7. 如图，AD为$△ ABC$的高，E为AC上一点，BE交AD于点F，且$BF=AC$，$FD=CD$. 求证：$\mathrm{Rt}△ BFD≌\mathrm{Rt}△ ACD$.
答案：7. $\because$ AD 是$△ ABC$的高，$\therefore ∠ ADB=∠ ADC=90°$. 在 $\mathrm{Rt}△ BFD$ 和 $\mathrm{Rt}△ ACD$ 中，$\begin{cases} BF=AC, \\ FD=CD, \end{cases}$ $\therefore \mathrm{Rt}△ BFD≌\mathrm{Rt}△ ACD(\mathrm{HL})$
解析：
【分析】
要证明两个直角三角形全等，首先根据AD是△ABC的高，可得出∠BDF和∠ADC都是直角，即△BFD和△ACD均为直角三角形；再结合已知给出的斜边BF=AC、直角边FD=CD，恰好符合直角三角形全等判定的HL定理的适用条件，按照该定理的证明格式梳理步骤即可完成求证。
【解析】
证明：
∵ AD是△ABC的高，
∴ ∠ADB=∠ADC=90°，即△BFD和△ACD都是直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ BFD$和$\mathrm{Rt}△ ACD$中，
$\begin{cases} BF=AC, \\ FD=CD, \end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ BFD≌\mathrm{Rt}△ ACD(\mathrm{HL})$
【答案】
$\because$ AD 是$△ ABC$的高，$\therefore ∠ ADB=∠ ADC=90°$. 在 $\mathrm{Rt}△ BFD$ 和 $\mathrm{Rt}△ ACD$ 中，$\begin{cases} BF=AC, \\ FD=CD, \end{cases}$ $\therefore \mathrm{Rt}△ BFD≌\mathrm{Rt}△ ACD(\mathrm{HL})$
【知识点】
1. 三角形高的定义
2. 直角三角形全等判定（HL）
【点评】
本题属于全等判定的基础题型，对基础知识的考察较为直接，解题核心是先利用三角形高的性质确定待证三角形为直角三角形，再匹配对应的全等判定条件完成证明，逻辑链条清晰。
【难度系数】
0.8
要证明两个直角三角形全等，首先根据AD是△ABC的高，可得出∠BDF和∠ADC都是直角，即△BFD和△ACD均为直角三角形；再结合已知给出的斜边BF=AC、直角边FD=CD，恰好符合直角三角形全等判定的HL定理的适用条件，按照该定理的证明格式梳理步骤即可完成求证。
【解析】
证明：
∵ AD是△ABC的高，
∴ ∠ADB=∠ADC=90°，即△BFD和△ACD都是直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ BFD$和$\mathrm{Rt}△ ACD$中，
$\begin{cases} BF=AC, \\ FD=CD, \end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ BFD≌\mathrm{Rt}△ ACD(\mathrm{HL})$
【答案】
$\because$ AD 是$△ ABC$的高，$\therefore ∠ ADB=∠ ADC=90°$. 在 $\mathrm{Rt}△ BFD$ 和 $\mathrm{Rt}△ ACD$ 中，$\begin{cases} BF=AC, \\ FD=CD, \end{cases}$ $\therefore \mathrm{Rt}△ BFD≌\mathrm{Rt}△ ACD(\mathrm{HL})$
【知识点】
1. 三角形高的定义
2. 直角三角形全等判定（HL）
【点评】
本题属于全等判定的基础题型，对基础知识的考察较为直接，解题核心是先利用三角形高的性质确定待证三角形为直角三角形，再匹配对应的全等判定条件完成证明，逻辑链条清晰。
【难度系数】
0.8
8. 如图，$AC ⊥ BC$，$BD ⊥ AD$，$AD=BC$. 求证：$BD=AC$.
小丽说：“可以利用‘AAS’证明.”小贾说：“可以利用‘HL’证明.”小雨说：“可以利用三角形的面积相等证明.”你认为他们的方法可行吗？如果可行，请选择一种方法进行证明.
小丽说：“可以利用‘AAS’证明.”小贾说：“可以利用‘HL’证明.”小雨说：“可以利用三角形的面积相等证明.”你认为他们的方法可行吗？如果可行，请选择一种方法进行证明.
答案：
8. 都可行. 证明①: $\because AC ⊥ BC, BD ⊥ AD, \therefore ∠ D=∠ C=90°$. 在$△ AOD$ 和$△ BOC$ 中，$\begin{cases} ∠ D=∠ C \\ ∠ AOD=∠ BOC, \\ AD=BC \end{cases}$ $\therefore △ AOD≌△ BOC$(AAS), $\therefore AO=BO, DO=CO, \therefore AO+CO=BO+DO$, 即 $BD=AC$. 证明②: 如图，连接 AB.
$\because AC ⊥ BC, BD ⊥ AD, \therefore ∠ D=∠ C=90°$. 在 $\mathrm{Rt}△ ABD$ 和 $\mathrm{Rt}△ BAC$ 中，$\begin{cases} AD=BC, \\ AB=BA, \end{cases}$ $\therefore \mathrm{Rt}△ ABD≌\mathrm{Rt}△ BAC$(HL). $\therefore BD=AC$. 证明③: 连接 AB, 由证明①知$△ AOD≌△ BOC, \therefore S_{△ AOD}=S_{△ BOC}, \therefore S_{△ AOD}+S_{△ AOB}=S_{△ BOC}+S_{△ AOB}$, 即 $S_{△ ABD}=S_{△ ABC}. \because S_{△ ABD}=\frac{1}{2}AD· BD, S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC· AC, \therefore \frac{1}{2}AD· BD=\frac{1}{2}BC· AC. \because AD=BC, \therefore BD=AC$
8. 都可行. 证明①: $\because AC ⊥ BC, BD ⊥ AD, \therefore ∠ D=∠ C=90°$. 在$△ AOD$ 和$△ BOC$ 中，$\begin{cases} ∠ D=∠ C \\ ∠ AOD=∠ BOC, \\ AD=BC \end{cases}$ $\therefore △ AOD≌△ BOC$(AAS), $\therefore AO=BO, DO=CO, \therefore AO+CO=BO+DO$, 即 $BD=AC$. 证明②: 如图，连接 AB.
$\because AC ⊥ BC, BD ⊥ AD, \therefore ∠ D=∠ C=90°$. 在 $\mathrm{Rt}△ ABD$ 和 $\mathrm{Rt}△ BAC$ 中，$\begin{cases} AD=BC, \\ AB=BA, \end{cases}$ $\therefore \mathrm{Rt}△ ABD≌\mathrm{Rt}△ BAC$(HL). $\therefore BD=AC$. 证明③: 连接 AB, 由证明①知$△ AOD≌△ BOC, \therefore S_{△ AOD}=S_{△ BOC}, \therefore S_{△ AOD}+S_{△ AOB}=S_{△ BOC}+S_{△ AOB}$, 即 $S_{△ ABD}=S_{△ ABC}. \because S_{△ ABD}=\frac{1}{2}AD· BD, S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC· AC, \therefore \frac{1}{2}AD· BD=\frac{1}{2}BC· AC. \because AD=BC, \therefore BD=AC$解析：
【分析】
三人的方法均可行。要证明$BD=AC$，可通过证明线段所在三角形全等或面积法求解：①若用AAS证明，观察图形可知$△ AOD$和$△ BOC$中，已知$AD=BC$，由垂直可得两个直角相等，结合对顶角相等，即可用AAS证得两个小三角形全等，再通过线段和差得到$BD=AC$；②若用HL证明，可连接公共边$AB$，构造$\mathrm{Rt}△ ABD$和$\mathrm{Rt}△ BAC$，两个三角形有公共斜边$AB$，且已知直角边$AD=BC$，符合HL判定条件，证全等后直接得对应边$BD=AC$；③若用面积法证明，可先证两个小三角形全等得面积相等，推导得到$△ ABD$和$△ ABC$面积相等，结合面积公式和$AD=BC$的条件，即可推出$BD=AC$。
【解析】
以下选择HL的方法进行证明：
如图，连接$AB$。
$\because AC⊥ BC,BD⊥ AD$，$\therefore ∠ D=∠ C=90°$，即$△ ABD$和$△ BAC$均为直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$和$\mathrm{Rt}△ BAC$中：
$\begin{cases} AD=BC \\ AB=BA \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABD≌\mathrm{Rt}△ BAC(\mathrm{HL})$，
$\therefore BD=AC$。
（选择AAS、面积法证明均可，步骤参照答案即可）
【答案】
都可行. 证明①: $\because AC ⊥ BC, BD ⊥ AD, \therefore ∠ D=∠ C=90°$. 在$△ AOD$ 和$△ BOC$ 中，$\begin{cases} ∠ D=∠ C \\ ∠ AOD=∠ BOC, \\ AD=BC \end{cases}$ $\therefore △ AOD≌△ BOC$(AAS), $\therefore AO=BO, DO=CO, \therefore AO+CO=BO+DO$, 即 $BD=AC$. 证明②: 如图，连接 AB. $\because AC ⊥ BC, BD ⊥ AD, \therefore ∠ D=∠ C=90°$. 在 $\mathrm{Rt}△ ABD$ 和 $\mathrm{Rt}△ BAC$ 中，$\begin{cases} AD=BC, \\ AB=BA, \end{cases}$ $\therefore \mathrm{Rt}△ ABD≌\mathrm{Rt}△ BAC$(HL). $\therefore BD=AC$. 证明③: 连接 AB, 由证明①知$△ AOD≌△ BOC, \therefore S_{△ AOD}=S_{△ BOC}, \therefore S_{△ AOD}+S_{△ AOB}=S_{△ BOC}+S_{△ AOB}$, 即 $S_{△ ABD}=S_{△ ABC}. \because S_{△ ABD}=\frac{1}{2}AD· BD, S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC· AC, \therefore \frac{1}{2}AD· BD=\frac{1}{2}BC· AC. \because AD=BC, \therefore BD=AC$
【知识点】
1. 全等三角形的判定
2. 全等三角形的性质
3. 直角三角形HL判定
【点评】
本题考查全等三角形判定与性质的综合应用，解题时可根据已知条件灵活选择证明方法，构造公共边作为辅助线是几何证明的常用技巧，能帮助快速建立三角形间的等量关系。
【难度系数】
0.75
三人的方法均可行。要证明$BD=AC$，可通过证明线段所在三角形全等或面积法求解：①若用AAS证明，观察图形可知$△ AOD$和$△ BOC$中，已知$AD=BC$，由垂直可得两个直角相等，结合对顶角相等，即可用AAS证得两个小三角形全等，再通过线段和差得到$BD=AC$；②若用HL证明，可连接公共边$AB$，构造$\mathrm{Rt}△ ABD$和$\mathrm{Rt}△ BAC$，两个三角形有公共斜边$AB$，且已知直角边$AD=BC$，符合HL判定条件，证全等后直接得对应边$BD=AC$；③若用面积法证明，可先证两个小三角形全等得面积相等，推导得到$△ ABD$和$△ ABC$面积相等，结合面积公式和$AD=BC$的条件，即可推出$BD=AC$。
【解析】
以下选择HL的方法进行证明：
如图，连接$AB$。
$\because AC⊥ BC,BD⊥ AD$，$\therefore ∠ D=∠ C=90°$，即$△ ABD$和$△ BAC$均为直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$和$\mathrm{Rt}△ BAC$中：
$\begin{cases} AD=BC \\ AB=BA \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABD≌\mathrm{Rt}△ BAC(\mathrm{HL})$，
$\therefore BD=AC$。
（选择AAS、面积法证明均可，步骤参照答案即可）
【答案】
都可行. 证明①: $\because AC ⊥ BC, BD ⊥ AD, \therefore ∠ D=∠ C=90°$. 在$△ AOD$ 和$△ BOC$ 中，$\begin{cases} ∠ D=∠ C \\ ∠ AOD=∠ BOC, \\ AD=BC \end{cases}$ $\therefore △ AOD≌△ BOC$(AAS), $\therefore AO=BO, DO=CO, \therefore AO+CO=BO+DO$, 即 $BD=AC$. 证明②: 如图，连接 AB.
$\because AC ⊥ BC, BD ⊥ AD, \therefore ∠ D=∠ C=90°$. 在 $\mathrm{Rt}△ ABD$ 和 $\mathrm{Rt}△ BAC$ 中，$\begin{cases} AD=BC, \\ AB=BA, \end{cases}$ $\therefore \mathrm{Rt}△ ABD≌\mathrm{Rt}△ BAC$(HL). $\therefore BD=AC$. 证明③: 连接 AB, 由证明①知$△ AOD≌△ BOC, \therefore S_{△ AOD}=S_{△ BOC}, \therefore S_{△ AOD}+S_{△ AOB}=S_{△ BOC}+S_{△ AOB}$, 即 $S_{△ ABD}=S_{△ ABC}. \because S_{△ ABD}=\frac{1}{2}AD· BD, S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC· AC, \therefore \frac{1}{2}AD· BD=\frac{1}{2}BC· AC. \because AD=BC, \therefore BD=AC$【知识点】
1. 全等三角形的判定
2. 全等三角形的性质
3. 直角三角形HL判定
【点评】
本题考查全等三角形判定与性质的综合应用，解题时可根据已知条件灵活选择证明方法，构造公共边作为辅助线是几何证明的常用技巧，能帮助快速建立三角形间的等量关系。
【难度系数】
0.75
9. CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，$CA=CB$. 点E，F在直线CD上，且$∠BEC=∠CFA=∠α$.
（1）若直线CD经过$∠BCA$的内部，且E，F在射线CD上，请回答下列问题：
① 如图①，若$∠BCA=90°$，$∠α=90°$，则$BE$
② 如图②，若$0°＜∠BCA＜180°$，添加一个关于$∠α$与$∠BCA$关系的条件：
（2）如图③，若直线CD经过$∠BCA$的外部，$∠α=∠BCA$，请对$EF$，$BE$，$AF$三条线段的数量关系作出合理猜想（不要求证明）.
（1）若直线CD经过$∠BCA$的内部，且E，F在射线CD上，请回答下列问题：
① 如图①，若$∠BCA=90°$，$∠α=90°$，则$BE$
=
$CF$；$EF$ =
$|BE-AF|$（填“＞”“＜”或“＝”）.② 如图②，若$0°＜∠BCA＜180°$，添加一个关于$∠α$与$∠BCA$关系的条件：
$∠α+∠BCA=180°$
，可使①中的两个结论仍然成立. 请加以证明.（2）如图③，若直线CD经过$∠BCA$的外部，$∠α=∠BCA$，请对$EF$，$BE$，$AF$三条线段的数量关系作出合理猜想（不要求证明）.
答案：9. (1) ① $=$, $=$. ② 所填的条件是$∠ α + ∠ BCA = 180°$. 证明: 在$△ BCE$ 中, $∠ CBE + ∠ BCE = 180° - ∠ BEC = 180° - ∠ α. \because ∠ BCA = 180° - ∠ α, \therefore ∠ CBE + ∠ BCE = ∠ BCA$. 又$\because ∠ ACF + ∠ BCE = ∠ BCA, \therefore ∠ CBE = ∠ ACF. \because BC=CA, ∠ BEC = ∠ CFA, \therefore △ BCE ≌ △ CAF(\mathrm{AAS}). \therefore BE=CF, CE=AF. \because EF=CF-CE, \therefore EF=|BE-AF|$ (2) 猜想 $EF=BE+AF$. $\because ∠ BEC = ∠ CFA = ∠ α, ∠ α = ∠ BCA, ∠ BCA + ∠ BCE + ∠ ACF = 180°, ∠ CFA + ∠ CAF + ∠ ACF = 180°, \therefore ∠ BCE = ∠ CAF$. 又$\because BC=CA, \therefore △ BCE ≌ △ CAF(\mathrm{AAS}). \therefore BE=CF, EC=FA, \therefore EF=EC+CF=BE+AF$
解析：
【分析】
（1）①要判断BE和CF、EF和|BE-AF|的关系，可先通过角的互余关系找出△BCE和△CAF的相等角，结合已知CA=CB、∠BEC=∠CFA，证明两个三角形全等，再根据全等三角形对应边相等推导线段关系；②要让①的结论仍然成立，本质还是要证明△BCE≌△CAF，需推导得出∠CBE=∠ACF，结合三角形内角和定理，可得需要∠α与∠BCA满足互补的关系，再按全等判定的步骤证明即可；（2）直线CD在∠BCA外部时，同样先通过角的和差关系证明△BCE≌△CAF，再根据线段和差推导EF、BE、AF的数量关系。
【解析】
(1) ① 当∠BCA=90°，∠α=90°时：
∵∠BEC=∠CFA=90°，
∴在△BCE中，$∠ CBE + ∠ BCE = 180° - 90° = 90°$，
又
∵$∠ BCA = ∠ BCE + ∠ ACF = 90°$，
∴$∠ CBE = ∠ ACF$，
在△BCE和△CAF中：
$\begin{cases}∠ BEC = ∠ CFA \\∠ CBE = ∠ ACF \\BC = CA\end{cases}$
∴$△ BCE ≌ △ CAF(\mathrm{AAS})$，
∴$BE=CF$，$CE=AF$，
∵$EF=CF-CE$，
∴$EF=BE-AF$，即$EF=|BE-AF|$。
② 添加条件：$\boldsymbol{∠ α + ∠ BCA=180°}$，证明如下：
在△BCE中，$∠ CBE + ∠ BCE = 180° - ∠ BEC = 180° - ∠ α$，
∵$∠ α + ∠ BCA = 180°$，即$∠ BCA = 180° - ∠ α$，
∴$∠ CBE + ∠ BCE = ∠ BCA$，
又
∵$∠ ACF + ∠ BCE = ∠ BCA$，
∴$∠ CBE = ∠ ACF$，
在△BCE和△CAF中：
$\begin{cases}∠ BEC = ∠ CFA \\∠ CBE = ∠ ACF \\BC = CA\end{cases}$
∴$△ BCE ≌ △ CAF(\mathrm{AAS})$，
∴$BE=CF$，$CE=AF$，
∵$EF=CF-CE$，
∴$EF=BE-AF=|BE-AF|$，①中结论仍然成立。
(2) 猜想：$\boldsymbol{EF=BE+AF}$，推导过程如下：
∵$∠ BEC = ∠ CFA = ∠ α$，$∠ α = ∠ BCA$，
又
∵$∠ BCE + ∠ BCA + ∠ ACF = 180°$，$∠ CFA + ∠ ACF + ∠ CAF = 180°$，
∴$∠ BCE = ∠ CAF$，
在△BCE和△CAF中：
$\begin{cases}∠ BEC = ∠ CFA \\∠ BCE = ∠ CAF \\BC = CA\end{cases}$
∴$△ BCE ≌ △ CAF(\mathrm{AAS})$，
∴$BE=CF$，$EC=FA$，
∵$EF=EC+CF$，
∴$EF=BE+AF$。
【答案】
(1) ① $=$，$=$
② $∠ α + ∠ BCA = 180°$，证明见解析
(2) $EF=BE+AF$
【知识点】
全等三角形的判定（AAS），全等三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是全等三角形的探究类问题，遵循从特殊到一般的探究逻辑，分别考查了角在内部、外部两种情形下的全等证明，需要熟练掌握角的等量代换方法，能灵活运用AAS判定三角形全等，再结合边的和差关系推导结论，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
（1）①要判断BE和CF、EF和|BE-AF|的关系，可先通过角的互余关系找出△BCE和△CAF的相等角，结合已知CA=CB、∠BEC=∠CFA，证明两个三角形全等，再根据全等三角形对应边相等推导线段关系；②要让①的结论仍然成立，本质还是要证明△BCE≌△CAF，需推导得出∠CBE=∠ACF，结合三角形内角和定理，可得需要∠α与∠BCA满足互补的关系，再按全等判定的步骤证明即可；（2）直线CD在∠BCA外部时，同样先通过角的和差关系证明△BCE≌△CAF，再根据线段和差推导EF、BE、AF的数量关系。
【解析】
(1) ① 当∠BCA=90°，∠α=90°时：
∵∠BEC=∠CFA=90°，
∴在△BCE中，$∠ CBE + ∠ BCE = 180° - 90° = 90°$，
又
∵$∠ BCA = ∠ BCE + ∠ ACF = 90°$，
∴$∠ CBE = ∠ ACF$，
在△BCE和△CAF中：
$\begin{cases}∠ BEC = ∠ CFA \\∠ CBE = ∠ ACF \\BC = CA\end{cases}$
∴$△ BCE ≌ △ CAF(\mathrm{AAS})$，
∴$BE=CF$，$CE=AF$，
∵$EF=CF-CE$，
∴$EF=BE-AF$，即$EF=|BE-AF|$。
② 添加条件：$\boldsymbol{∠ α + ∠ BCA=180°}$，证明如下：
在△BCE中，$∠ CBE + ∠ BCE = 180° - ∠ BEC = 180° - ∠ α$，
∵$∠ α + ∠ BCA = 180°$，即$∠ BCA = 180° - ∠ α$，
∴$∠ CBE + ∠ BCE = ∠ BCA$，
又
∵$∠ ACF + ∠ BCE = ∠ BCA$，
∴$∠ CBE = ∠ ACF$，
在△BCE和△CAF中：
$\begin{cases}∠ BEC = ∠ CFA \\∠ CBE = ∠ ACF \\BC = CA\end{cases}$
∴$△ BCE ≌ △ CAF(\mathrm{AAS})$，
∴$BE=CF$，$CE=AF$，
∵$EF=CF-CE$，
∴$EF=BE-AF=|BE-AF|$，①中结论仍然成立。
(2) 猜想：$\boldsymbol{EF=BE+AF}$，推导过程如下：
∵$∠ BEC = ∠ CFA = ∠ α$，$∠ α = ∠ BCA$，
又
∵$∠ BCE + ∠ BCA + ∠ ACF = 180°$，$∠ CFA + ∠ ACF + ∠ CAF = 180°$，
∴$∠ BCE = ∠ CAF$，
在△BCE和△CAF中：
$\begin{cases}∠ BEC = ∠ CFA \\∠ BCE = ∠ CAF \\BC = CA\end{cases}$
∴$△ BCE ≌ △ CAF(\mathrm{AAS})$，
∴$BE=CF$，$EC=FA$，
∵$EF=EC+CF$，
∴$EF=BE+AF$。
【答案】
(1) ① $=$，$=$
② $∠ α + ∠ BCA = 180°$，证明见解析
(2) $EF=BE+AF$
【知识点】
全等三角形的判定（AAS），全等三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是全等三角形的探究类问题，遵循从特殊到一般的探究逻辑，分别考查了角在内部、外部两种情形下的全等证明，需要熟练掌握角的等量代换方法，能灵活运用AAS判定三角形全等，再结合边的和差关系推导结论，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6