11. 写出所有大于$-\sqrt{5}$且小于$\sqrt{17}$的整数.
答案：11. -2,-1,0,1,2,3,4
解析：
【分析】
要找出大于$-\sqrt{5}$且小于$\sqrt{17}$的整数，首先需要估算出$-\sqrt{5}$和$\sqrt{17}$的大致取值范围，再根据范围筛选符合条件的整数。第一步利用常见平方数估算$\sqrt{5}$的范围，推导得到$-\sqrt{5}$的范围；第二步估算$\sqrt{17}$的范围；第三步在两个边界的取值范围内找出所有整数即可。
【解析】
首先用“夹逼法”估算两个无理数的范围：
1. 因为$2^2=4$，$3^2=9$，且$4＜5＜9$，所以$\sqrt{4}＜\sqrt{5}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{5}＜3$，不等式两边同时乘$-1$，不等号方向改变，可得$-3＜-\sqrt{5}＜-2$；
2. 因为$4^2=16$，$5^2=25$，且$16＜17＜25$，所以$\sqrt{16}＜\sqrt{17}＜\sqrt{25}$，即$4＜\sqrt{17}＜5$；
3. 设满足条件的整数为$x$，则$-\sqrt{5}＜x＜\sqrt{17}$，结合上述范围可知$x$需满足大于$-3$且小于$5$，符合条件的整数为$-2,-1,0,1,2,3,4$。
【答案】
$-2,-1,0,1,2,3,4$
【知识点】
无理数的估算；实数大小比较；整数的概念
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是掌握用“夹逼法”估算无理数的取值范围，熟记常见整数的平方数能大幅提升解题效率，筛选整数时要注意边界值是否符合要求，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.8
要找出大于$-\sqrt{5}$且小于$\sqrt{17}$的整数，首先需要估算出$-\sqrt{5}$和$\sqrt{17}$的大致取值范围，再根据范围筛选符合条件的整数。第一步利用常见平方数估算$\sqrt{5}$的范围，推导得到$-\sqrt{5}$的范围；第二步估算$\sqrt{17}$的范围；第三步在两个边界的取值范围内找出所有整数即可。
【解析】
首先用“夹逼法”估算两个无理数的范围：
1. 因为$2^2=4$，$3^2=9$，且$4＜5＜9$，所以$\sqrt{4}＜\sqrt{5}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{5}＜3$，不等式两边同时乘$-1$，不等号方向改变，可得$-3＜-\sqrt{5}＜-2$；
2. 因为$4^2=16$，$5^2=25$，且$16＜17＜25$，所以$\sqrt{16}＜\sqrt{17}＜\sqrt{25}$，即$4＜\sqrt{17}＜5$；
3. 设满足条件的整数为$x$，则$-\sqrt{5}＜x＜\sqrt{17}$，结合上述范围可知$x$需满足大于$-3$且小于$5$，符合条件的整数为$-2,-1,0,1,2,3,4$。
【答案】
$-2,-1,0,1,2,3,4$
【知识点】
无理数的估算；实数大小比较；整数的概念
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是掌握用“夹逼法”估算无理数的取值范围，熟记常见整数的平方数能大幅提升解题效率，筛选整数时要注意边界值是否符合要求，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.8
12. 如图是一个无理数筛选器的工作流程图.
（1）当x为9时，求y的值；
（2）如果输入0或1，那么
（3）当输出的y的值是$\sqrt{5}$时，请写出满足题意的x值：
（1）当x为9时，求y的值；
（2）如果输入0或1，那么
不能
（填“能”或“不能”）输出y值；（3）当输出的y的值是$\sqrt{5}$时，请写出满足题意的x值：
5,25（答案不唯一）
.（写出两个即可）答案：12. （1）当输入$x=9$时，9的算术平方根为3，不是无理数，3的算术平方根为$\sqrt{3}$，即$y=\sqrt{3}$ （2）不能 （3）当$y=\sqrt{5}$时，$y^2=(\sqrt{5})^2=5$，此时$x=5$；当$y=\sqrt{5}$时，$y^2=(\sqrt{5})^2=5,5^2=25$，此时$x=25$（答案不唯一）
解析：
【分析】首先明确无理数筛选器的运算规则：输入x后，先计算x的算术平方根，判断该结果是否为无理数，若是则直接输出；若不是，则将该结果作为新的x重新进入运算流程，直到得到无理数输出。
针对三个小问的思考路径：
（1）输入x=9时，按规则逐步计算算术平方根，直到得到无理数即可；
（2）输入0或1时，先计算两者的算术平方根，发现结果仍为自身，均为有理数，会进入无限循环，因此无法输出；
（3）已知输出y=√5，可逆向推导：输出前一步的数就是y的平方，再前一步就是该结果的平方，以此类推即可得到多个符合要求的x值。
【解析】
（1）当输入x=9时：
第一步：计算9的算术平方根，$\sqrt{9}=3$，3是有理数，不符合输出条件，将3作为新的输入值；
第二步：计算3的算术平方根，$\sqrt{3}$是无理数，符合输出条件，因此$y=\sqrt{3}$。
（2）当输入x=0时，0的算术平方根是0，为有理数，反复计算仍为0，无法得到无理数；当输入x=1时，1的算术平方根是1，为有理数，反复计算仍为1，无法得到无理数，因此不能输出y值。
（3）已知输出$y=\sqrt{5}$，逆向推导：
若仅经过1次运算就输出，则输入的x就是$(\sqrt{5})^2=5$；
若经过2次运算才输出，则第一次运算的结果是5，因此输入的x是$5^2=25$，还可以继续推导得到更多符合要求的x值，任选两个即可。
【答案】
（1）$\sqrt{3}$；（2）不能；（3）5、25（答案不唯一）
【知识点】
算术平方根运算，无理数识别，流程图运算
【点评】
本题将算术平方根、无理数的知识点与流程图结合，考查对运算规则的理解和正向、逆向推导能力，解题时要注意0和1的算术平方根是其本身这一特殊情况，避免判断错误。
【难度系数】
0.7
针对三个小问的思考路径：
（1）输入x=9时，按规则逐步计算算术平方根，直到得到无理数即可；
（2）输入0或1时，先计算两者的算术平方根，发现结果仍为自身，均为有理数，会进入无限循环，因此无法输出；
（3）已知输出y=√5，可逆向推导：输出前一步的数就是y的平方，再前一步就是该结果的平方，以此类推即可得到多个符合要求的x值。
【解析】
（1）当输入x=9时：
第一步：计算9的算术平方根，$\sqrt{9}=3$，3是有理数，不符合输出条件，将3作为新的输入值；
第二步：计算3的算术平方根，$\sqrt{3}$是无理数，符合输出条件，因此$y=\sqrt{3}$。
（2）当输入x=0时，0的算术平方根是0，为有理数，反复计算仍为0，无法得到无理数；当输入x=1时，1的算术平方根是1，为有理数，反复计算仍为1，无法得到无理数，因此不能输出y值。
（3）已知输出$y=\sqrt{5}$，逆向推导：
若仅经过1次运算就输出，则输入的x就是$(\sqrt{5})^2=5$；
若经过2次运算才输出，则第一次运算的结果是5，因此输入的x是$5^2=25$，还可以继续推导得到更多符合要求的x值，任选两个即可。
【答案】
（1）$\sqrt{3}$；（2）不能；（3）5、25（答案不唯一）
【知识点】
算术平方根运算，无理数识别，流程图运算
【点评】
本题将算术平方根、无理数的知识点与流程图结合，考查对运算规则的理解和正向、逆向推导能力，解题时要注意0和1的算术平方根是其本身这一特殊情况，避免判断错误。
【难度系数】
0.7
13. 给定一个无理数 $ x $，对于任意有理数 $ a $，$ b $，如果 $ ax + b = 0 $，那么 $ a = b = 0 $. 这种说法正确吗？说明理由.（提示：可以使用反证法）
答案：13. 假设$a≠0$,则$ax=-b$,$x=-\frac{b}{a}$,$x$为有理数,与$x$为无理数矛盾.所以$a=0$,从而$b=0$.故结论正确
解析：
【分析】
要判断该说法是否正确，可采用题目提示的反证法推导：首先反设结论不成立，即假设存在不全为0的有理数a、b满足ax+b=0，我们优先假设a≠0，此时可将方程变形求出x的表达式，再结合a、b均为有理数的条件判断x的属性，若推出x为有理数，就和已知x是无理数矛盾，即可证明假设不成立，进而验证原结论正确。
【解析】
我们用反证法证明：
1. 假设$a ≠ 0$，对等式$ax + b = 0$移项可得$ax = -b$，两边同时除以不为0的a，得$x = -\frac{b}{a}$。
2. 已知a、b都是有理数，且有理数的商（除数不为0）仍为有理数，因此$-\frac{b}{a}$是有理数，即x为有理数，这与“x是无理数”的已知条件矛盾。
3. 因此假设$a ≠ 0$不成立，即$a = 0$，将$a = 0$代入原等式$ax + b = 0$，可得$b = 0$。
综上可证，若$ax + b = 0$，则必有$a = b = 0$。
【答案】
这种说法正确。假设$a≠0$,则$ax=-b$,$x=-\frac{b}{a}$,$x$为有理数,与$x$为无理数矛盾.所以$a=0$,从而$b=0$.故结论正确
【知识点】
反证法；有理数运算性质；无理数定义
【点评】
本题重点考查反证法的应用以及有理数、无理数的概念辨析，解题核心是通过合理反设，推导出和已知条件矛盾的结果，进而证明原命题成立，能帮助学生巩固反证法的操作步骤和实数的相关性质。
【难度系数】
0.8
要判断该说法是否正确，可采用题目提示的反证法推导：首先反设结论不成立，即假设存在不全为0的有理数a、b满足ax+b=0，我们优先假设a≠0，此时可将方程变形求出x的表达式，再结合a、b均为有理数的条件判断x的属性，若推出x为有理数，就和已知x是无理数矛盾，即可证明假设不成立，进而验证原结论正确。
【解析】
我们用反证法证明：
1. 假设$a ≠ 0$，对等式$ax + b = 0$移项可得$ax = -b$，两边同时除以不为0的a，得$x = -\frac{b}{a}$。
2. 已知a、b都是有理数，且有理数的商（除数不为0）仍为有理数，因此$-\frac{b}{a}$是有理数，即x为有理数，这与“x是无理数”的已知条件矛盾。
3. 因此假设$a ≠ 0$不成立，即$a = 0$，将$a = 0$代入原等式$ax + b = 0$，可得$b = 0$。
综上可证，若$ax + b = 0$，则必有$a = b = 0$。
【答案】
这种说法正确。假设$a≠0$,则$ax=-b$,$x=-\frac{b}{a}$,$x$为有理数,与$x$为无理数矛盾.所以$a=0$,从而$b=0$.故结论正确
【知识点】
反证法；有理数运算性质；无理数定义
【点评】
本题重点考查反证法的应用以及有理数、无理数的概念辨析，解题核心是通过合理反设，推导出和已知条件矛盾的结果，进而证明原命题成立，能帮助学生巩固反证法的操作步骤和实数的相关性质。
【难度系数】
0.8