14. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD.
（1）求证：AD=BC.
（2）已知P为边BC上的一点，请只用直 尺 （不带刻度）作图：在边AD上作一点Q，使得AQ=CP. 保留作图痕迹，并证明AQ=CP.
（1）求证：AD=BC.
（2）已知P为边BC上的一点，请只用
答案：(1) 因为$OA=OC$，$OB=OD$，$∠AOD=∠COB$，所以$△AOD≌△COB$，则$AD=BC$
(2) 作图方法：连接$PO$并延长$PO$交$AD$于点$Q$. 由(1)得$△AOD≌△COB$，则$∠DAO=∠BCO$，又$OA=OC$，$∠AOQ=∠COP$，所以$△AOQ≌△COP$，故$AQ=CP$
(2) 作图方法：连接$PO$并延长$PO$交$AD$于点$Q$. 由(1)得$△AOD≌△COB$，则$∠DAO=∠BCO$，又$OA=OC$，$∠AOQ=∠COP$，所以$△AOQ≌△COP$，故$AQ=CP$
解析：
【分析】
（1）要证明AD=BC，可通过证明两条线段所在的三角形全等求解：题目已知OA=OC，OB=OD，再结合对顶角相等的性质，即可用SAS判定△AOD和△COB全等，从而得到对应边相等的结论。
（2）要构造AQ=CP，同样可以利用全等三角形的性质：由（1）的全等可得∠OAD=∠OCB，结合已知OA=OC，只要构造一组对顶角相等即可得到全等三角形，因此只需用直尺连接PO并延长，与AD的交点即为所求的Q点，再通过ASA证明△AOQ≌△COP即可得证。
【解析】
（1）证明：
∵ OA=OC，OB=OD，∠AOD=∠COB（对顶角相等）
∴ △AOD ≌ △COB（SAS）
∴ AD=BC（全等三角形的对应边相等）
（2）作图步骤：连接PO并延长PO，交AD于点Q，点Q即为所求。
证明：
由（1）中△AOD≌△COB，可得∠OAD=∠OCB，
又
∵ OA=OC，∠AOQ=∠COP（对顶角相等）
∴ △AOQ ≌ △COP（ASA）
∴ AQ=CP（全等三角形的对应边相等）
【答案】
(1) 因为$OA=OC$，$OB=OD$，$∠AOD=∠COB$，所以$△AOD≌△COB$，则$AD=BC$
(2) 作图方法：连接$PO$并延长$PO$交$AD$于点$Q$. 由(1)得$△AOD≌△COB$，则$∠DAO=∠BCO$，又$OA=OC$，$∠AOQ=∠COP$，所以$△AOQ≌△COP$，故$AQ=CP$
【知识点】
1. 全等三角形判定与性质
2. 对顶角性质
3. 无刻度直尺作图
【点评】
本题属于几何基础题，既考查了全等三角形的常规证明，又考查了利用全等性质的作图应用，能够很好地巩固逻辑推理能力，同时锻炼逆向思维和动手操作能力。
【难度系数】
0.7
（1）要证明AD=BC，可通过证明两条线段所在的三角形全等求解：题目已知OA=OC，OB=OD，再结合对顶角相等的性质，即可用SAS判定△AOD和△COB全等，从而得到对应边相等的结论。
（2）要构造AQ=CP，同样可以利用全等三角形的性质：由（1）的全等可得∠OAD=∠OCB，结合已知OA=OC，只要构造一组对顶角相等即可得到全等三角形，因此只需用直尺连接PO并延长，与AD的交点即为所求的Q点，再通过ASA证明△AOQ≌△COP即可得证。
【解析】
（1）证明：
∵ OA=OC，OB=OD，∠AOD=∠COB（对顶角相等）
∴ △AOD ≌ △COB（SAS）
∴ AD=BC（全等三角形的对应边相等）
（2）作图步骤：连接PO并延长PO，交AD于点Q，点Q即为所求。
证明：
由（1）中△AOD≌△COB，可得∠OAD=∠OCB，
又
∵ OA=OC，∠AOQ=∠COP（对顶角相等）
∴ △AOQ ≌ △COP（ASA）
∴ AQ=CP（全等三角形的对应边相等）
【答案】
(1) 因为$OA=OC$，$OB=OD$，$∠AOD=∠COB$，所以$△AOD≌△COB$，则$AD=BC$
(2) 作图方法：连接$PO$并延长$PO$交$AD$于点$Q$. 由(1)得$△AOD≌△COB$，则$∠DAO=∠BCO$，又$OA=OC$，$∠AOQ=∠COP$，所以$△AOQ≌△COP$，故$AQ=CP$
【知识点】
1. 全等三角形判定与性质
2. 对顶角性质
3. 无刻度直尺作图
【点评】
本题属于几何基础题，既考查了全等三角形的常规证明，又考查了利用全等性质的作图应用，能够很好地巩固逻辑推理能力，同时锻炼逆向思维和动手操作能力。
【难度系数】
0.7
15. 如图，在四边形ABCD中，$AB=AD$，$∠ A=∠ C=90°$，且$BC+CD=6$. 求四边形ABCD的面积.
（第15题）
（第15题）答案：连接$CA$，将线段$CA$绕点$A$按顺时针方向旋转$90°$，得到线段$EA$，连接$BE$. 因为$∠DAB=∠CAE=90°$，所以$∠DAC=∠BAE$. 又因为$AB=AD$，$AC=AE$，故$△DAC≌△BAE$，故$∠D=∠ABE$，$DC=BE$. 因为$∠A=∠C=90°$，所以$∠B+∠D=180°$，故$∠ABC+∠D=180°$，即$∠ABC+∠ABE=180°$，故$B,C,E$三点共线. 所以$CE=BC+BE=BC+CD=6$，而$△ACE$是等腰直角三角形，其斜边$CE$上的高为斜边的一半，即$3$，所以$S_{四边形ABCD}=S_{△ACE}=\frac{1}{2}×6×3=9$
解析：
【分析】
本题所求的四边形ABCD是不规则图形，无法直接用面积公式计算。观察已知条件可知AB=AD、∠A=90°，因此可以通过旋转构造全等三角形，将△ADC绕点A旋转使AD与AB重合，把分散的边BC、CD整合为一条线段，同时将四边形的面积转化为规则等腰直角三角形的面积，进而求解。
【解析】
解：连接CA，将线段CA绕点A按顺时针方向旋转90°，得到线段EA，连接BE。
∵ $∠ DAB=∠ CAE=90°$，
∴ $∠ DAB-∠ CAB=∠ CAE-∠ CAB$，即$∠ DAC=∠ BAE$。
在$△ DAC$和$△ BAE$中：
$\begin{cases}AD=AB\\∠ DAC=∠ BAE\\AC=AE\end{cases}$
∴ $△ DAC≌△ BAE(\mathrm{SAS})$，
∴ $DC=BE$，$∠ D=∠ ABE$。
∵ 四边形内角和为$360°$，$∠ DAB=∠ C=90°$，
∴ $∠ D+∠ ABC=360°-90°-90°=180°$，
∴ $∠ ABE+∠ ABC=180°$，即点C、B、E在同一条直线上。
∴ $CE=BC+BE=BC+CD=6$。
∵ $AC=AE$，$∠ CAE=90°$，
∴ $△ ACE$是等腰直角三角形，
等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半，故斜边CE上的高为$6÷2=3$，
∴ $S_{△ ACE}=\frac{1}{2}×6×3=9$。
又
∵ $S_{四边形ABCD}=S_{△ ADC}+S_{△ ABC}=S_{△ ABE}+S_{△ ABC}=S_{△ ACE}$，
∴ 四边形ABCD的面积为9。
【答案】
$\boldsymbol{9}$
【知识点】
旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题通过旋转构造全等图形实现了不规则图形面积向规则图形面积的转化，解题核心是利用旋转的性质整合已知条件，证明三点共线是本题的关键步骤。
【难度系数】
0.4
本题所求的四边形ABCD是不规则图形，无法直接用面积公式计算。观察已知条件可知AB=AD、∠A=90°，因此可以通过旋转构造全等三角形，将△ADC绕点A旋转使AD与AB重合，把分散的边BC、CD整合为一条线段，同时将四边形的面积转化为规则等腰直角三角形的面积，进而求解。
【解析】
解：连接CA，将线段CA绕点A按顺时针方向旋转90°，得到线段EA，连接BE。
∵ $∠ DAB=∠ CAE=90°$，
∴ $∠ DAB-∠ CAB=∠ CAE-∠ CAB$，即$∠ DAC=∠ BAE$。
在$△ DAC$和$△ BAE$中：
$\begin{cases}AD=AB\\∠ DAC=∠ BAE\\AC=AE\end{cases}$
∴ $△ DAC≌△ BAE(\mathrm{SAS})$，
∴ $DC=BE$，$∠ D=∠ ABE$。
∵ 四边形内角和为$360°$，$∠ DAB=∠ C=90°$，
∴ $∠ D+∠ ABC=360°-90°-90°=180°$，
∴ $∠ ABE+∠ ABC=180°$，即点C、B、E在同一条直线上。
∴ $CE=BC+BE=BC+CD=6$。
∵ $AC=AE$，$∠ CAE=90°$，
∴ $△ ACE$是等腰直角三角形，
等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半，故斜边CE上的高为$6÷2=3$，
∴ $S_{△ ACE}=\frac{1}{2}×6×3=9$。
又
∵ $S_{四边形ABCD}=S_{△ ADC}+S_{△ ABC}=S_{△ ABE}+S_{△ ABC}=S_{△ ACE}$，
∴ 四边形ABCD的面积为9。
【答案】
$\boldsymbol{9}$
【知识点】
旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题通过旋转构造全等图形实现了不规则图形面积向规则图形面积的转化，解题核心是利用旋转的性质整合已知条件，证明三点共线是本题的关键步骤。
【难度系数】
0.4