9. 如图，在$△ ABC$中，$AC=BC$，$D$为边$AB$的中点，$E$为$BC$延长线上的一点，过点$E$作$EF ⊥ AB$，垂足为$F$，交$AC$于点$G$.
（1）求证：$EF // CD$.
（2）求证：$△ CEG$是等腰三角形.
（1）求证：$EF // CD$.
（2）求证：$△ CEG$是等腰三角形.
答案：9. （1）$\because AC=BC$,D为边AB的中点,$\therefore CD⊥ AB. \because EF⊥ AB$,$\therefore EF// CD$
（2）$\because AC=BC$,D为边AB的中点,$\therefore ∠ ACD=∠ BCD. \because EF// CD, \therefore ∠ ACD=∠ EGC, ∠ BCD=∠ E, \therefore ∠ EGC=∠ E$,$\therefore CG=CE$,$\therefore △ CEG$是等腰三角形
（2）$\because AC=BC$,D为边AB的中点,$\therefore ∠ ACD=∠ BCD. \because EF// CD, \therefore ∠ ACD=∠ EGC, ∠ BCD=∠ E, \therefore ∠ EGC=∠ E$,$\therefore CG=CE$,$\therefore △ CEG$是等腰三角形
解析：
【分析】
（1）要证明两条直线平行，可通过“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”推导。首先根据已知AC=BC，D是AB中点，利用等腰三角形三线合一的性质可得CD⊥AB，结合题目给出的EF⊥AB，即可得到EF和CD的平行关系。
（2）要证明△CEG是等腰三角形，只需证明该三角形有两个内角相等，进而得到两边相等。首先利用等腰三角形三线合一的性质得到CD平分∠ACB，即∠ACD=∠BCD；再结合（1）中得到的平行关系，利用平行线的性质得到∠EGC=∠ACD、∠E=∠BCD，等量代换后可得∠EGC=∠E，即可判定△CEG为等腰三角形。
【解析】
（1）证明：
∵AC=BC，D为边AB的中点，
∴CD⊥AB（等腰三角形三线合一），
∵EF⊥AB，
∴EF//CD（垂直于同一条直线的两条直线互相平行）。
（2）证明：
∵AC=BC，D为边AB的中点，
∴CD平分∠ACB（等腰三角形三线合一），即∠ACD=∠BCD，
∵EF//CD，
∴∠ACD=∠EGC（两直线平行，内错角相等），∠BCD=∠E（两直线平行，同位角相等），
∴∠EGC=∠E，
∴CG=CE（等角对等边），
∴△CEG是等腰三角形。
【答案】
（1）EF//CD；
（2）△CEG是等腰三角形。
【知识点】
等腰三角形的性质；平行线的判定与性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于几何基础证明题，重点考察等腰三角形相关定理和平行线的性质与判定的应用，解题的突破口是熟练掌握等腰三角形三线合一的性质，结合平行线的性质完成角的等量代换。
【难度系数】
0.8
（1）要证明两条直线平行，可通过“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”推导。首先根据已知AC=BC，D是AB中点，利用等腰三角形三线合一的性质可得CD⊥AB，结合题目给出的EF⊥AB，即可得到EF和CD的平行关系。
（2）要证明△CEG是等腰三角形，只需证明该三角形有两个内角相等，进而得到两边相等。首先利用等腰三角形三线合一的性质得到CD平分∠ACB，即∠ACD=∠BCD；再结合（1）中得到的平行关系，利用平行线的性质得到∠EGC=∠ACD、∠E=∠BCD，等量代换后可得∠EGC=∠E，即可判定△CEG为等腰三角形。
【解析】
（1）证明：
∵AC=BC，D为边AB的中点，
∴CD⊥AB（等腰三角形三线合一），
∵EF⊥AB，
∴EF//CD（垂直于同一条直线的两条直线互相平行）。
（2）证明：
∵AC=BC，D为边AB的中点，
∴CD平分∠ACB（等腰三角形三线合一），即∠ACD=∠BCD，
∵EF//CD，
∴∠ACD=∠EGC（两直线平行，内错角相等），∠BCD=∠E（两直线平行，同位角相等），
∴∠EGC=∠E，
∴CG=CE（等角对等边），
∴△CEG是等腰三角形。
【答案】
（1）EF//CD；
（2）△CEG是等腰三角形。
【知识点】
等腰三角形的性质；平行线的判定与性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于几何基础证明题，重点考察等腰三角形相关定理和平行线的性质与判定的应用，解题的突破口是熟练掌握等腰三角形三线合一的性质，结合平行线的性质完成角的等量代换。
【难度系数】
0.8
10. 在$△ ABC$中，$D$是边$BC$上的一点，$∠ BDA=∠ BAC$.
（1）如图①，求证：$∠ 1=∠ C$.
（2）如图②，$BE$平分$∠ ABC$，分别交$AC$，$AD$于点$E$，$F$. 求证：$AE=AF$.
（1）如图①，求证：$∠ 1=∠ C$.
（2）如图②，$BE$平分$∠ ABC$，分别交$AC$，$AD$于点$E$，$F$. 求证：$AE=AF$.
答案：10. （1）$\because ∠ B+∠ 1+∠ BDA=180°,∠ B+∠ C+∠ BAC=180°,\therefore ∠ 1=180°-∠ B-∠ BDA,∠ C=180°-∠ B-∠ BAC. \because ∠ BDA=∠ BAC,\therefore 180°-∠ B-∠ BDA=180°-∠ B-∠ BAC,\therefore ∠ 1=∠ C$
（2）$\because BE$平分$∠ ABC,\therefore ∠ ABE=∠ CBE=\frac{1}{2}∠ ABC. \because ∠ BFD=∠ 1+∠ ABE,∠ AEF=∠ C+∠ CBE, \therefore ∠ BFD=∠ AEF. \because ∠ BFD=∠ AFE, \therefore ∠ AEF=∠ AFE,\therefore AE=AF$
（2）$\because BE$平分$∠ ABC,\therefore ∠ ABE=∠ CBE=\frac{1}{2}∠ ABC. \because ∠ BFD=∠ 1+∠ ABE,∠ AEF=∠ C+∠ CBE, \therefore ∠ BFD=∠ AEF. \because ∠ BFD=∠ AFE, \therefore ∠ AEF=∠ AFE,\therefore AE=AF$
解析：
【分析】
（1）要证∠1=∠C，观察可知∠1是△ABD的内角，∠C是△ABC的内角，两个三角形有公共角∠B，且已知∠BDA=∠BAC，结合三角形内角和为180°，分别表示出∠1和∠C，消去相同的角即可证明两角相等。
（2）要证AE=AF，根据等腰三角形“等角对等边”的判定规则，只需证明∠AEF=∠AFE。首先由BE平分∠ABC可得∠ABE=∠CBE，再利用三角形外角的性质，结合（1）中已证的∠1=∠C，可推出∠AEF和∠BFD相等，再结合∠BFD与∠AFE是对顶角相等，即可得∠AEF=∠AFE，从而证明对应边相等。
【解析】
（1）证明：
∵ ∠B + ∠1 + ∠BDA = 180°，∠B + ∠C + ∠BAC = 180°，
∴ ∠1 = 180° - ∠B - ∠BDA，∠C = 180° - ∠B - ∠BAC。
∵ ∠BDA = ∠BAC，
∴ 180° - ∠B - ∠BDA = 180° - ∠B - ∠BAC，
∴ ∠1 = ∠C。
（2）证明：
∵ BE平分∠ABC，
∴ ∠ABE = ∠CBE = $\frac{1}{2}$∠ABC。
∵ ∠BFD = ∠1 + ∠ABE，∠AEF = ∠C + ∠CBE，
结合（1）的结论∠1=∠C，可得∠BFD = ∠AEF。
∵ ∠BFD = ∠AFE（对顶角相等），
∴ ∠AEF = ∠AFE，
∴ AE = AF。
【答案】
（1）∠1=∠C，得证；
（2）AE=AF，得证。
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，等腰三角形的判定
【点评】
本题是三角形相关性质的典型综合练习题，第一问较为基础，侧重考察三角形内角和定理的直接应用；第二问需要结合角平分线、对顶角性质、三角形外角性质以及等腰三角形的判定定理推导，同时需要灵活运用前一问的结论，能够很好地锻炼学生的逻辑推导能力和知识点综合运用能力。
【难度系数】
0.7
（1）要证∠1=∠C，观察可知∠1是△ABD的内角，∠C是△ABC的内角，两个三角形有公共角∠B，且已知∠BDA=∠BAC，结合三角形内角和为180°，分别表示出∠1和∠C，消去相同的角即可证明两角相等。
（2）要证AE=AF，根据等腰三角形“等角对等边”的判定规则，只需证明∠AEF=∠AFE。首先由BE平分∠ABC可得∠ABE=∠CBE，再利用三角形外角的性质，结合（1）中已证的∠1=∠C，可推出∠AEF和∠BFD相等，再结合∠BFD与∠AFE是对顶角相等，即可得∠AEF=∠AFE，从而证明对应边相等。
【解析】
（1）证明：
∵ ∠B + ∠1 + ∠BDA = 180°，∠B + ∠C + ∠BAC = 180°，
∴ ∠1 = 180° - ∠B - ∠BDA，∠C = 180° - ∠B - ∠BAC。
∵ ∠BDA = ∠BAC，
∴ 180° - ∠B - ∠BDA = 180° - ∠B - ∠BAC，
∴ ∠1 = ∠C。
（2）证明：
∵ BE平分∠ABC，
∴ ∠ABE = ∠CBE = $\frac{1}{2}$∠ABC。
∵ ∠BFD = ∠1 + ∠ABE，∠AEF = ∠C + ∠CBE，
结合（1）的结论∠1=∠C，可得∠BFD = ∠AEF。
∵ ∠BFD = ∠AFE（对顶角相等），
∴ ∠AEF = ∠AFE，
∴ AE = AF。
【答案】
（1）∠1=∠C，得证；
（2）AE=AF，得证。
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，等腰三角形的判定
【点评】
本题是三角形相关性质的典型综合练习题，第一问较为基础，侧重考察三角形内角和定理的直接应用；第二问需要结合角平分线、对顶角性质、三角形外角性质以及等腰三角形的判定定理推导，同时需要灵活运用前一问的结论，能够很好地锻炼学生的逻辑推导能力和知识点综合运用能力。
【难度系数】
0.7
11. 如图，在$△ ABC$中，$AO$平分$∠ BAC$，$∠ 1=∠ 2$. 求证：$△ ABC$是等腰三角形. 
(第11题)
(第11题)答案：11. 过点O作$OD⊥ AB$,垂足为D,过点O作$OE⊥ AC$,垂足为E.$\because OD⊥ AB,OE⊥ AC$,AO平分$∠ BAC,\therefore OD=OE. \because ∠ 1=∠ 2,\therefore OB=OC$.在$\mathrm{Rt}△ BDO$和$\mathrm{Rt}△ CEO$中,$\because \mathrm{Rt}△ DOB≌\mathrm{Rt}△ EOC(\mathrm{HL}),\therefore ∠ DBO=∠ ECO,\therefore ∠ ABC=∠ ACB,\therefore AB=AC$
解析：
【分析】
要证明△ABC是等腰三角形，核心是证明AB=AC，即证明∠ABC=∠ACB。已知AO平分∠BAC，可利用角平分线的性质，过O作AB、AC的垂线段，得到两条相等的垂线段；再结合∠1=∠2可推出OB=OC，即可证明两个直角三角形全等，得到对应角相等，进一步推导得到∠ABC=∠ACB，即可完成证明。
【解析】
过点O作$OD⊥ AB$，垂足为D，过点O作$OE⊥ AC$，垂足为E。
$\because OD⊥ AB,OE⊥ AC$，AO平分$∠ BAC$，
$\therefore OD=OE$。
$\because ∠ 1=∠ 2$，
$\therefore OB=OC$。
在$\mathrm{Rt}△ BDO$和$\mathrm{Rt}△ CEO$中，
$\begin{cases} OD=OE \\ OB=OC \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ DOB≌\mathrm{Rt}△ EOC(\mathrm{HL})$，
$\therefore ∠ DBO=∠ ECO$，
$\therefore ∠ DBO+∠1=∠ECO+∠2$，即$∠ABC=∠ACB$，
$\therefore AB=AC$，即△ABC是等腰三角形。
【答案】
△ABC是等腰三角形，得证。
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题是等腰三角形判定的典型题型，合理构造辅助线是解题的突破口，通过结合角平分线性质和全等三角形的判定，将已知条件转化为待证三角形的底角相等，考察了几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
要证明△ABC是等腰三角形，核心是证明AB=AC，即证明∠ABC=∠ACB。已知AO平分∠BAC，可利用角平分线的性质，过O作AB、AC的垂线段，得到两条相等的垂线段；再结合∠1=∠2可推出OB=OC，即可证明两个直角三角形全等，得到对应角相等，进一步推导得到∠ABC=∠ACB，即可完成证明。
【解析】
过点O作$OD⊥ AB$，垂足为D，过点O作$OE⊥ AC$，垂足为E。
$\because OD⊥ AB,OE⊥ AC$，AO平分$∠ BAC$，
$\therefore OD=OE$。
$\because ∠ 1=∠ 2$，
$\therefore OB=OC$。
在$\mathrm{Rt}△ BDO$和$\mathrm{Rt}△ CEO$中，
$\begin{cases} OD=OE \\ OB=OC \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ DOB≌\mathrm{Rt}△ EOC(\mathrm{HL})$，
$\therefore ∠ DBO=∠ ECO$，
$\therefore ∠ DBO+∠1=∠ECO+∠2$，即$∠ABC=∠ACB$，
$\therefore AB=AC$，即△ABC是等腰三角形。
【答案】
△ABC是等腰三角形，得证。
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题是等腰三角形判定的典型题型，合理构造辅助线是解题的突破口，通过结合角平分线性质和全等三角形的判定，将已知条件转化为待证三角形的底角相等，考察了几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7