8. 已知a，b，c是一个三角形的三边长，回答下列问题.
（1）比较大小：$a-b-c$
（2）化简：$|a-b-c| + |b-a-c| - |c+b-a|$.
（1）比较大小：$a-b-c$
＜
$0$，$b-a-c$ ＜
$0$，$c+b-a$ ＞
$0$.（填“＞”“＜”或“=”）（2）化简：$|a-b-c| + |b-a-c| - |c+b-a|$.
答案：8. (1) ＜,＜,＞ (2) 原式=b+c−a+a+c−b−c−b+a=a−b+c
解析：
【分析】
解题核心是运用三角形三边关系判断代数式的正负，再结合绝对值性质化简。第（1）问：回忆三角形“任意两边之和大于第三边”的性质，将待比较的式子变形为两边和与第三边的差的形式，即可判断正负；第（2）问：根据第（1）问得到的各绝对值内式子的正负，按照“负数的绝对值是它的相反数，正数的绝对值是它本身”的规则去绝对值，再合并同类项得到化简结果。
【解析】
（1）根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，可得：
$b+c＞a$，移项得$a-b-c=a-(b+c)＜0$；
$a+c＞b$，移项得$b-a-c=b-(a+c)＜0$；
$b+c＞a$，移项得$c+b-a＞0$。
（2）由（1）的结论，结合绝对值的性质化简：
$|a-b-c|=-(a-b-c)=b+c-a$，
$|b-a-c|=-(b-a-c)=a+c-b$，
$|c+b-a|=c+b-a$，
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=(b+c-a)+(a+c-b)-(c+b-a)\\&=b+c-a+a+c-b-c-b+a\\&=a-b+c\end{aligned}$
【答案】
（1）$＜$，$＜$，$＞$；（2）$a-b+c$
【知识点】
三角形三边关系，绝对值化简，整式加减
【点评】
本题是基础常考题，重点考查三角形三边关系的应用和绝对值的化简规则，熟练掌握三边关系判断代数式正负是解题的关键，计算过程中要注意去括号时的符号变化。
【难度系数】
0.85
解题核心是运用三角形三边关系判断代数式的正负，再结合绝对值性质化简。第（1）问：回忆三角形“任意两边之和大于第三边”的性质，将待比较的式子变形为两边和与第三边的差的形式，即可判断正负；第（2）问：根据第（1）问得到的各绝对值内式子的正负，按照“负数的绝对值是它的相反数，正数的绝对值是它本身”的规则去绝对值，再合并同类项得到化简结果。
【解析】
（1）根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，可得：
$b+c＞a$，移项得$a-b-c=a-(b+c)＜0$；
$a+c＞b$，移项得$b-a-c=b-(a+c)＜0$；
$b+c＞a$，移项得$c+b-a＞0$。
（2）由（1）的结论，结合绝对值的性质化简：
$|a-b-c|=-(a-b-c)=b+c-a$，
$|b-a-c|=-(b-a-c)=a+c-b$，
$|c+b-a|=c+b-a$，
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=(b+c-a)+(a+c-b)-(c+b-a)\\&=b+c-a+a+c-b-c-b+a\\&=a-b+c\end{aligned}$
【答案】
（1）$＜$，$＜$，$＞$；（2）$a-b+c$
【知识点】
三角形三边关系，绝对值化简，整式加减
【点评】
本题是基础常考题，重点考查三角形三边关系的应用和绝对值的化简规则，熟练掌握三边关系判断代数式正负是解题的关键，计算过程中要注意去括号时的符号变化。
【难度系数】
0.85
9. 如图，AB＞AC，∠BDA=∠BAD，∠CEA=∠EAC. 求证：AD＞AE. 
（第9题）
（第9题）答案：9.
∵ AB＞AC,
∴ ∠ACB＞∠ABC.
∵ ∠ACB = ∠CAE + ∠AEC = 2∠AEC, ∠ABC = ∠BAD + ∠ADB = 2∠ADB,
∴ ∠AEC＞∠ADB,
∴ AD＞AE
∵ AB＞AC,
∴ ∠ACB＞∠ABC.
∵ ∠ACB = ∠CAE + ∠AEC = 2∠AEC, ∠ABC = ∠BAD + ∠ADB = 2∠ADB,
∴ ∠AEC＞∠ADB,
∴ AD＞AE
解析：
【分析】
要证明AD＞AE，可借助三角形“大角对大边”的性质，通过推导对应角的大小关系得到结论。首先由已知AB＞AC，在△ABC中利用大边对大角得到∠ACB＞∠ABC；再结合已知的等角条件，利用三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，将∠ACB、∠ABC分别转化为2∠AEC、2∠ADB，进而得到∠AEC和∠ADB的大小关系；最后在△ADE中利用大角对大边即可证得AD＞AE。
【解析】
证明：
∵ AB＞AC，根据三角形中大边对大角，
∴ ∠ACB＞∠ABC。
∵ ∠ACB是△ACE的外角，所以∠ACB = ∠CAE + ∠AEC，又已知∠CEA=∠EAC，因此∠ACB = 2∠AEC；
同理，∠ABC是△ABD的外角，所以∠ABC = ∠BAD + ∠ADB，又已知∠BDA=∠BAD，因此∠ABC = 2∠ADB。
代入∠ACB＞∠ABC可得2∠AEC＞2∠ADB，化简得∠AEC＞∠ADB，
在△ADE中，根据大角对大边，∠AEC对边为AD，∠ADB对边为AE，
∴ AD＞AE。
【答案】
∵ AB＞AC,
∴ ∠ACB＞∠ABC.
∵ ∠ACB = ∠CAE + ∠AEC = 2∠AEC, ∠ABC = ∠BAD + ∠ADB = 2∠ADB,
∴ ∠AEC＞∠ADB,
∴ AD＞AE
【知识点】
大边对大角、三角形外角性质、等腰三角形性质
【点评】
本题是三角形边角关系的典型基础题，解题核心是通过外角性质实现不同三角形内角关系的转化，能有效巩固学生对三角形边、角不等关系推导逻辑的掌握。
【难度系数】
0.7
要证明AD＞AE，可借助三角形“大角对大边”的性质，通过推导对应角的大小关系得到结论。首先由已知AB＞AC，在△ABC中利用大边对大角得到∠ACB＞∠ABC；再结合已知的等角条件，利用三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，将∠ACB、∠ABC分别转化为2∠AEC、2∠ADB，进而得到∠AEC和∠ADB的大小关系；最后在△ADE中利用大角对大边即可证得AD＞AE。
【解析】
证明：
∵ AB＞AC，根据三角形中大边对大角，
∴ ∠ACB＞∠ABC。
∵ ∠ACB是△ACE的外角，所以∠ACB = ∠CAE + ∠AEC，又已知∠CEA=∠EAC，因此∠ACB = 2∠AEC；
同理，∠ABC是△ABD的外角，所以∠ABC = ∠BAD + ∠ADB，又已知∠BDA=∠BAD，因此∠ABC = 2∠ADB。
代入∠ACB＞∠ABC可得2∠AEC＞2∠ADB，化简得∠AEC＞∠ADB，
在△ADE中，根据大角对大边，∠AEC对边为AD，∠ADB对边为AE，
∴ AD＞AE。
【答案】
∵ AB＞AC,
∴ ∠ACB＞∠ABC.
∵ ∠ACB = ∠CAE + ∠AEC = 2∠AEC, ∠ABC = ∠BAD + ∠ADB = 2∠ADB,
∴ ∠AEC＞∠ADB,
∴ AD＞AE
【知识点】
大边对大角、三角形外角性质、等腰三角形性质
【点评】
本题是三角形边角关系的典型基础题，解题核心是通过外角性质实现不同三角形内角关系的转化，能有效巩固学生对三角形边、角不等关系推导逻辑的掌握。
【难度系数】
0.7
10. 观察并探究下列问题：
（1）如图①，在△ABC中，P为边BC上的一点，则BP＋PC
（2）将图①中点P移到△ABC内，得图②，比较△BPC的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由.
（3）将图②中点P变为两个点P₁，P₂，得图③，比较四边形BP₁P₂C的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由.
（1）如图①，在△ABC中，P为边BC上的一点，则BP＋PC
＜
AB＋AC（填“＞”“＜”或“＝”）.（2）将图①中点P移到△ABC内，得图②，比较△BPC的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由.
（3）将图②中点P变为两个点P₁，P₂，得图③，比较四边形BP₁P₂C的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由.
答案：
10. (1) ＜ (2) △BPC 的周长比较小. 理由:如图①,延长 BP 交 AC 于点 M,在△ABM 中,BP+PM＜AB+AM,在△PMC 中,PC＜PM+MC,两式相加得 BP+PC＜AB+AC,所以△BPC 的周长比△ABC 的周长小 (3) 四边形 BP₁P₂C 的周长＜△ABC 的周长,理由:如图②,分别延长BP₁,CP₂ 交于点 M,由(2)知,BM+CM＜AB+AC,因为 P₁P₂＜P₁M+P₂M,可得 BP₁+P₁P₂+P₂C＜BM+CM＜AB+AC,得证
10. (1) ＜ (2) △BPC 的周长比较小. 理由:如图①,延长 BP 交 AC 于点 M,在△ABM 中,BP+PM＜AB+AM,在△PMC 中,PC＜PM+MC,两式相加得 BP+PC＜AB+AC,所以△BPC 的周长比△ABC 的周长小 (3) 四边形 BP₁P₂C 的周长＜△ABC 的周长,理由:如图②,分别延长BP₁,CP₂ 交于点 M,由(2)知,BM+CM＜AB+AC,因为 P₁P₂＜P₁M+P₂M,可得 BP₁+P₁P₂+P₂C＜BM+CM＜AB+AC,得证
解析：
【分析】
（1）第一问直接利用三角形三边关系判断：三角形任意两边之和大于第三边，在△ABC中AB+AC＞BC，而BC=BP+PC，即可得出大小关系；
（2）第二问比较两个三角形的周长时，二者都包含公共边BC，因此只需比较BP+PC与AB+AC的大小即可。通过作辅助线延长BP交AC于点M，拆分出两个小三角形，分别应用三边关系得到两个不等式，相加化简后即可得到BP+PC＜AB+AC，进而推出周长的大小关系；
（3）第三问是第二问的拓展，类比第二问的思路，先延长BP₁、CP₂交于点M，转化为第二问的单一点模型，先得到BM+CM＜AB+AC，再在△MP₁P₂中利用三边关系得到P₁P₂＜P₁M+P₂M，通过线段代换和不等式传递性，即可得到四边形对应边的和小于AB+AC，加上公共边BC后即可得到周长的大小关系。
【解析】
（1）在△ABC中，根据三角形三边关系，得$AB+AC＞BC$，又$\because BC=BP+PC$，$\therefore BP+PC＜AB+AC$，故填$＜$；
（2）$△ BPC$的周长小于$△ ABC$的周长，理由如下：
如图①，延长$BP$交$AC$于点$M$。
在$△ ABM$中，根据三角形三边关系，得$BP+PM＜AB+AM$ ①；
在$△ PMC$中，根据三角形三边关系，得$PC＜PM+MC$ ②；
将①+②，得$BP+PM+PC＜AB+AM+PM+MC$，两边同时减去$PM$，得$BP+PC＜AB+AM+MC$，即$BP+PC＜AB+AC$。
$\because △ BPC$的周长$=BP+PC+BC$，$△ ABC$的周长$=AB+AC+BC$，
$\therefore △ BPC$的周长$＜△ ABC$的周长；
（3）四边形$BP_1P_2C$的周长小于$△ ABC$的周长，理由如下：
如图②，分别延长$BP_1$、$CP_2$交于点$M$。
由（2）的结论可知，在$△ MBC$中，$BM+CM＜AB+AC$ ①；
在$△ MP_1P_2$中，根据三角形三边关系，得$P_1P_2＜P_1M+P_2M$ ②；
将②代入①，可得$BP_1+P_1M + P_2M + P_2C ＜AB+AC$，
$\therefore BP_1+P_1P_2+P_2C＜BP_1+P_1M + P_2M + P_2C＜AB+AC$，
$\because$四边形$BP_1P_2C$的周长$=BP_1+P_1P_2+P_2C+BC$，$△ ABC$的周长$=AB+AC+BC$，
$\therefore$四边形$BP_1P_2C$的周长$＜△ ABC$的周长。
【答案】
10. (1) ＜ (2) △BPC 的周长比较小. 理由:如图①,延长 BP 交 AC 于点 M,在△ABM 中,BP+PM＜AB+AM,在△PMC 中,PC＜PM+MC,两式相加得 BP+PC＜AB+AC,所以△BPC 的周长比△ABC 的周长小 (3) 四边形 BP₁P₂C 的周长＜△ABC 的周长,理由:如图②,分别延长BP₁,CP₂ 交于点 M,由(2)知,BM+CM＜AB+AC,因为 P₁P₂＜P₁M+P₂M,可得 BP₁+P₁P₂+P₂C＜BM+CM＜AB+AC,得证
【知识点】
三角形三边关系、周长计算、不等式的性质
【点评】
本题围绕三角形三边关系展开递进式探究，从点在边上到点在三角形内，再到两个点在三角形内，考查学生的类比迁移能力和逻辑推理能力。解题的关键是掌握“延长线段构造三角形”的辅助线作法，将复杂的线段大小比较问题转化为多个三角形的三边关系问题求解。
【难度系数】
0.65
（1）第一问直接利用三角形三边关系判断：三角形任意两边之和大于第三边，在△ABC中AB+AC＞BC，而BC=BP+PC，即可得出大小关系；
（2）第二问比较两个三角形的周长时，二者都包含公共边BC，因此只需比较BP+PC与AB+AC的大小即可。通过作辅助线延长BP交AC于点M，拆分出两个小三角形，分别应用三边关系得到两个不等式，相加化简后即可得到BP+PC＜AB+AC，进而推出周长的大小关系；
（3）第三问是第二问的拓展，类比第二问的思路，先延长BP₁、CP₂交于点M，转化为第二问的单一点模型，先得到BM+CM＜AB+AC，再在△MP₁P₂中利用三边关系得到P₁P₂＜P₁M+P₂M，通过线段代换和不等式传递性，即可得到四边形对应边的和小于AB+AC，加上公共边BC后即可得到周长的大小关系。
【解析】
（1）在△ABC中，根据三角形三边关系，得$AB+AC＞BC$，又$\because BC=BP+PC$，$\therefore BP+PC＜AB+AC$，故填$＜$；
（2）$△ BPC$的周长小于$△ ABC$的周长，理由如下：
如图①，延长$BP$交$AC$于点$M$。
在$△ ABM$中，根据三角形三边关系，得$BP+PM＜AB+AM$ ①；
在$△ PMC$中，根据三角形三边关系，得$PC＜PM+MC$ ②；
将①+②，得$BP+PM+PC＜AB+AM+PM+MC$，两边同时减去$PM$，得$BP+PC＜AB+AM+MC$，即$BP+PC＜AB+AC$。
$\because △ BPC$的周长$=BP+PC+BC$，$△ ABC$的周长$=AB+AC+BC$，
$\therefore △ BPC$的周长$＜△ ABC$的周长；
（3）四边形$BP_1P_2C$的周长小于$△ ABC$的周长，理由如下：
如图②，分别延长$BP_1$、$CP_2$交于点$M$。
由（2）的结论可知，在$△ MBC$中，$BM+CM＜AB+AC$ ①；
在$△ MP_1P_2$中，根据三角形三边关系，得$P_1P_2＜P_1M+P_2M$ ②；
将②代入①，可得$BP_1+P_1M + P_2M + P_2C ＜AB+AC$，
$\therefore BP_1+P_1P_2+P_2C＜BP_1+P_1M + P_2M + P_2C＜AB+AC$，
$\because$四边形$BP_1P_2C$的周长$=BP_1+P_1P_2+P_2C+BC$，$△ ABC$的周长$=AB+AC+BC$，
$\therefore$四边形$BP_1P_2C$的周长$＜△ ABC$的周长。
【答案】
10. (1) ＜ (2) △BPC 的周长比较小. 理由:如图①,延长 BP 交 AC 于点 M,在△ABM 中,BP+PM＜AB+AM,在△PMC 中,PC＜PM+MC,两式相加得 BP+PC＜AB+AC,所以△BPC 的周长比△ABC 的周长小 (3) 四边形 BP₁P₂C 的周长＜△ABC 的周长,理由:如图②,分别延长BP₁,CP₂ 交于点 M,由(2)知,BM+CM＜AB+AC,因为 P₁P₂＜P₁M+P₂M,可得 BP₁+P₁P₂+P₂C＜BM+CM＜AB+AC,得证
【知识点】
三角形三边关系、周长计算、不等式的性质
【点评】
本题围绕三角形三边关系展开递进式探究，从点在边上到点在三角形内，再到两个点在三角形内，考查学生的类比迁移能力和逻辑推理能力。解题的关键是掌握“延长线段构造三角形”的辅助线作法，将复杂的线段大小比较问题转化为多个三角形的三边关系问题求解。
【难度系数】
0.65