11. $2a - 1$有无平方根？如果有，请写出来；如果没有，请说明理由。
答案：11. ① 当$a＜\dfrac{1}{2}$时，$2a-1$没有平方根；② 当$a=\dfrac{1}{2}$时，$2a-1$有一个平方根0；③ 当$a＞\dfrac{1}{2}$时，$2a-1$有两个平方根为$\sqrt{2a-1}$和$-\sqrt{2a-1}$
解析：
【分析】
要判断含字母的代数式有无平方根，首先要明确平方根的核心性质：只有非负数（正数和0）才有平方根，负数没有平方根。本题中2a-1的符号随a的取值变化而变化，因此需要先找到2a-1正负性的分界点（即2a-1=0时a=1/2），再分三类讨论a的取值范围，进而判断2a-1的平方根情况。
【解析】
解：根据平方根的性质，仅非负数存在平方根，分情况讨论如下：
① 当$2a-1＜0$，即$a＜\dfrac{1}{2}$时，$2a-1$为负数，负数没有平方根，因此此时$2a-1$没有平方根；
② 当$2a-1=0$，即$a=\dfrac{1}{2}$时，$2a-1$的值为0，0的平方根是0，因此此时$2a-1$有一个平方根为0；
③ 当$2a-1＞0$，即$a＞\dfrac{1}{2}$时，$2a-1$为正数，正数有两个互为相反数的平方根，因此此时$2a-1$的平方根为$\sqrt{2a-1}$和$-\sqrt{2a-1}$。
【答案】
① 当$a＜\dfrac{1}{2}$时，$2a-1$没有平方根；② 当$a=\dfrac{1}{2}$时，$2a-1$有一个平方根0；③ 当$a＞\dfrac{1}{2}$时，$2a-1$有两个平方根为$\sqrt{2a-1}$和$-\sqrt{2a-1}$
【知识点】
平方根的性质；分类讨论；不等式求解
【点评】
本题是平方根性质的基础应用题型，易错点是忽略a的取值不确定性，未进行分类讨论，直接默认2a-1是非负数或负数，解题时需牢牢把握被开方数必须为非负数的前提。
【难度系数】
0.7
要判断含字母的代数式有无平方根，首先要明确平方根的核心性质：只有非负数（正数和0）才有平方根，负数没有平方根。本题中2a-1的符号随a的取值变化而变化，因此需要先找到2a-1正负性的分界点（即2a-1=0时a=1/2），再分三类讨论a的取值范围，进而判断2a-1的平方根情况。
【解析】
解：根据平方根的性质，仅非负数存在平方根，分情况讨论如下：
① 当$2a-1＜0$，即$a＜\dfrac{1}{2}$时，$2a-1$为负数，负数没有平方根，因此此时$2a-1$没有平方根；
② 当$2a-1=0$，即$a=\dfrac{1}{2}$时，$2a-1$的值为0，0的平方根是0，因此此时$2a-1$有一个平方根为0；
③ 当$2a-1＞0$，即$a＞\dfrac{1}{2}$时，$2a-1$为正数，正数有两个互为相反数的平方根，因此此时$2a-1$的平方根为$\sqrt{2a-1}$和$-\sqrt{2a-1}$。
【答案】
① 当$a＜\dfrac{1}{2}$时，$2a-1$没有平方根；② 当$a=\dfrac{1}{2}$时，$2a-1$有一个平方根0；③ 当$a＞\dfrac{1}{2}$时，$2a-1$有两个平方根为$\sqrt{2a-1}$和$-\sqrt{2a-1}$
【知识点】
平方根的性质；分类讨论；不等式求解
【点评】
本题是平方根性质的基础应用题型，易错点是忽略a的取值不确定性，未进行分类讨论，直接默认2a-1是非负数或负数，解题时需牢牢把握被开方数必须为非负数的前提。
【难度系数】
0.7
12. 如图，将两个面积为$15\ \mathrm{cm}^2$的小正方形按如图所示的方式拼成一个大正方形.
（1）求大正方形的边长.
（2）想在这个大正方形的四周粘上彩纸，请问$20\ \mathrm{cm}$长的彩纸够吗？请说明理由.
（1）求大正方形的边长.
（2）想在这个大正方形的四周粘上彩纸，请问$20\ \mathrm{cm}$长的彩纸够吗？请说明理由.
答案：12. (1) 因为大正方形的面积为$30\ \mathrm{cm}^2$,所以大正方形的边长为$\sqrt{30}\ \mathrm{cm}$
(2) 不够,理由如下:因为分到每条边的彩纸长为$20÷4=5(\mathrm{cm})$,且$5＜\sqrt{30}$,所以$20\ \mathrm{cm}$长的彩纸不够
(2) 不够,理由如下:因为分到每条边的彩纸长为$20÷4=5(\mathrm{cm})$,且$5＜\sqrt{30}$,所以$20\ \mathrm{cm}$长的彩纸不够
解析：
【分析】
（1）解决第一问首先明确拼接前后图形总面积不变，大正方形的面积等于两个小正方形面积之和，再结合正方形面积公式，边长为面积的算术平方根，即可求出大正方形边长。
（2）解决第二问本质是比较大正方形周长和20cm的大小：先计算20cm彩纸对应正方形的单边长，再通过平方法比较该长度和大正方形边长的大小，若大正方形边长更长，则彩纸不够，反之则够。
【解析】
（1）解：两个小正方形的面积均为$15\ \mathrm{cm}^2$，拼接成大正方形后总面积不变，因此大正方形的面积为$15+15=30\ \mathrm{cm}^2$。
设大正方形的边长为$a\ \mathrm{cm}$，根据正方形面积公式$S=a^2$，且边长为正数，可得$a=\sqrt{30}$。
（2）解：$20\ \mathrm{cm}$长的彩纸不够，理由如下：
若用$20\ \mathrm{cm}$的彩纸围正方形，每条边的长度为$20÷4=5\ \mathrm{cm}$。
将5和$\sqrt{30}$分别平方得：$5^2=25$，$(\sqrt{30})^2=30$，因为$25＜30$，所以$5＜\sqrt{30}$，即大正方形边长大于$5\ \mathrm{cm}$，因此大正方形周长大于$4×5=20\ \mathrm{cm}$，彩纸不够。
【答案】
（1）大正方形的边长为$\sqrt{30}\ \mathrm{cm}$；
（2）不够，理由：分到每条边的彩纸长为$20÷4=5(\mathrm{cm})$，且$5＜\sqrt{30}$，所以$20\ \mathrm{cm}$长的彩纸不够。
【知识点】
算术平方根的应用，实数大小比较，正方形周长与面积计算
【点评】
本题结合图形拼接场景考查平方根相关知识，既需要掌握算术平方根的计算方法，也需要熟练掌握有理数和无理数比较大小的平方法，能有效锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
（1）解决第一问首先明确拼接前后图形总面积不变，大正方形的面积等于两个小正方形面积之和，再结合正方形面积公式，边长为面积的算术平方根，即可求出大正方形边长。
（2）解决第二问本质是比较大正方形周长和20cm的大小：先计算20cm彩纸对应正方形的单边长，再通过平方法比较该长度和大正方形边长的大小，若大正方形边长更长，则彩纸不够，反之则够。
【解析】
（1）解：两个小正方形的面积均为$15\ \mathrm{cm}^2$，拼接成大正方形后总面积不变，因此大正方形的面积为$15+15=30\ \mathrm{cm}^2$。
设大正方形的边长为$a\ \mathrm{cm}$，根据正方形面积公式$S=a^2$，且边长为正数，可得$a=\sqrt{30}$。
（2）解：$20\ \mathrm{cm}$长的彩纸不够，理由如下：
若用$20\ \mathrm{cm}$的彩纸围正方形，每条边的长度为$20÷4=5\ \mathrm{cm}$。
将5和$\sqrt{30}$分别平方得：$5^2=25$，$(\sqrt{30})^2=30$，因为$25＜30$，所以$5＜\sqrt{30}$，即大正方形边长大于$5\ \mathrm{cm}$，因此大正方形周长大于$4×5=20\ \mathrm{cm}$，彩纸不够。
【答案】
（1）大正方形的边长为$\sqrt{30}\ \mathrm{cm}$；
（2）不够，理由：分到每条边的彩纸长为$20÷4=5(\mathrm{cm})$，且$5＜\sqrt{30}$，所以$20\ \mathrm{cm}$长的彩纸不够。
【知识点】
算术平方根的应用，实数大小比较，正方形周长与面积计算
【点评】
本题结合图形拼接场景考查平方根相关知识，既需要掌握算术平方根的计算方法，也需要熟练掌握有理数和无理数比较大小的平方法，能有效锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
13. 阅读材料：
小明是一位善于思考、勇于创新的同学. 在学习了有关平方根的知识后，小明知道负数没有平方根. 例如，因为没有一个数的平方等于-1，所以-1没有平方根. 小明想：假设存在一个数i，使$\mathrm{i}^2=-1$，那么$(-\mathrm{i})^2=-1$，因此-1就有两个平方根了. 进一步，小明想：因为$(±2\mathrm{i})^2=-4$，所以-4的平方根就是$±2\mathrm{i}$.
请你根据上面的信息，按照小明的设想求-16，-25的“平方根”.
小明是一位善于思考、勇于创新的同学. 在学习了有关平方根的知识后，小明知道负数没有平方根. 例如，因为没有一个数的平方等于-1，所以-1没有平方根. 小明想：假设存在一个数i，使$\mathrm{i}^2=-1$，那么$(-\mathrm{i})^2=-1$，因此-1就有两个平方根了. 进一步，小明想：因为$(±2\mathrm{i})^2=-4$，所以-4的平方根就是$±2\mathrm{i}$.
请你根据上面的信息，按照小明的设想求-16，-25的“平方根”.
答案：13. $\because (\pm 4\mathrm{i})^2=-16,\therefore \pm\sqrt{-16}=\pm 4\mathrm{i}.$
$\because (\pm 5\mathrm{i})^2=-25,\therefore \pm\sqrt{-25}=\pm 5\mathrm{i}.$ 所以$-16,-25$的“平方根”分别为$\pm 4\mathrm{i},\pm 5\mathrm{i}$
$\because (\pm 5\mathrm{i})^2=-25,\therefore \pm\sqrt{-25}=\pm 5\mathrm{i}.$ 所以$-16,-25$的“平方根”分别为$\pm 4\mathrm{i},\pm 5\mathrm{i}$
解析：
【分析】
解决本题首先要读懂材料给出的新运算规则：规定$\mathrm{i}^2=-1$，再结合已学的平方根定义（若$x^2=a$，则$x$是$a$的平方根），类比材料中求负数平方根的方法解题即可。具体思路为：求负数$-m$（$m$为正数）的平方根时，先找到正数$k$使$k^2=m$，那么$(±k\mathrm{i})^2=k^2·\mathrm{i}^2=-k^2=-m$，因此$±k\mathrm{i}$就是$-m$的平方根。
【解析】
根据材料给出的$\mathrm{i}^2=-1$的规则计算：
1. 计算-16的平方根：
$\because (±4\mathrm{i})^2=(±4)^2×\mathrm{i}^2=16×(-1)=-16$
$\therefore \pm\sqrt{-16}=±4\mathrm{i}$
2. 计算-25的平方根：
$\because (±5\mathrm{i})^2=(±5)^2×\mathrm{i}^2=25×(-1)=-25$
$\therefore \pm\sqrt{-25}=±5\mathrm{i}$
【答案】
$-16,-25$的“平方根”分别为$\pm 4\mathrm{i},\pm 5\mathrm{i}$
【知识点】
1. 平方根的定义
2. 新定义运算
3. 乘方运算
【点评】
本题是材料阅读类题型，主要考查对新定义的理解能力和知识迁移能力，解题的核心是读懂材料中$\mathrm{i}$的运算规则，结合已掌握的平方根知识即可求解。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要读懂材料给出的新运算规则：规定$\mathrm{i}^2=-1$，再结合已学的平方根定义（若$x^2=a$，则$x$是$a$的平方根），类比材料中求负数平方根的方法解题即可。具体思路为：求负数$-m$（$m$为正数）的平方根时，先找到正数$k$使$k^2=m$，那么$(±k\mathrm{i})^2=k^2·\mathrm{i}^2=-k^2=-m$，因此$±k\mathrm{i}$就是$-m$的平方根。
【解析】
根据材料给出的$\mathrm{i}^2=-1$的规则计算：
1. 计算-16的平方根：
$\because (±4\mathrm{i})^2=(±4)^2×\mathrm{i}^2=16×(-1)=-16$
$\therefore \pm\sqrt{-16}=±4\mathrm{i}$
2. 计算-25的平方根：
$\because (±5\mathrm{i})^2=(±5)^2×\mathrm{i}^2=25×(-1)=-25$
$\therefore \pm\sqrt{-25}=±5\mathrm{i}$
【答案】
$-16,-25$的“平方根”分别为$\pm 4\mathrm{i},\pm 5\mathrm{i}$
【知识点】
1. 平方根的定义
2. 新定义运算
3. 乘方运算
【点评】
本题是材料阅读类题型，主要考查对新定义的理解能力和知识迁移能力，解题的核心是读懂材料中$\mathrm{i}$的运算规则，结合已掌握的平方根知识即可求解。
【难度系数】
0.8