【分析】
解题时先回忆实数相关的基础概念：首先，我们已知有理数可化为有限小数或无限循环小数，对应地，课本明确规定无限不循环小数的名称是无理数，可直接填第一个空。再类比有理数的分类逻辑，有理数按正负可分为正有理数、0、负有理数，而0属于有理数，不属于无理数范畴，因此无理数仅需要按正负分为两类即可。
【解析】
1. 填写第一个空：根据无理数的定义，无限不循环小数叫作无理数，因此第一空填无理数。
2. 填写后两个空：参考有理数按性质符号的分类规则，排除属于有理数的0，可知无理数分为正无理数和负无理数。
【答案】
无理数，正无理数，负无理数
【知识点】
无理数的定义；无理数的分类
【点评】
本题是基础概念考查题，主要考察对无理数相关概念的识记和区分，答题时要注意0属于有理数，不属于无理数，避免混淆有理数和无理数的分类规则。
【难度系数】
0.9

【分析】
要找到大于2且小于3的无理数，首先要明确两个核心要求：一是该数为无理数（即无限不循环小数，常见类型有开方开不尽的数、含π的数等），二是数值介于2和3之间。我们可以借助算术平方根的性质推导：先把2和3转化为算术平方根的形式，2对应√4，3对应√9，因此只要找到一个介于4和9之间的非完全平方数，它的算术平方根就会介于2和3之间，且因开方开不尽属于无理数，即可满足题目要求。
【解析】
步骤1：将区间端点转化为算术平方根形式
因为 $2 = \sqrt{2^2} = \sqrt{4}$，$3 = \sqrt{3^2} = \sqrt{9}$
步骤2：确定符合要求的被开方数
要得到大于2小于3的数，只需取被开方数$a$满足 $4 ＜ a ＜ 9$，且$a$不是完全平方数（保证$\sqrt{a}$是无理数）。
步骤3：举例验证
比如取$a=5$，此时$\sqrt{5}$满足$\sqrt{4}＜\sqrt{5}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{5}＜3$，且$\sqrt{5}$是开方开不尽的数，属于无理数，符合要求。（也可选取$\sqrt{6}$、$\sqrt{7}$等其他符合条件的数）
【答案】
√5（答案不唯一）
【知识点】
无理数的定义；实数的大小比较；算术平方根的性质
【点评】
本题属于开放型基础题，重点考查对无理数概念的理解和实数大小比较方法的运用，解题核心是通过平方运算将数的大小范围转化为被开方数的范围，降低思考难度，答案不唯一，只要同时满足“无理数”和“大小介于2~3之间”两个条件即可。
【难度系数】
0.9

【分析】
解题思路如下：第一步，回忆正方形面积公式，正方形面积=边长×边长，即$S=a^2$，因此已知面积求边长时，边长为面积的算术平方根；第二步，分别计算面积为3和4的正方形的边长；第三步，结合有理数的定义（整数和分数统称有理数，无理数是无限不循环小数，不属于有理数）判断两个边长是否为有理数。
【解析】
设正方形的边长为$a$（$a＞0$），根据正方形面积公式$S=a^2$：
1. 当$S=3$时，$a^2=3$，因此$a=\sqrt{3}$。$\sqrt{3}$是无限不循环小数，属于无理数，因此不是有理数；
2. 当$S=4$时，$a^2=4$，因此$a=\sqrt{4}=2$。2是整数，整数属于有理数，因此是有理数。
【答案】
不是，是
【知识点】
正方形面积计算、有理数的概念、算术平方根
【点评】
本题属于基础概念考查题，结合几何图形的边长计算，考察对有理数和无理数的区分能力，解题关键是能准确计算算术平方根并明确有理数的范围。
【难度系数】
0.9

【分析】
要解决这道题，首先需要明确无理数和有理数的定义：无限不循环小数是无理数，整数和分数统称为有理数（有限小数、无限循环小数都属于有理数）。解题时先化简各选项中带根号的数，再逐个判断每个数的类别，只要选项中存在有理数就可以排除该选项，最终选出所有数都是无理数的选项即可。
【解析】
首先明确概念：有理数包含整数、分数，本质是有限小数或无限循环小数；无理数是无限不循环小数，常见类型有开方开不尽的数、含$π$的数、无限不循环小数。
对各选项逐一分析：
A选项：$-2$、$6$是整数，$\dfrac{1}{6}$是分数，均属于有理数，不符合要求；
B选项：$\sqrt{64}=8$，和$9$都是整数，属于有理数，仅$-\sqrt{10}$是无理数，不符合要求；
C选项：$\dfrac{1}{11}$是分数，属于有理数，仅$π$、$\sqrt{31}$是无理数，不符合要求；
D选项：$-\sqrt{42}$、$\sqrt{30}$都是开方开不尽的数，$-π$是含$π$的数，三者均为无限不循环小数，都是无理数，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
无理数的识别，实数的分类，算术平方根化简
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题关键是牢记无理数的定义和常见类型，注意带根号的数要先化简再判断是否为无理数，避免直接把带根号的数都判定为无理数。
【难度系数】
0.8

【分析】
要解决这道题，首先明确解题的核心逻辑：正方形的面积等于边长的平方，因此边长是对应面积的算术平方根。我们只需要先算出每个选项中面积对应的算术平方根，再结合无理数的定义（无限不循环小数，开方开不尽的数属于常见的无理数）判断即可。如果算术平方根是整数，说明边长是有理数，反之开方开不尽的话边长就是无理数。
【解析】
设正方形的边长为$a$，根据正方形面积公式$S=a^2$，可得边长$a=\sqrt{S}$（$a＞0$），逐个分析选项：
选项A：面积$S=9$，则$a=\sqrt{9}=3$，3是整数，属于有理数，不符合要求；
选项B：面积$S=49$，则$a=\sqrt{49}=7$，7是整数，属于有理数，不符合要求；
选项C：面积$S=8$，则$a=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$是开方开不尽的数，属于无理数，因此边长为无理数，符合要求；
选项D：面积$S=25$，则$a=\sqrt{25}=5$，5是整数，属于有理数，不符合要求。
【答案】
C
【知识点】
正方形面积公式、算术平方根计算、无理数定义
【点评】
本题属于基础题，结合几何图形性质考查数的分类，只要熟练掌握算术平方根的计算方法和无理数的判定规则，就能快速得出正确答案。
【难度系数】
0.9

【分析】
解题思路：首先明确有理数和无理数的定义，有理数是整数和分数的统称，本质为有限小数或无限循环小数；无理数是无限不循环小数，常见类型有开方开不尽的数、含π的数等。解题时先对含根式的数进行化简，再逐个判断每个数的所属类别，注意不要看到根号就判定为无理数，只有开方开不尽的数才是无理数。
【解析】
第一步：先化简带根号的数：
$-\sqrt{4}=-2$，$\sqrt[3]{8}=2$，$-\sqrt{0.4}=-\sqrt{\frac{2}{5}}$（开方开不尽）。
第二步：根据定义逐个判断：
1. 有理数范畴包含整数、分数（有限小数、无限循环小数都可转化为分数，属于有理数）：
$-\frac{11}{12}$是分数，属于有理数；$-\sqrt{4}=-2$是整数，属于有理数；0是整数，属于有理数；$\sqrt[3]{8}=2$是整数，属于有理数；$0.\dot{2}\dot{3}$是无限循环小数，属于有理数；3.14是有限小数，属于有理数。
2. 无理数是无限不循环小数：
$\sqrt[3]{2}$开立方开不尽，为无限不循环小数，属于无理数；$-\sqrt{0.4}$开平方开不尽，属于无理数；$\frac{π}{4}$中π是无限不循环小数，因此$\frac{π}{4}$也为无限不循环小数，属于无理数。
【答案】
有理数集合：$-\frac{11}{12},-\sqrt{4},0,\sqrt[3]{8},0.\dot{2}\dot{3},3.14$；
无理数集合：$\sqrt[3]{2},-\sqrt{0.4},\frac{π}{4}$
【知识点】
有理数的定义、无理数的定义、实数的分类
【点评】
本题是实数分类的基础题，解题核心是准确掌握有理数和无理数的概念，注意要先化简带根号的数再判断，避免误将开得尽方的根式归为无理数。
【难度系数】
0.8

【分析】
要说明一个命题是错误的，只需举出满足命题题设但不满足命题结论的反例即可。本题要求的反例需要符合两个条件：①两个数都是无理数；②两个数的和是有理数。根据“互为相反数的两个数相加得0，0是有理数”的性质，我们只需选取两个互为相反数的无理数，就能构造出符合要求的反例，比如π和它的相反数-π。
【解析】
我们可以构造如下反例：
1. 取两个数：π和-π。根据无理数的定义（无限不循环小数是无理数），π是无限不循环小数，属于无理数；-π同样是无限不循环小数，也属于无理数。
2. 计算两数的和：$π + (-π) = π - π = 0$，0是整数，属于有理数。
该例子满足“两个数是无理数，但和是有理数”，因此可以说明“两个无理数的和仍是无理数”是错误的，类似例子如$\sqrt{2} + (-\sqrt{2})=0$等也成立。
【答案】
$π-π=0$（答案不唯一）
【知识点】
1. 无理数的概念
2. 实数的加法运算
【点评】
本题是开放性基础题，考查对无理数概念的理解和假命题的判断方法，解题关键是明确推翻假命题只需举出一个符合要求的反例即可，利用互为相反数的和为有理数的性质可以快速构造反例。
【难度系数】
0.8

【分析】
解题时先明确题目要求：写出一个无理数，可结合题干给出的背景思考。第一步回忆无理数的定义：无限不循环小数是无理数；第二步结合题干中“边长为1的正方形的对角线长不能用有理数表示”的提示，用勾股定理计算该对角线的长度，就能得到贴合题意的无理数。
【解析】
首先明确无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数，常见的无理数包含开方开不尽的方根、含π的数等。
根据题干给出的背景，边长为1的正方形，由勾股定理可计算对角线的长度：
$\mathrm{对角线长}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$
$\sqrt{2}$是开方开不尽的数，属于无限不循环小数，是无理数，符合题意。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
无理数的概念；勾股定理的应用
【点评】
本题结合数学史背景考查无理数的相关知识，引导学生结合实例理解抽象概念，既检验了对基础概念的掌握情况，也能帮助学生了解无理数的起源，提升对数学学科的兴趣。
【难度系数】
0.9

【分析】
本题考查无理数的相关性质判断，解题思路为逐一验证4个说法的正误：对于全称命题，可通过逻辑推导证明正确性，或举反例证明其错误。首先明确无理数是无限不循环小数，再分别分析每个说法：①②可通过反证法推导证明，③④可通过举常见反例直接判断错误，最终选出正确选项。
【解析】
我们逐个分析4个说法：
① 无理数与非零有理数的积是无理数：假设无理数a与非零有理数b的乘积c是有理数，则$a = c÷ b$，由于两个有理数的商仍为有理数，与a是无理数矛盾，故①正确；
② 无理数与有理数的和一定是无理数：假设无理数a与有理数b的和c是有理数，则$a = c - b$，由于两个有理数的差仍为有理数，与a是无理数矛盾，故②正确；
③ 带根号的数是无理数：举反例：$\sqrt{4}=2$，2是有理数，说明带根号的数不一定是无理数，故③错误；
④ 无理数的平方是有理数：举反例：$π$是无理数，$π^2$仍然是无理数，故④错误。
综上，正确的说法是①②，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
无理数的定义；实数的运算性质
【点评】
本题是无理数相关概念的基础考查题，解题的关键是熟练掌握无理数的定义，学会用反证法、举反例的方法判断命题的正误，要注意避开“带根号的数都是无理数”“无理数的平方都是有理数”这类常见认知误区。
【难度系数】
0.75

【分析】
要判断a所在的区间，首先需确定a中无理数$\sqrt{2}$的取值范围，我们可以通过比较平方数的大小来估算$\sqrt{2}$的范围，再利用不等式的性质变形得到a的范围，最后对应选项即可。具体步骤：第一步，找与2相邻的两个完全平方数，得到$\sqrt{2}$的范围；第二步，对不等式两边同除以2，得到$\frac{\sqrt{2}}{2}$的范围；第三步，不等式两边同乘-1，注意不等号方向改变，得到$a=-\frac{\sqrt{2}}{2}$的范围，匹配选项选出答案。
【解析】
解：$\because 1^2=1$，$2^2=4$，且$1＜2＜4$
$\therefore$ 根据算术平方根的性质，可得$1＜\sqrt{2}＜2$
不等式两边同时除以2，不等号方向不变，得：
$\frac{1}{2}＜\frac{\sqrt{2}}{2}＜1$
不等式两边同时乘以$-1$，不等号方向改变，得：
$-1＜-\frac{\sqrt{2}}{2}＜-\frac{1}{2}$
又$\because a=-\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\therefore -1＜a＜-\frac{1}{2}$
故选：C
【答案】
C
【知识点】
无理数的估算；不等式的性质；实数大小比较
【点评】
本题是实数相关的基础题型，解题关键是掌握通过平方数估算无理数范围的方法，同时要注意不等式两边乘负数时不等号方向需要改变。
【难度系数】
0.8