20. 如图，在$△ ABC$中，$∠ A=40°$，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，$BD=BC=CE$，连接 CD，BE.
(1) 若$∠ ABC=80°$，求$∠ BDC$，$∠ ABE$的度数；
(2) 写出$∠ BEC$与$∠ BDC$之间的数量关系，并说明理由.
(1) 若$∠ ABC=80°$，求$∠ BDC$，$∠ ABE$的度数；
(2) 写出$∠ BEC$与$∠ BDC$之间的数量关系，并说明理由.
答案：20. (1) 在$△ BDC$中,$BD=BC$,$\therefore ∠ BDC=∠ BCD$.$\because ∠ ABC=80°$,$\therefore ∠ BDC=50°$.在$△ ABC$中,$∠ ABC=80°$,$∠ A=40°$,则$∠ ACB=60°$.$\because CE=CB$,$\therefore △ BCE$是等边三角形. $\therefore ∠ BEC=60°$.$\because ∠ BEC$是$△ ABE$的外角,$\therefore ∠ ABE=∠ BEC-∠ A=60°-40°=20°$
(2) $∠ BDC+∠ BEC=110°$.理由:设$∠ ABC=a°$,在$△ BDC$中,$BD=BC$,则$∠ BDC=\frac{1}{2}(180-a)°$.在$△ ABC$中,$∠ ACB=180°-40°-a°=(140-a)°$.在$△ BEC$中,$CE=CB$,则$∠ BEC=\frac{1}{2}(180-140+a)°=\frac{1}{2}(40+a)°$. $\therefore ∠ BDC+∠ BEC=\frac{1}{2}(180-a)°+\frac{1}{2}(40+a)°=110°$
(2) $∠ BDC+∠ BEC=110°$.理由:设$∠ ABC=a°$,在$△ BDC$中,$BD=BC$,则$∠ BDC=\frac{1}{2}(180-a)°$.在$△ ABC$中,$∠ ACB=180°-40°-a°=(140-a)°$.在$△ BEC$中,$CE=CB$,则$∠ BEC=\frac{1}{2}(180-140+a)°=\frac{1}{2}(40+a)°$. $\therefore ∠ BDC+∠ BEC=\frac{1}{2}(180-a)°+\frac{1}{2}(40+a)°=110°$
解析：
【分析】
(1) 求∠BDC时，先观察到△BDC中BD=BC，是等腰三角形，已知顶角∠ABC=80°，利用等腰三角形两底角相等结合三角形内角和即可求出∠BDC；求∠ABE时，先在△ABC中用内角和求出∠ACB，再由CE=BC可得△BCE是等边三角形，得到∠BEC的度数，最后利用三角形外角的性质即可求出∠ABE。
(2) 要找∠BEC和∠BDC的数量关系，可设∠ABC为α°，先根据等腰三角形性质用α表示出∠BDC，再在△ABC中用内角和表示出∠ACB，进而在等腰△BEC中用α表示出∠BEC，将两个角相加消去参数即可得到固定的数量关系。
【解析】
(1) 在△BDC中，
∵BD=BC，
∴∠BDC=∠BCD。
∵∠ABC=80°，
∴∠BDC=(180°-80°)÷2=50°。
在△ABC中，∠A=40°，∠ABC=80°，
∴∠ACB=180°-40°-80°=60°。
∵CE=CB，∠ACB=60°，
∴△BCE是等边三角形，
∴∠BEC=60°。
∵∠BEC是△ABE的外角，外角等于与它不相邻的两个内角的和，
∴∠ABE=∠BEC-∠A=60°-40°=20°。
(2) ∠BDC+∠BEC=110°，理由如下：
设∠ABC=α°，
在△BDC中，BD=BC，
∴∠BDC=$\frac{1}{2}$(180-α)°。
在△ABC中，∠ACB=180°-40°-α°=(140-α)°。
在△BEC中，CE=CB，
∴∠BEC=$\frac{1}{2}$[180°-(140-α)°]=$\frac{1}{2}$(40+a)°。
∴∠BDC+∠BEC=$\frac{1}{2}$(180-α)°+$\frac{1}{2}$(40+a)°=110°。
【答案】
(1) ∠BDC=50°，∠ABE=20°；(2) ∠BDC+∠BEC=110°
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质
【点评】
本题综合考查三角形相关性质的应用，第一问可直接利用已知角度结合性质逐步求解，第二问通过设参数表示角度的方法，消去参数即可得到两角的固定数量关系，解题时需熟练掌握等腰三角形“等边对等角”的性质，灵活运用三角形内角和与外角性质。
【难度系数】
0.7
(1) 求∠BDC时，先观察到△BDC中BD=BC，是等腰三角形，已知顶角∠ABC=80°，利用等腰三角形两底角相等结合三角形内角和即可求出∠BDC；求∠ABE时，先在△ABC中用内角和求出∠ACB，再由CE=BC可得△BCE是等边三角形，得到∠BEC的度数，最后利用三角形外角的性质即可求出∠ABE。
(2) 要找∠BEC和∠BDC的数量关系，可设∠ABC为α°，先根据等腰三角形性质用α表示出∠BDC，再在△ABC中用内角和表示出∠ACB，进而在等腰△BEC中用α表示出∠BEC，将两个角相加消去参数即可得到固定的数量关系。
【解析】
(1) 在△BDC中，
∵BD=BC，
∴∠BDC=∠BCD。
∵∠ABC=80°，
∴∠BDC=(180°-80°)÷2=50°。
在△ABC中，∠A=40°，∠ABC=80°，
∴∠ACB=180°-40°-80°=60°。
∵CE=CB，∠ACB=60°，
∴△BCE是等边三角形，
∴∠BEC=60°。
∵∠BEC是△ABE的外角，外角等于与它不相邻的两个内角的和，
∴∠ABE=∠BEC-∠A=60°-40°=20°。
(2) ∠BDC+∠BEC=110°，理由如下：
设∠ABC=α°，
在△BDC中，BD=BC，
∴∠BDC=$\frac{1}{2}$(180-α)°。
在△ABC中，∠ACB=180°-40°-α°=(140-α)°。
在△BEC中，CE=CB，
∴∠BEC=$\frac{1}{2}$[180°-(140-α)°]=$\frac{1}{2}$(40+a)°。
∴∠BDC+∠BEC=$\frac{1}{2}$(180-α)°+$\frac{1}{2}$(40+a)°=110°。
【答案】
(1) ∠BDC=50°，∠ABE=20°；(2) ∠BDC+∠BEC=110°
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质
【点评】
本题综合考查三角形相关性质的应用，第一问可直接利用已知角度结合性质逐步求解，第二问通过设参数表示角度的方法，消去参数即可得到两角的固定数量关系，解题时需熟练掌握等腰三角形“等边对等角”的性质，灵活运用三角形内角和与外角性质。
【难度系数】
0.7
21. 如图，在$△ ABC$中，$∠ ABC$，$∠ ACB$的平分线交于点$M$，过点$M$作$DE// BC$，与边$AB$，$AC$分别交于点$D$，$E$。
（1）若$∠ A=70°$，求$∠ BMC$的度数；
（2）若$△ ABC$的周长为$m$，$BC$的长为$a$，求$△ ADE$的周长（用含$m$，$a$的代数式表示）。
（1）若$∠ A=70°$，求$∠ BMC$的度数；
（2）若$△ ABC$的周长为$m$，$BC$的长为$a$，求$△ ADE$的周长（用含$m$，$a$的代数式表示）。
答案：21. (1) $\because ∠ ABC,∠ ACB$的平分线相交于点$M$,$\therefore ∠ MBC=\frac{1}{2}∠ ABC$,$∠ MCB=\frac{1}{2}∠ ACB$. $\therefore ∠ MBC+∠ MCB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)$.在$△ ABC$中,$∠ A=70°$,则$∠ ABC+∠ ACB=180°-70°=110°$,$\therefore ∠ MBC+∠ MCB=55°$. $\therefore ∠ BMC=125°$
(2) $\because ∠ ABC,∠ ACB$的平分线相交于点$M$,$\therefore ∠ MBC=∠ DBM$,$∠ MCB=∠ ECM$. $\therefore DM=DB$,$EM=EC$. $\therefore △ ADE$的周长$=AD+DE+AE=AB+AC=△ ABC$的周长$-BC=m-a$
(2) $\because ∠ ABC,∠ ACB$的平分线相交于点$M$,$\therefore ∠ MBC=∠ DBM$,$∠ MCB=∠ ECM$. $\therefore DM=DB$,$EM=EC$. $\therefore △ ADE$的周长$=AD+DE+AE=AB+AC=△ ABC$的周长$-BC=m-a$
解析：
【分析】
（1）求∠BMC的度数可借助三角形内角和定理推导：首先根据角平分线的定义，可得∠MBC与∠MCB的和是∠ABC+∠ACB的一半；再利用△ABC的内角和为180°，结合已知∠A的度数求出∠ABC+∠ACB的度数，即可得到∠MBC+∠MCB的度数，最后在△BMC中用内角和定理算出∠BMC即可。
（2）求△ADE的周长需先进行线段转化：结合角平分线和平行线的性质，可推出△BDM和△CEM都是等腰三角形，得到DM=DB、EM=EC；将△ADE的周长拆解后替换相等线段，可发现其周长等于AB+AC，用△ABC的总周长减去BC的长度即可得到结果。
【解析】
（1）
∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点M，
∴$∠ MBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ MCB=\frac{1}{2}∠ ACB$，
∴$∠ MBC+∠ MCB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)$。
在△ABC中，∠A=70°，根据三角形内角和为180°，
得$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A=180°-70°=110°$，
∴$∠ MBC+∠ MCB=\frac{1}{2}×110°=55°$。
在△BMC中，$∠ BMC=180°-(∠ MBC+∠ MCB)=180°-55°=125°$。
（2）
∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点M，
∴$∠ MBC=∠ DBM$，$∠ MCB=∠ ECM$。
∵$DE// BC$，
∴$∠ DMB=∠ MBC$，$∠ EMC=∠ MCB$，
∴$∠ DBM=∠ DMB$，$∠ ECM=∠ EMC$，
∴$DM=DB$，$EM=EC$。
∴△ADE的周长$=AD+DE+AE=AD+DM+ME+AE=AD+DB+EC+AE=AB+AC$。
∵△ABC的周长为$m$，$BC$的长为$a$，
∴$AB+AC=m-BC=m-a$，即△ADE的周长为$m-a$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{125°}$；（2）$\boldsymbol{m-a}$
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，等腰三角形的判定
【点评】
本题属于三角形板块的基础综合题，结合了角平分线、平行线、等腰三角形、三角形内角和多个知识点，解题的关键是掌握“角平分线+平行线可得等腰三角形”这一常用结论，灵活进行角度和线段的转化。
【难度系数】
0.7
（1）求∠BMC的度数可借助三角形内角和定理推导：首先根据角平分线的定义，可得∠MBC与∠MCB的和是∠ABC+∠ACB的一半；再利用△ABC的内角和为180°，结合已知∠A的度数求出∠ABC+∠ACB的度数，即可得到∠MBC+∠MCB的度数，最后在△BMC中用内角和定理算出∠BMC即可。
（2）求△ADE的周长需先进行线段转化：结合角平分线和平行线的性质，可推出△BDM和△CEM都是等腰三角形，得到DM=DB、EM=EC；将△ADE的周长拆解后替换相等线段，可发现其周长等于AB+AC，用△ABC的总周长减去BC的长度即可得到结果。
【解析】
（1）
∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点M，
∴$∠ MBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ MCB=\frac{1}{2}∠ ACB$，
∴$∠ MBC+∠ MCB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)$。
在△ABC中，∠A=70°，根据三角形内角和为180°，
得$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A=180°-70°=110°$，
∴$∠ MBC+∠ MCB=\frac{1}{2}×110°=55°$。
在△BMC中，$∠ BMC=180°-(∠ MBC+∠ MCB)=180°-55°=125°$。
（2）
∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点M，
∴$∠ MBC=∠ DBM$，$∠ MCB=∠ ECM$。
∵$DE// BC$，
∴$∠ DMB=∠ MBC$，$∠ EMC=∠ MCB$，
∴$∠ DBM=∠ DMB$，$∠ ECM=∠ EMC$，
∴$DM=DB$，$EM=EC$。
∴△ADE的周长$=AD+DE+AE=AD+DM+ME+AE=AD+DB+EC+AE=AB+AC$。
∵△ABC的周长为$m$，$BC$的长为$a$，
∴$AB+AC=m-BC=m-a$，即△ADE的周长为$m-a$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{125°}$；（2）$\boldsymbol{m-a}$
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，等腰三角形的判定
【点评】
本题属于三角形板块的基础综合题，结合了角平分线、平行线、等腰三角形、三角形内角和多个知识点，解题的关键是掌握“角平分线+平行线可得等腰三角形”这一常用结论，灵活进行角度和线段的转化。
【难度系数】
0.7
22. 如图，已知$\mathrm{Rt}△ ABC$，$∠ A=90°$.
（1）用直尺和圆规完成下列问题：将$△ ABC$绕点A按顺时针方向旋转$90°$得到$△ ADE$（点B，C的对应点分别为D，E），BC的延长线交DE于点F，连接BD.（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，若$BC=2EF$，试确定$△ BDE$的形状，并求$∠ ABC$的大小.
（1）用直尺和圆规完成下列问题：将$△ ABC$绕点A按顺时针方向旋转$90°$得到$△ ADE$（点B，C的对应点分别为D，E），BC的延长线交DE于点F，连接BD.（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，若$BC=2EF$，试确定$△ BDE$的形状，并求$∠ ABC$的大小.
答案：
22. (1) 如
所示
(2) $\because △ ADE$ 是$△ ABC$ 绕顶点 $A$ 按顺时针方向旋转 $90°$得到的,$\therefore △ ADE≌△ ABC$. $\therefore ∠ ABC=∠ ADE$,$BC=DE$,$AB=AD$.$\because ∠ ADE+∠ DEA=90°$,$\therefore ∠ ABC+∠ DEA=90°$. $\therefore BF⊥ DE$. 又 $BC=2EF$,$DE=2EF$,即 $BF$ 垂直平分 $DE$,$\therefore BD=BE$,即$△ BDE$ 是等腰三角形. $\because AB=AD$,$∠ BAD=90°$,$\therefore$ 在等腰直角三角形$BDA$ 中,$∠ ABD=∠ BDA=45°$.$\because BD=BE$,$\therefore ∠ BDE=\frac{1}{2}(180°-45°)=67.5°$. $\therefore ∠ ABC=67.5°-45°=22.5°$
22. (1) 如
所示(2) $\because △ ADE$ 是$△ ABC$ 绕顶点 $A$ 按顺时针方向旋转 $90°$得到的,$\therefore △ ADE≌△ ABC$. $\therefore ∠ ABC=∠ ADE$,$BC=DE$,$AB=AD$.$\because ∠ ADE+∠ DEA=90°$,$\therefore ∠ ABC+∠ DEA=90°$. $\therefore BF⊥ DE$. 又 $BC=2EF$,$DE=2EF$,即 $BF$ 垂直平分 $DE$,$\therefore BD=BE$,即$△ BDE$ 是等腰三角形. $\because AB=AD$,$∠ BAD=90°$,$\therefore$ 在等腰直角三角形$BDA$ 中,$∠ ABD=∠ BDA=45°$.$\because BD=BE$,$\therefore ∠ BDE=\frac{1}{2}(180°-45°)=67.5°$. $\therefore ∠ ABC=67.5°-45°=22.5°$
解析：
【分析】
（1）作图思路：以点A为旋转中心，将AB、AC分别顺时针旋转90°得到对应线段AD、AE，连接各点得到△ADE，再按要求画出辅助线即可，注意保留作图痕迹。
（2）解题思路：首先根据旋转的性质得到△ADE和△ABC全等，推导对应边、对应角的关系，证明BF垂直于DE；结合BC=2EF的条件，得出BF是DE的垂直平分线，即可判断△BDE的形状；再利用等腰直角三角形ABD的角度特征，结合等腰△BDE的内角关系，最终求出∠ABC的度数。
【解析】
（1）作图结果如下：
（2）解：
∵△ADE是△ABC绕顶点A按顺时针方向旋转90°得到的，
∴△ADE≌△ABC，
∴∠ABC=∠ADE，BC=DE，AB=AD。
∵在Rt△ADE中，∠ADE+∠DEA=90°，
∴∠ABC+∠DEA=90°，即∠BFE=90°，可得BF⊥DE。
又
∵BC=2EF，且BC=DE，
∴DE=2EF，即F为DE的中点，BF垂直平分DE，
∴BD=BE，即△BDE是等腰三角形。
∵AB=AD，∠BAD=90°，
∴△BDA是等腰直角三角形，∠ABD=∠BDA=45°。
∵BD=BE，
∴$∠ BDE=\frac{1}{2}(180°-∠ DBE)=\frac{1}{2}×(180°-45°)=67.5°$，
∴∠ABC=∠ADE=∠BDE-∠BDA=67.5°-45°=22.5°。
【答案】
（1）如所示
（2）△BDE是等腰三角形，$∠ ABC=22.5°$
【知识点】
旋转的性质；全等三角形的性质；等腰三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查了尺规作图、旋转性质、三角形相关的几何推理，解题的关键是熟练掌握旋转前后图形全等的特征，结合垂直平分线、等腰三角形的性质逐步推导边角关系，对几何综合分析能力有一定锻炼作用。
【难度系数】
0.6
（1）作图思路：以点A为旋转中心，将AB、AC分别顺时针旋转90°得到对应线段AD、AE，连接各点得到△ADE，再按要求画出辅助线即可，注意保留作图痕迹。
（2）解题思路：首先根据旋转的性质得到△ADE和△ABC全等，推导对应边、对应角的关系，证明BF垂直于DE；结合BC=2EF的条件，得出BF是DE的垂直平分线，即可判断△BDE的形状；再利用等腰直角三角形ABD的角度特征，结合等腰△BDE的内角关系，最终求出∠ABC的度数。
【解析】
（1）作图结果如下：
（2）解：
∵△ADE是△ABC绕顶点A按顺时针方向旋转90°得到的，
∴△ADE≌△ABC，
∴∠ABC=∠ADE，BC=DE，AB=AD。
∵在Rt△ADE中，∠ADE+∠DEA=90°，
∴∠ABC+∠DEA=90°，即∠BFE=90°，可得BF⊥DE。
又
∵BC=2EF，且BC=DE，
∴DE=2EF，即F为DE的中点，BF垂直平分DE，
∴BD=BE，即△BDE是等腰三角形。
∵AB=AD，∠BAD=90°，
∴△BDA是等腰直角三角形，∠ABD=∠BDA=45°。
∵BD=BE，
∴$∠ BDE=\frac{1}{2}(180°-∠ DBE)=\frac{1}{2}×(180°-45°)=67.5°$，
∴∠ABC=∠ADE=∠BDE-∠BDA=67.5°-45°=22.5°。
【答案】
（1）如
所示（2）△BDE是等腰三角形，$∠ ABC=22.5°$
【知识点】
旋转的性质；全等三角形的性质；等腰三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查了尺规作图、旋转性质、三角形相关的几何推理，解题的关键是熟练掌握旋转前后图形全等的特征，结合垂直平分线、等腰三角形的性质逐步推导边角关系，对几何综合分析能力有一定锻炼作用。
【难度系数】
0.6