1. 直角三角形两条直角边的平方和等于
斜边的平方
，即直角三角形的两条直角边a，b与斜边c之间满足：$a^2+b^2=c^2$
。答案：1. 斜边的平方，$a^2+b^2=c^2$
解析：
【分析】
这道题考查勾股定理的基本定义，解题时直接回忆勾股定理的文字描述和符号表达形式即可。勾股定理是专门描述直角三角形三边平方关系的定理，我们只需要对应定理内容，分别匹配文字表述和字母表示的关系式就能完成作答。
【解析】
根据勾股定理的内容：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方；若两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，则三边满足的关系式为$a^2+b^2=c^2$。因此第一空填斜边的平方，第二空填$a^2+b^2=c^2$。
【答案】
斜边的平方，$a^2+b^2=c^2$
【知识点】
勾股定理
【点评】
本题属于基础概念识记题，主要考查对勾股定理核心内容的掌握情况，是后续应用勾股定理解决各类几何问题的基础。
【难度系数】
0.9
这道题考查勾股定理的基本定义，解题时直接回忆勾股定理的文字描述和符号表达形式即可。勾股定理是专门描述直角三角形三边平方关系的定理，我们只需要对应定理内容，分别匹配文字表述和字母表示的关系式就能完成作答。
【解析】
根据勾股定理的内容：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方；若两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，则三边满足的关系式为$a^2+b^2=c^2$。因此第一空填斜边的平方，第二空填$a^2+b^2=c^2$。
【答案】
斜边的平方，$a^2+b^2=c^2$
【知识点】
勾股定理
【点评】
本题属于基础概念识记题，主要考查对勾股定理核心内容的掌握情况，是后续应用勾股定理解决各类几何问题的基础。
【难度系数】
0.9
2. 下列各图是以直角三角形的各边为边长，在三角形外部画正方形得到的，每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的面积. 其中S的值恰好等于10的是（
D
）答案：2. D
解析：
【分析】
解题核心是利用勾股定理的几何意义：直角三角形两条直角边对应正方形的面积之和，等于斜边对应正方形的面积。我们只需先确定每个选项中直角边、斜边分别对应的正方形，再结合上述关系计算S的值，找出S=10的选项即可。
【解析】
根据勾股定理，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，而正方形的面积等于边长的平方，因此可得：直角边对应正方形的面积和 = 斜边对应正方形的面积。
选项A：面积为5、15的正方形对应直角边，S对应斜边，故S=5+15=20，不符合要求；
选项B：面积为8、6的正方形对应直角边，S对应斜边，故S=8+6=14，不符合要求；
选项C：面积为8的正方形对应斜边，面积为6的正方形和S对应直角边，故6+S=8，解得S=2，不符合要求；
选项D：面积为5的正方形和S对应直角边，面积为15的正方形对应斜边，故5+S=15，解得S=10，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；正方形面积计算
【点评】
本题将勾股定理与正方形面积相结合，解题的关键是理解勾股定理的几何意义，把边长的平方关系转化为正方形的面积关系，整体难度较低，属于基础应用型考题。
【难度系数】
0.8
解题核心是利用勾股定理的几何意义：直角三角形两条直角边对应正方形的面积之和，等于斜边对应正方形的面积。我们只需先确定每个选项中直角边、斜边分别对应的正方形，再结合上述关系计算S的值，找出S=10的选项即可。
【解析】
根据勾股定理，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，而正方形的面积等于边长的平方，因此可得：直角边对应正方形的面积和 = 斜边对应正方形的面积。
选项A：面积为5、15的正方形对应直角边，S对应斜边，故S=5+15=20，不符合要求；
选项B：面积为8、6的正方形对应直角边，S对应斜边，故S=8+6=14，不符合要求；
选项C：面积为8的正方形对应斜边，面积为6的正方形和S对应直角边，故6+S=8，解得S=2，不符合要求；
选项D：面积为5的正方形和S对应直角边，面积为15的正方形对应斜边，故5+S=15，解得S=10，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；正方形面积计算
【点评】
本题将勾股定理与正方形面积相结合，解题的关键是理解勾股定理的几何意义，把边长的平方关系转化为正方形的面积关系，整体难度较低，属于基础应用型考题。
【难度系数】
0.8
3. 小明用火柴棒摆直角三角形，已知他摆两条直角边分别用了6根和8根火柴棒，他摆完这个直角三角形共用火柴棒 （
A.20根
B.14根
C.24根
D.30根
C
）A.20根
B.14根
C.24根
D.30根
答案：3. C
解析：
【分析】
要计算摆完直角三角形共用的火柴棒总数，需要先求出斜边用的火柴棒数量。已知火柴棒长度相等，因此直角边的火柴棒数量就等于对应边的长度（单位长度为1根火柴的长度），我们可以利用勾股定理求出斜边的长度，也就得到了斜边所需的火柴棒数，最后将三条边的火柴棒数相加即可得到总数量。
【解析】
∵ 每根火柴棒长度相等，
∴ 该直角三角形的两条直角边长分别为6、8（单位：1根火柴的长度）
根据勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，可得
斜边长 = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10
即斜边需要10根火柴棒
总火柴棒数量 = 6 + 8 + 10 = 24（根）
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；三角形周长计算
【点评】
本题是勾股定理在实际操作场景中的基础应用，解题的核心是建立火柴棒数量与三角形边长的对应关系，熟练掌握勾股定理就能快速求解。
【难度系数】
0.8
要计算摆完直角三角形共用的火柴棒总数，需要先求出斜边用的火柴棒数量。已知火柴棒长度相等，因此直角边的火柴棒数量就等于对应边的长度（单位长度为1根火柴的长度），我们可以利用勾股定理求出斜边的长度，也就得到了斜边所需的火柴棒数，最后将三条边的火柴棒数相加即可得到总数量。
【解析】
∵ 每根火柴棒长度相等，
∴ 该直角三角形的两条直角边长分别为6、8（单位：1根火柴的长度）
根据勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，可得
斜边长 = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10
即斜边需要10根火柴棒
总火柴棒数量 = 6 + 8 + 10 = 24（根）
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；三角形周长计算
【点评】
本题是勾股定理在实际操作场景中的基础应用，解题的核心是建立火柴棒数量与三角形边长的对应关系，熟练掌握勾股定理就能快速求解。
【难度系数】
0.8
4. 图中的四边形均为正方形，三角形为直角三角形，最大的正方形的边长为7，则图中A，B两个正方形的面积之和为
49
。答案：4. 49
解析：
【分析】
解题时首先观察图形特征：两个小正方形的边长恰好是中间直角三角形的两条直角边，最大正方形的边长是该直角三角形的斜边。我们可以将正方形的面积和直角三角形边长的平方对应起来，结合勾股定理推导两个小正方形的面积和。首先回忆勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，而正方形面积等于边长的平方，因此直接通过勾股定理就能得到A、B两个正方形的面积和与最大正方形面积的关系，再代入最大正方形的边长计算即可。
【解析】
设中间直角三角形的两条直角边长分别为$a$、$b$，斜边长为$c$。
由正方形面积公式可知：
正方形A的面积$S_A = a^2$，正方形B的面积$S_B = b^2$，
已知最大正方形的边长为7，即$c=7$，最大正方形的面积$S = c^2$。
根据勾股定理，直角三角形中$a^2 + b^2 = c^2$，
因此$S_A + S_B = c^2 = 7^2 = 49$。
【答案】
49
【知识点】
勾股定理；正方形面积计算
【点评】
本题将勾股定理与正方形面积相结合，核心是理解勾股定理的几何意义：以直角三角形两条直角边为边长的正方形面积之和，等于以斜边为边长的正方形的面积，无需分别求解两个小正方形的面积，即可直接得出结果，是勾股定理的基础应用题型。
【难度系数】
0.85
解题时首先观察图形特征：两个小正方形的边长恰好是中间直角三角形的两条直角边，最大正方形的边长是该直角三角形的斜边。我们可以将正方形的面积和直角三角形边长的平方对应起来，结合勾股定理推导两个小正方形的面积和。首先回忆勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，而正方形面积等于边长的平方，因此直接通过勾股定理就能得到A、B两个正方形的面积和与最大正方形面积的关系，再代入最大正方形的边长计算即可。
【解析】
设中间直角三角形的两条直角边长分别为$a$、$b$，斜边长为$c$。
由正方形面积公式可知：
正方形A的面积$S_A = a^2$，正方形B的面积$S_B = b^2$，
已知最大正方形的边长为7，即$c=7$，最大正方形的面积$S = c^2$。
根据勾股定理，直角三角形中$a^2 + b^2 = c^2$，
因此$S_A + S_B = c^2 = 7^2 = 49$。
【答案】
49
【知识点】
勾股定理；正方形面积计算
【点评】
本题将勾股定理与正方形面积相结合，核心是理解勾股定理的几何意义：以直角三角形两条直角边为边长的正方形面积之和，等于以斜边为边长的正方形的面积，无需分别求解两个小正方形的面积，即可直接得出结果，是勾股定理的基础应用题型。
【难度系数】
0.85
5. (1) 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，a=8，b=15，则 c=
(2) 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，a=3，b=4，则 c=
17
；(2) 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，a=3，b=4，则 c=
5
.答案：5. (1) $c=17$ (2) $c=5$
解析：
【分析】
这两道题都是已知直角三角形的两条直角边求斜边的基础题，解题思路如下：①先明确直角三角形中直角所对的边是斜边，本题中∠C=90°，因此c是斜边，a、b为两条直角边；②回忆勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，即$c^2=a^2+b^2$；③代入对应数值计算，由于边长为正数，因此对结果取正的算术平方根即可得到c的长度。
【解析】
(1) 在Rt△ABC中，∠C=90°，故c为斜边，根据勾股定理：
$c^2 = a^2 + b^2$
代入a=8，b=15得：
$c^2 = 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289$
∵c为三角形边长，$c＞0$
∴$c = \sqrt{289} = 17$
(2) 在Rt△ABC中，∠C=90°，故c为斜边，根据勾股定理：
$c^2 = a^2 + b^2$
代入a=3，b=4得：
$c^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$
∵c为三角形边长，$c＞0$
∴$c = \sqrt{25} = 5$
【答案】
(1) 17；(2) 5
【知识点】
1. 勾股定理
2. 算术平方根的应用
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，主要考查对直角三角形斜边的判定以及勾股定理的直接运用，解题时要注意明确直角对应的边是斜边，避免混淆勾股定理的边的对应关系。
【难度系数】
0.9
这两道题都是已知直角三角形的两条直角边求斜边的基础题，解题思路如下：①先明确直角三角形中直角所对的边是斜边，本题中∠C=90°，因此c是斜边，a、b为两条直角边；②回忆勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，即$c^2=a^2+b^2$；③代入对应数值计算，由于边长为正数，因此对结果取正的算术平方根即可得到c的长度。
【解析】
(1) 在Rt△ABC中，∠C=90°，故c为斜边，根据勾股定理：
$c^2 = a^2 + b^2$
代入a=8，b=15得：
$c^2 = 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289$
∵c为三角形边长，$c＞0$
∴$c = \sqrt{289} = 17$
(2) 在Rt△ABC中，∠C=90°，故c为斜边，根据勾股定理：
$c^2 = a^2 + b^2$
代入a=3，b=4得：
$c^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$
∵c为三角形边长，$c＞0$
∴$c = \sqrt{25} = 5$
【答案】
(1) 17；(2) 5
【知识点】
1. 勾股定理
2. 算术平方根的应用
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，主要考查对直角三角形斜边的判定以及勾股定理的直接运用，解题时要注意明确直角对应的边是斜边，避免混淆勾股定理的边的对应关系。
【难度系数】
0.9
6. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，以$BC$和$AC$为边向两边分别作正方形，面积分别为$S_1$和$S_2$，已知$S_1 - S_2=25$，则$AB$的长为________。
答案：6. 5
解析：
【分析】
解题时先明确正方形面积和边长的关系：正方形面积等于边长的平方，因此可将$S_1$、$S_2$转化为对应边长的平方；再结合直角三角形的勾股定理，找到$BC^2$、$AC^2$和$AB^2$的等量关系，代入已知的$S_1-S_2=25$即可求出$AB$的长度。
【解析】
解：
∵以$BC$为边的正方形面积为$S_1$，
∴$S_1=BC^2$，
∵以$AC$为边的正方形面积为$S_2$，
∴$S_2=AC^2$，
已知$S_1 - S_2=25$，代入得：$BC^2 - AC^2=25$，
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，由勾股定理得：
$AB^2 + AC^2 = BC^2$，
移项得$BC^2 - AC^2=AB^2$，
∴$AB^2=25$，
∵$AB$为三角形边长，长度为正，
∴$AB=\sqrt{25}=5$。
【答案】
5
【知识点】
勾股定理；正方形面积计算
【点评】
本题考查勾股定理与正方形面积公式的综合应用，解题的核心是将正方形面积转化为直角三角形对应边长的平方，再借助勾股定理建立等式求解，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.8
解题时先明确正方形面积和边长的关系：正方形面积等于边长的平方，因此可将$S_1$、$S_2$转化为对应边长的平方；再结合直角三角形的勾股定理，找到$BC^2$、$AC^2$和$AB^2$的等量关系，代入已知的$S_1-S_2=25$即可求出$AB$的长度。
【解析】
解：
∵以$BC$为边的正方形面积为$S_1$，
∴$S_1=BC^2$，
∵以$AC$为边的正方形面积为$S_2$，
∴$S_2=AC^2$，
已知$S_1 - S_2=25$，代入得：$BC^2 - AC^2=25$，
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，由勾股定理得：
$AB^2 + AC^2 = BC^2$，
移项得$BC^2 - AC^2=AB^2$，
∴$AB^2=25$，
∵$AB$为三角形边长，长度为正，
∴$AB=\sqrt{25}=5$。
【答案】
5
【知识点】
勾股定理；正方形面积计算
【点评】
本题考查勾股定理与正方形面积公式的综合应用，解题的核心是将正方形面积转化为直角三角形对应边长的平方，再借助勾股定理建立等式求解，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.8
7. 如图，在四边形ABCD中，$∠ ABC=∠ CDA=90°$，分别以四边形ABCD的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为$S_1$，$S_2$，$S_3$，$S_4$.若$S_1=6$，$S_2=10$，$S_3=12$，则$S_4$的值为
16
.答案：7. 16
解析：
【分析】
首先明确正方形的面积等于其边长的平方，已知四边形ABCD中存在两个直角，因此我们可以连接对角线AC，将四边形分为两个直角三角形，利用勾股定理分别用正方形面积表示出公共斜边AC的平方，建立等量关系即可求解$S_4$。
【解析】
解：连接AC。
在$Rt△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，由勾股定理得：
$AB^2 + BC^2 = AC^2$
∵$S_2$是以AB为边长的正方形面积，$S_3$是以BC为边长的正方形面积
∴$S_2=AB^2$，$S_3=BC^2$，即$S_2 + S_3 = AC^2$
在$Rt△ ADC$中，$∠ CDA=90°$，由勾股定理得：
$AD^2 + CD^2 = AC^2$
∵$S_1$是以AD为边长的正方形面积，$S_4$是以CD为边长的正方形面积
∴$S_1=AD^2$，$S_4=CD^2$，即$S_1 + S_4 = AC^2$
因此可得等量关系：$S_1 + S_4 = S_2 + S_3$
代入已知数值$S_1=6$，$S_2=10$，$S_3=12$：
$6 + S_4 = 10 + 12$
解得$S_4=16$
【答案】
16
【知识点】
勾股定理，正方形的性质
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，解题的核心是通过连接公共斜边AC，将四个正方形的面积转化为直角三角形的边长平方关系，无需计算边长即可求解，重点考查对勾股定理的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
首先明确正方形的面积等于其边长的平方，已知四边形ABCD中存在两个直角，因此我们可以连接对角线AC，将四边形分为两个直角三角形，利用勾股定理分别用正方形面积表示出公共斜边AC的平方，建立等量关系即可求解$S_4$。
【解析】
解：连接AC。
在$Rt△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，由勾股定理得：
$AB^2 + BC^2 = AC^2$
∵$S_2$是以AB为边长的正方形面积，$S_3$是以BC为边长的正方形面积
∴$S_2=AB^2$，$S_3=BC^2$，即$S_2 + S_3 = AC^2$
在$Rt△ ADC$中，$∠ CDA=90°$，由勾股定理得：
$AD^2 + CD^2 = AC^2$
∵$S_1$是以AD为边长的正方形面积，$S_4$是以CD为边长的正方形面积
∴$S_1=AD^2$，$S_4=CD^2$，即$S_1 + S_4 = AC^2$
因此可得等量关系：$S_1 + S_4 = S_2 + S_3$
代入已知数值$S_1=6$，$S_2=10$，$S_3=12$：
$6 + S_4 = 10 + 12$
解得$S_4=16$
【答案】
16
【知识点】
勾股定理，正方形的性质
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，解题的核心是通过连接公共斜边AC，将四个正方形的面积转化为直角三角形的边长平方关系，无需计算边长即可求解，重点考查对勾股定理的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7