入$10k_2+b=6$，得$2+b=6$，解得$b=4$，
因此$x≥10$时，$y=0.2x+4$。
综上，B品牌的函数表达式为$y=\begin{cases}6&(0≤x≤10)\\0.2x+4&(x≥10)\end{cases}$。
（2）先计算骑行总时间：
路程$9km=9000m$，速度为$300m/min$，
总时间$x=\frac{9000}{300}=30min$。
分别计算两个品牌的收费：
A品牌：$y_A=0.4×30=12$元；
B品牌：$30min＞10min$，因此$y_B=0.2×30+4=10$元。
因为$10＜12$，所以选择B品牌更省钱。
【答案】
(1) A品牌：$y=0.4x(x≥0)$；B品牌：$\begin{cases}y=6(0≤x≤10)\\y=0.2x+4(x≥10)\end{cases}$
(2) B
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数的实际应用，分段函数
【点评】
本题结合共享出行的生活场景考查一次函数的应用，解题核心是读懂函数图象中的信息，熟练掌握待定系数法求解析式的方法，再结合实际条件代入计算、比较大小即可得到结论。
【难度系数】
0.7
7. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ A=30°$，$AB=4$，$P$是边$AB$上的一个动点，设$AP=x$，$△ PBC$的面积是$y$. 求$y$关于$x$的函数表达式，并写出$x$的取值范围.
答案：
如图,作$CD ⊥ AB$,垂足为D.$S_{△ PBC}=\frac{1}{2}BP · CD$.在
$△ ABC$中,$∠ A=30°$,$AB=4$,所以$BC=2$,所以$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{4^2-2^2}=\sqrt{12}$.在$△ ACD$中,$CD=\frac{1}{2}AC=\frac{\sqrt{12}}{2}$.因为$AP=x$,所以$BP=4-x$.所以$S_{△ PBC}=\frac{1}{2} · (4-x) · \frac{\sqrt{12}}{2}$,即$y=\frac{\sqrt{12}}{4}(4-x)$,其中$0 ≤ x ≤ 4$
如图,作$CD ⊥ AB$,垂足为D.$S_{△ PBC}=\frac{1}{2}BP · CD$.在
$△ ABC$中,$∠ A=30°$,$AB=4$,所以$BC=2$,所以$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{4^2-2^2}=\sqrt{12}$.在$△ ACD$中,$CD=\frac{1}{2}AC=\frac{\sqrt{12}}{2}$.因为$AP=x$,所以$BP=4-x$.所以$S_{△ PBC}=\frac{1}{2} · (4-x) · \frac{\sqrt{12}}{2}$,即$y=\frac{\sqrt{12}}{4}(4-x)$,其中$0 ≤ x ≤ 4$解析：
【分析】
要推导y关于x的函数表达式，核心是表示出△PBC的面积。我们可以选取BP作为△PBC的底，只需再求出AB边上的高（即点C到AB的垂线段长度）即可。首先利用Rt△ABC中30°角的性质求出BC的长，再用勾股定理计算AC的长度，接着再次利用30°角的直角三角形性质求出AB边上的高CD，结合AP=x表示出BP的长度，代入三角形面积公式即可得到函数表达式，最后根据P点的运动范围确定x的取值范围。
【解析】
解：如图，作$CD ⊥ AB$，垂足为D。
根据三角形面积公式，可得$S_{△ PBC}=\frac{1}{2}BP · CD$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ACB=90°$，$∠A=30°$，$AB=4$，由“30°角所对的直角边等于斜边的一半”得：$BC=\frac{1}{2}AB=2$。
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{4^2-2^2}=\sqrt{12}$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$∠A=30°$，同理可得$CD=\frac{1}{2}AC=\frac{\sqrt{12}}{2}$。
已知$AP=x$，则$BP=AB-AP=4-x$。
将$BP=4-x$、$CD=\frac{\sqrt{12}}{2}$代入面积公式得：
$y=\frac{1}{2} × (4-x) × \frac{\sqrt{12}}{2}=\frac{\sqrt{12}}{4}(4-x)$
由于点P在边AB上运动，因此x的取值范围为$0 ≤ x ≤ 4$。
【答案】
$y=\frac{\sqrt{12}}{4}(4-x)$，$x$的取值范围是$0 ≤ x ≤ 4$
【知识点】
含30°角的直角三角形性质；勾股定理；三角形面积计算
【点评】
本题属于几何与函数结合的基础题型，解题关键是合理选择三角形的底和对应高，将面积计算转化为含x的代数式，求解时要注意自变量的取值范围需要符合点的实际运动区间。
【难度系数】
0.7
要推导y关于x的函数表达式，核心是表示出△PBC的面积。我们可以选取BP作为△PBC的底，只需再求出AB边上的高（即点C到AB的垂线段长度）即可。首先利用Rt△ABC中30°角的性质求出BC的长，再用勾股定理计算AC的长度，接着再次利用30°角的直角三角形性质求出AB边上的高CD，结合AP=x表示出BP的长度，代入三角形面积公式即可得到函数表达式，最后根据P点的运动范围确定x的取值范围。
【解析】
解：如图，作$CD ⊥ AB$，垂足为D。
根据三角形面积公式，可得$S_{△ PBC}=\frac{1}{2}BP · CD$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ACB=90°$，$∠A=30°$，$AB=4$，由“30°角所对的直角边等于斜边的一半”得：$BC=\frac{1}{2}AB=2$。
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{4^2-2^2}=\sqrt{12}$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$∠A=30°$，同理可得$CD=\frac{1}{2}AC=\frac{\sqrt{12}}{2}$。
已知$AP=x$，则$BP=AB-AP=4-x$。
将$BP=4-x$、$CD=\frac{\sqrt{12}}{2}$代入面积公式得：
$y=\frac{1}{2} × (4-x) × \frac{\sqrt{12}}{2}=\frac{\sqrt{12}}{4}(4-x)$
由于点P在边AB上运动，因此x的取值范围为$0 ≤ x ≤ 4$。
【答案】
$y=\frac{\sqrt{12}}{4}(4-x)$，$x$的取值范围是$0 ≤ x ≤ 4$
【知识点】
含30°角的直角三角形性质；勾股定理；三角形面积计算
【点评】
本题属于几何与函数结合的基础题型，解题关键是合理选择三角形的底和对应高，将面积计算转化为含x的代数式，求解时要注意自变量的取值范围需要符合点的实际运动区间。
【难度系数】
0.7