11. 如图，已知$△ ABC(AC＜AB＜BC)$，请用直尺和圆规完成下列作图(不要求写作法，保留作图痕迹)：
(1) 在边AB上求作一点M，使得点M到AC，BC的距离相等；
(2) 在边BC上求作一点N，使得$NA+NB=BC$.
(1) 在边AB上求作一点M，使得点M到AC，BC的距离相等；
(2) 在边BC上求作一点N，使得$NA+NB=BC$.
答案：
11. 如图，M,N为所要求作的点
11. 如图，M,N为所要求作的点
解析：
【分析】
(1) 要找AB上到AC、BC距离相等的点，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可知该点在∠ACB的角平分线上，因此只需作∠ACB的角平分线，与AB的交点即为所求的点M。
(2) 要找BC上的点N满足NA+NB=BC，观察BC的组成：BC=BN+NC，因此只需满足NA=NC即可，根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可知该点在AC的垂直平分线上，因此只需作AC的垂直平分线，与BC的交点即为所求的点N。
【解析】
(1) 作∠ACB的角平分线，交AB于点M，根据角平分线的性质，点M到AC、BC的距离相等，符合要求。
(2) 作线段AC的垂直平分线，交BC于点N，根据线段垂直平分线的性质可得NA=NC，因此NA+NB=NC+NB=BC，符合要求。
【答案】
11. 如图，M,N为所要求作的点
【知识点】
1. 角平分线的性质
2. 线段垂直平分线的性质
3. 尺规作图
【点评】
本题属于基础作图类题目，核心是将题目中的距离等量条件转化为对应的几何性质，再结合基本尺规作图的方法完成作图，需要熟练掌握角平分线、线段垂直平分线的性质以及对应的尺规作图步骤。
【难度系数】
0.8
(1) 要找AB上到AC、BC距离相等的点，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可知该点在∠ACB的角平分线上，因此只需作∠ACB的角平分线，与AB的交点即为所求的点M。
(2) 要找BC上的点N满足NA+NB=BC，观察BC的组成：BC=BN+NC，因此只需满足NA=NC即可，根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可知该点在AC的垂直平分线上，因此只需作AC的垂直平分线，与BC的交点即为所求的点N。
【解析】
(1) 作∠ACB的角平分线，交AB于点M，根据角平分线的性质，点M到AC、BC的距离相等，符合要求。
(2) 作线段AC的垂直平分线，交BC于点N，根据线段垂直平分线的性质可得NA=NC，因此NA+NB=NC+NB=BC，符合要求。
【答案】
11. 如图，M,N为所要求作的点
【知识点】
1. 角平分线的性质
2. 线段垂直平分线的性质
3. 尺规作图
【点评】
本题属于基础作图类题目，核心是将题目中的距离等量条件转化为对应的几何性质，再结合基本尺规作图的方法完成作图，需要熟练掌握角平分线、线段垂直平分线的性质以及对应的尺规作图步骤。
【难度系数】
0.8
12. 如图，点C，B，D在同一条直线上，$△ ABC$和$△ ADE$都是等边三角形.
（1）请找出图中的全等三角形，并说明理由.
（2）求证：$EB// AC$.
（1）请找出图中的全等三角形，并说明理由.
（2）求证：$EB// AC$.
答案：12. (1) △ACD≌△ABE. 因为△ABC,△ADE为等边三角形,所以AB=AC,AE=AD,∠BAC=∠DAE=60°. 则∠BAC+∠BAD=∠DAE+∠BAD,即∠CAD=∠BAE. 故△ACD≌△ABE
(2) 因为△ACD≌△ABE,所以∠ABE=∠C=60°,所以∠ABE=∠BAC,所以EB//AC
(2) 因为△ACD≌△ABE,所以∠ABE=∠C=60°,所以∠ABE=∠BAC,所以EB//AC
解析：
【分析】
（1）要找全等三角形，先利用等边三角形的性质得到相等的边和角：等边三角形三边相等、三个内角都是60°，可得$AB=AC$、$AE=AD$，$∠ BAC=∠ DAE=60°$；再通过角的和差，给两个相等的60°角同时加上公共角$∠ BAD$，即可得到相等的夹角$∠ CAD=∠ BAE$，满足SAS全等判定条件，即可确定全等三角形。
（2）要证明$EB// AC$，可通过证明内错角相等推导：由第一问的全等结论可得对应角$∠ ABE=∠ C=60°$，而等边$△ ABC$中$∠ BAC$也为60°，得到一组相等的内错角，即可推出两直线平行。
【解析】
（1）全等三角形为$△ ACD ≌ △ ABE$，理由如下：
$\because △ ABC$和$△ ADE$都是等边三角形，
$\therefore AB=AC$，$AE=AD$，$∠ BAC=∠ DAE=∠ C=60°$，
$\therefore ∠ BAC + ∠ BAD = ∠ DAE + ∠ BAD$，即$∠ CAD = ∠ BAE$，
在$△ ACD$和$△ ABE$中：
$\begin{cases}AC=AB \\∠ CAD=∠ BAE \\AD=AE\end{cases}$
$\therefore △ ACD ≌ △ ABE \ (\mathrm{SAS})$。
（2）证明：
$\because △ ACD ≌ △ ABE$，
$\therefore ∠ ABE = ∠ C = 60°$，
又$\because ∠ BAC = 60°$，
$\therefore ∠ ABE = ∠ BAC$，
$\therefore EB // AC$（内错角相等，两直线平行）。
【答案】
(1) $\boxed{△ ACD ≌ △ ABE}$，理由：$△ ABC$、$△ ADE$为等边三角形，故$AB=AC$，$AE=AD$，$∠ BAC=∠ DAE=60°$，则$∠ BAC+∠ BAD=∠ DAE+∠ BAD$，即$∠ CAD=∠ BAE$，根据SAS可证$△ ACD ≌ △ ABE$；
(2) 由$△ ACD ≌ △ ABE$得$∠ ABE=∠ C=60°$，故$∠ ABE=∠ BAC$，因此$EB// AC$。
【知识点】
等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定
【点评】
本题是几何证明的基础综合题，解题核心是熟练运用等边三角形的边、角特性推导全等的条件，再借助全等三角形对应角相等的性质得到平行判定所需的角相等关系，是全等三角形与平行线证明结合的典型题型。
【难度系数】
0.7
（1）要找全等三角形，先利用等边三角形的性质得到相等的边和角：等边三角形三边相等、三个内角都是60°，可得$AB=AC$、$AE=AD$，$∠ BAC=∠ DAE=60°$；再通过角的和差，给两个相等的60°角同时加上公共角$∠ BAD$，即可得到相等的夹角$∠ CAD=∠ BAE$，满足SAS全等判定条件，即可确定全等三角形。
（2）要证明$EB// AC$，可通过证明内错角相等推导：由第一问的全等结论可得对应角$∠ ABE=∠ C=60°$，而等边$△ ABC$中$∠ BAC$也为60°，得到一组相等的内错角，即可推出两直线平行。
【解析】
（1）全等三角形为$△ ACD ≌ △ ABE$，理由如下：
$\because △ ABC$和$△ ADE$都是等边三角形，
$\therefore AB=AC$，$AE=AD$，$∠ BAC=∠ DAE=∠ C=60°$，
$\therefore ∠ BAC + ∠ BAD = ∠ DAE + ∠ BAD$，即$∠ CAD = ∠ BAE$，
在$△ ACD$和$△ ABE$中：
$\begin{cases}AC=AB \\∠ CAD=∠ BAE \\AD=AE\end{cases}$
$\therefore △ ACD ≌ △ ABE \ (\mathrm{SAS})$。
（2）证明：
$\because △ ACD ≌ △ ABE$，
$\therefore ∠ ABE = ∠ C = 60°$，
又$\because ∠ BAC = 60°$，
$\therefore ∠ ABE = ∠ BAC$，
$\therefore EB // AC$（内错角相等，两直线平行）。
【答案】
(1) $\boxed{△ ACD ≌ △ ABE}$，理由：$△ ABC$、$△ ADE$为等边三角形，故$AB=AC$，$AE=AD$，$∠ BAC=∠ DAE=60°$，则$∠ BAC+∠ BAD=∠ DAE+∠ BAD$，即$∠ CAD=∠ BAE$，根据SAS可证$△ ACD ≌ △ ABE$；
(2) 由$△ ACD ≌ △ ABE$得$∠ ABE=∠ C=60°$，故$∠ ABE=∠ BAC$，因此$EB// AC$。
【知识点】
等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定
【点评】
本题是几何证明的基础综合题，解题核心是熟练运用等边三角形的边、角特性推导全等的条件，再借助全等三角形对应角相等的性质得到平行判定所需的角相等关系，是全等三角形与平行线证明结合的典型题型。
【难度系数】
0.7