17. 如图①，线段$AB=20$，动点$P$从点$A$出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段$AB$向终点$B$匀速运动，同时，另一个动点$Q$从点$B$出发，以每秒2个单位长度的速度在线段$AB$上来回匀速运动(从点$B$向点$A$运动，到达点$A$后立即原速返回，向点$B$运动)，两个动点同时到达点$B$后停止运动. 设点$P$的运动时间为$x$ s，$PQ$的长度记为$y$.
(1) 当$x=6$时，线段$PQ=$
(2) 当$0≤ x≤20$时，求$PQ$的长度$y$与运动时间$x$之间的函数表达式，并在图②中补全图象(标注好关键点的坐标)；
(3) 是否存在$x$的取值范围，使得在该范围内无论$x$取何值，$\frac{PQ}{BP}$都为定值？如果存在，求出该定值并直接写出满足条件的$x$的取值范围，如果不存在，请说明理由.
(1) 当$x=6$时，线段$PQ=$
$2$
；当$x=$$\frac{20}{3}$
时，点$P$与点$Q$相遇；(2) 当$0≤ x≤20$时，求$PQ$的长度$y$与运动时间$x$之间的函数表达式，并在图②中补全图象(标注好关键点的坐标)；
(3) 是否存在$x$的取值范围，使得在该范围内无论$x$取何值，$\frac{PQ}{BP}$都为定值？如果存在，求出该定值并直接写出满足条件的$x$的取值范围，如果不存在，请说明理由.
答案：
17. (1) $2$，$\frac{20}{3}$
(2) 当$\frac{20}{3}＜x≤10$时，$AP=x$，$BQ=2x$，$\therefore PQ=AP+QB-AB=3x-20$；当$0≤x≤\frac{20}{3}$时，$AP=x$，$BQ=2x$，$\therefore PQ=AB-AP-BQ=20-3x$；当$10＜x≤20$时，$AP=x$，$AQ=2x-20$，$\therefore PQ=AP-AQ=x-(2x-20)=20-x$，综上，$y=\begin{cases} 20-3x(0≤x≤\frac{20}{3}), \\ 3x-20(\frac{20}{3}＜x≤10), \\ 20-x(10＜x≤20) \end{cases}$，补全图象如图
（3）存在，当$0≤x≤\frac{20}{3}$时，$AP=x$，$BQ=2x$，$BP=20-x$，$\therefore PQ=AB-AP-BQ=20-3x$，$\therefore \frac{PQ}{BP}=\frac{20-3x}{20-x}$，不为定值；当$10＜x≤20$时，$PQ=AP-AQ=20-x$，$BP=20-x$，$\therefore \frac{PQ}{BP}=\frac{20-x}{20-x}=1$，为定值1；当$\frac{20}{3}＜x≤10$时，$AP=x$，$BQ=2x$，$BP=20-x$，$\therefore PQ=AP+QB-AB=3x-20$，$\therefore \frac{PQ}{BP}=\frac{3x-20}{20-x}$，不为定值；$\therefore x$的取值范围是$10＜x≤20$。
17. (1) $2$，$\frac{20}{3}$
(2) 当$\frac{20}{3}＜x≤10$时，$AP=x$，$BQ=2x$，$\therefore PQ=AP+QB-AB=3x-20$；当$0≤x≤\frac{20}{3}$时，$AP=x$，$BQ=2x$，$\therefore PQ=AB-AP-BQ=20-3x$；当$10＜x≤20$时，$AP=x$，$AQ=2x-20$，$\therefore PQ=AP-AQ=x-(2x-20)=20-x$，综上，$y=\begin{cases} 20-3x(0≤x≤\frac{20}{3}), \\ 3x-20(\frac{20}{3}＜x≤10), \\ 20-x(10＜x≤20) \end{cases}$，补全图象如图
（3）存在，当$0≤x≤\frac{20}{3}$时，$AP=x$，$BQ=2x$，$BP=20-x$，$\therefore PQ=AB-AP-BQ=20-3x$，$\therefore \frac{PQ}{BP}=\frac{20-3x}{20-x}$，不为定值；当$10＜x≤20$时，$PQ=AP-AQ=20-x$，$BP=20-x$，$\therefore \frac{PQ}{BP}=\frac{20-x}{20-x}=1$，为定值1；当$\frac{20}{3}＜x≤10$时，$AP=x$，$BQ=2x$，$BP=20-x$，$\therefore PQ=AP+QB-AB=3x-20$，$\therefore \frac{PQ}{BP}=\frac{3x-20}{20-x}$，不为定值；$\therefore x$的取值范围是$10＜x≤20$。
解析：
【分析】
首先明确两个动点的运动规律：动点P全程从A向B以1单位/秒运动，运动总时间20秒；动点Q先从B向A以2单位/秒运动，10秒到达A后立即原速返回B，20秒和P同时停止。
(1)求x=6时的PQ长度，先判断此时Q还在向A运动，分别算出AP、BQ的长度，用总长度AB减去AP和BQ即可；求相遇时间，即两人路程和为AB长度时的x，列方程求解即可。
(2)分三段讨论：①Q还没和P相遇前（$0≤x≤\frac{20}{3}$），PQ为AB减去两人路程和；②相遇后到Q到达A前（$\frac{20}{3}＜x≤10$），PQ为两人路程和减去AB；③Q从A返回B的阶段（$10＜x≤20$），此时Q在P左侧，PQ为AP减去AQ的长度，分别写出函数式，再根据函数式找到关键点坐标补全图像。
(3)分别计算三个阶段$\frac{PQ}{BP}$的表达式，判断是否为定值，找到比值为定值的阶段即可。
【解析】
(1) 当$x=6$时，$AP=1×6=6$，$BQ=2×6=12$，此时Q还未到达A点，
∴$PQ=AB-AP-BQ=20-6-12=2$；
点P、Q相遇时，两人走过的路程和为AB的长度，即$x+2x=20$，解得$x=\frac{20}{3}$。
(2) 分三种情况讨论：
① 当$0≤x≤\frac{20}{3}$时，P、Q还未相遇，$AP=x$，$BQ=2x$，
∴$y=PQ=AB-AP-BQ=20-x-2x=20-3x$；
② 当$\frac{20}{3}＜x≤10$时，P、Q相遇后，Q还未到达A点，$AP=x$，$BQ=2x$，两人走过的路程和超过AB长度，
∴$y=PQ=AP+BQ-AB=x+2x-20=3x-20$；
③ 当$10＜x≤20$时，Q已经到达A点并返回向B运动，此时$AQ=2x-20$，$AP=x$，Q在P左侧，
∴$y=PQ=AP-AQ=x-(2x-20)=20-x$。
综上，y与x的函数表达式为：
$y=\begin{cases} 20-3x&(0≤x≤\frac{20}{3}) \\ 3x-20&(\frac{20}{3}＜x≤10) \\ 20-x&(10＜x≤20) \end{cases}$
根据函数式，关键点坐标分别为$(\frac{20}{3},0)$、$(10,10)$、$(20,0)$，补全图象如图。
(3) 存在，理由如下：
分别讨论三个阶段的$\frac{PQ}{BP}$：
① 当$0≤x≤\frac{20}{3}$时，$PQ=20-3x$，$BP=AB-AP=20-x$，
∴$\frac{PQ}{BP}=\frac{20-3x}{20-x}$，不是定值；
② 当$\frac{20}{3}＜x≤10$时，$PQ=3x-20$，$BP=20-x$，
∴$\frac{PQ}{BP}=\frac{3x-20}{20-x}$，不是定值；
③ 当$10＜x≤20$时，$PQ=20-x$，$BP=20-x$，
∴$\frac{PQ}{BP}=\frac{20-x}{20-x}=1$，为定值1。
故满足条件的x取值范围是$10＜x≤20$，定值为1。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2}$，$\boldsymbol{\frac{20}{3}}$
(2) $y=\begin{cases} 20-3x(0≤x≤\frac{20}{3}), \\ 3x-20(\frac{20}{3}＜x≤10), \\ 20-x(10＜x≤20) \end{cases}$，补全图象如图
(3) 存在，定值为$\boldsymbol{1}$，x的取值范围是$\boldsymbol{10＜x≤20}$
【知识点】
动点问题，一次函数的应用，分段函数
【点评】
本题是典型的双动点分段函数问题，解题关键是根据动点的运动状态合理划分时间段，分别计算每个时间段内的线段长度，再结合要求进行求解，考查了分类讨论思想和函数的实际应用能力。
【难度系数】
0.65
首先明确两个动点的运动规律：动点P全程从A向B以1单位/秒运动，运动总时间20秒；动点Q先从B向A以2单位/秒运动，10秒到达A后立即原速返回B，20秒和P同时停止。
(1)求x=6时的PQ长度，先判断此时Q还在向A运动，分别算出AP、BQ的长度，用总长度AB减去AP和BQ即可；求相遇时间，即两人路程和为AB长度时的x，列方程求解即可。
(2)分三段讨论：①Q还没和P相遇前（$0≤x≤\frac{20}{3}$），PQ为AB减去两人路程和；②相遇后到Q到达A前（$\frac{20}{3}＜x≤10$），PQ为两人路程和减去AB；③Q从A返回B的阶段（$10＜x≤20$），此时Q在P左侧，PQ为AP减去AQ的长度，分别写出函数式，再根据函数式找到关键点坐标补全图像。
(3)分别计算三个阶段$\frac{PQ}{BP}$的表达式，判断是否为定值，找到比值为定值的阶段即可。
【解析】
(1) 当$x=6$时，$AP=1×6=6$，$BQ=2×6=12$，此时Q还未到达A点，
∴$PQ=AB-AP-BQ=20-6-12=2$；
点P、Q相遇时，两人走过的路程和为AB的长度，即$x+2x=20$，解得$x=\frac{20}{3}$。
(2) 分三种情况讨论：
① 当$0≤x≤\frac{20}{3}$时，P、Q还未相遇，$AP=x$，$BQ=2x$，
∴$y=PQ=AB-AP-BQ=20-x-2x=20-3x$；
② 当$\frac{20}{3}＜x≤10$时，P、Q相遇后，Q还未到达A点，$AP=x$，$BQ=2x$，两人走过的路程和超过AB长度，
∴$y=PQ=AP+BQ-AB=x+2x-20=3x-20$；
③ 当$10＜x≤20$时，Q已经到达A点并返回向B运动，此时$AQ=2x-20$，$AP=x$，Q在P左侧，
∴$y=PQ=AP-AQ=x-(2x-20)=20-x$。
综上，y与x的函数表达式为：
$y=\begin{cases} 20-3x&(0≤x≤\frac{20}{3}) \\ 3x-20&(\frac{20}{3}＜x≤10) \\ 20-x&(10＜x≤20) \end{cases}$
根据函数式，关键点坐标分别为$(\frac{20}{3},0)$、$(10,10)$、$(20,0)$，补全图象如图
。(3) 存在，理由如下：
分别讨论三个阶段的$\frac{PQ}{BP}$：
① 当$0≤x≤\frac{20}{3}$时，$PQ=20-3x$，$BP=AB-AP=20-x$，
∴$\frac{PQ}{BP}=\frac{20-3x}{20-x}$，不是定值；
② 当$\frac{20}{3}＜x≤10$时，$PQ=3x-20$，$BP=20-x$，
∴$\frac{PQ}{BP}=\frac{3x-20}{20-x}$，不是定值；
③ 当$10＜x≤20$时，$PQ=20-x$，$BP=20-x$，
∴$\frac{PQ}{BP}=\frac{20-x}{20-x}=1$，为定值1。
故满足条件的x取值范围是$10＜x≤20$，定值为1。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2}$，$\boldsymbol{\frac{20}{3}}$
(2) $y=\begin{cases} 20-3x(0≤x≤\frac{20}{3}), \\ 3x-20(\frac{20}{3}＜x≤10), \\ 20-x(10＜x≤20) \end{cases}$，补全图象如图
(3) 存在，定值为$\boldsymbol{1}$，x的取值范围是$\boldsymbol{10＜x≤20}$
【知识点】
动点问题，一次函数的应用，分段函数
【点评】
本题是典型的双动点分段函数问题，解题关键是根据动点的运动状态合理划分时间段，分别计算每个时间段内的线段长度，再结合要求进行求解，考查了分类讨论思想和函数的实际应用能力。
【难度系数】
0.65